쿨롱 파동 함수

섬네일|정규 쿨롱 파동 함수의 복소수 플롯 이미지 추가
수학에서 쿨롱 파동 함수()는 샤를 드 쿨롱의 이름을 따서 명명된 쿨롱 파동 방정식()의 해이다. 이 함수는 쿨롱 전위에서 하전 입자의 동작을 설명하는 데 사용되며, 합류 초수하 함수 또는 허수 인수의 휘태커 함수로 표현할 수 있다.

 쿨롱 파동 방정식 
질량 을 가진 단일 하전 입자에 대한 쿨롱 파동 방정식은 쿨롱 전위를 가진 슈뢰딩거 방정식이다.

여기서 는 입자와 필드 소스의 전하 곱(단위는 기본 전하이며, 수소 원자의 경우 ), 는 미세 구조 상수, 는 입자의 에너지이다. 쿨롱 파동 함수인 해는 이 방정식을 포물선 좌표에서 풀어 얻을 수 있다.

선택한 경계 조건에 따라 해는 다른 형태를 가진다. 두 가지 해는 다음과 같다.

여기서 는 합류 초수하 함수이고, 이며 는 감마 함수이다. 여기에 사용된 두 가지 경계 조건은 다음과 같다.

이는 각각 원점에 있는 필드 소스에 접근하기 전 또는 후에  방향의 평면파 점근 상태에 해당한다. 함수 는 다음 공식으로 서로 관련되어 있다.

 부분파 전개 
파동 함수 는 부분파(즉, 각도 기저에 대해)로 전개하여 각도에 독립적인 방사 함수 를 얻을 수 있다. 여기서 .

전개된 단일 항은 특정 구면 조화 함수와의 스칼라 곱으로 분리될 수 있다.

단일 부분파 에 대한 방정식은 쿨롱 파동 방정식의 라플라시안을 구면 좌표로 다시 쓰고 특정 구면 조화 함수 에 방정식을 투영하여 얻을 수 있다.

이 해들은 쿨롱 (부분) 파동 함수 또는 구면 쿨롱 함수라고도 불린다. 를 대입하면 쿨롱 파동 방정식은 휘태커 방정식으로 변환되므로, 쿨롱 파동 함수는 허수 인수 와 를 가진 휘태커 함수로 표현될 수 있다. 후자는 합류 초수하 함수 과 로 표현될 수 있다. 에 대해 특수 해는 다음과 같이 정의된다.

여기서

는 쿨롱 위상 편이(Coulomb phase shift)라고 불린다. 또한 실수 함수는 다음과 같이 정의된다.

alt=Regular Coulomb wave function F plotted from 0 to 20 with repulsive and attractive interactions in Mathematica 13.1|섬네일|Mathematica 13.1에서 반발 및 인력 상호작용을 사용하여 0에서 20까지 정규 쿨롱 파동 함수 F 플롯
특히 다음을 가진다.

구면 쿨롱 함수 , , 의 큰 에서의 점근 행동은 다음과 같다.

여기서

해 는 입사 및 방출 구면파에 해당한다. 해 와 는 실수이며, 정규 및 불규칙 쿨롱 파동 함수라고 불린다.
특히 파동 함수 에 대한 다음 부분파 전개를 가진다.

 극한에서 정규/불규칙 쿨롱 파동 함수 , 는 구면 베셀 함수에 비례하고, 구면 쿨롱 함수 는 구면 한켈 함수에 비례한다.

그리고 구면 베셀 함수와 동일하게 정규화된다.

그리고 다른 3개에 대해서도 유사하다.

 쿨롱 함수의 속성 
주어진 각운동량에 대한 방사형 부분은 정규 직교한다. 파수 척도(k-척도)로 정규화될 때, 연속체 방사형 파동 함수는 다음을 만족한다.

연속체 파동 함수의 다른 일반적인 정규화는 환산 파수 척도(-척도)에서 다음과 같다.

그리고 에너지 척도에서 다음과 같다.

이전 절에서 정의된 방사형 파동 함수는 다음으로 정규화된다.

다음 정규화의 결과로:

연속체(또는 산란) 쿨롱 파동 함수는 모든 쿨롱 구속 상태에 대해서도 직교한다.

이는 서로 다른 고유값을 가진 동일한 헤르미트 연산자의 고유 상태이기 때문이다.

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 각주 

분류:특수 초기하함수