좋은 양자수

양자역학에서 관측가능량 의 고윳값 는 관측가능량 가 운동 상수인 경우 좋은 양자수()라고 한다. 다시 말해, 해당 관측가능량이 해밀토니언과 교환하면 그 양자수는 좋은 양자수이다. 시스템이 고윳값 를 가진 고유상태에서 시작하면, 시간이 지남에 따라 그 상태를 유지하고 의 측정은 항상 동일한 고윳값 를 산출한다.

좋은 양자수는 종종 실험에서 초기 및 최종 상태를 표시하는 데 사용된다. 예를 들어, 입자 가속기에서

 입자들은 처음에 근사적인 운동량 고유상태로 준비된다; 입자의 운동량은 비상호작용 입자에게는 좋은 양자수이다.
 입자들이 충돌하게 된다. 이 시점에서 각 입자의 운동량은 변화하고 있으므로, 충돌 중에는 상호작용하는 입자들의 운동량은 좋은 양자수가 아니다.
 충돌 후 상당한 시간이 지나면, 입자들은 운동량 고유상태에서 측정된다. 각 입자의 운동량은 안정화되었고 충돌 후 오랜 시간이 지나 다시 좋은 양자수가 된다.

 좋은 양자수의 보존 
 해밀토니언과 교환하는 연산자를 라고 하자. 이는 와 의 공통 고유상태를 가질 수 있음을 의미한다. 우리 시스템이 이러한 공통 고유상태 중 하나에 있다고 가정하자. 를 측정하면 고윳값 (좋은 양자수)가 확실히 산출될 것이다. 또한, 해밀토니언의 고유상태가 정상 상태라는 것은 잘 알려진 결과이다. 이는 측정 전에 시스템이 일정 시간 동안 진화하도록 두더라도 여전히 동일한 고윳값이 산출된다는 의미이다. 따라서 우리 시스템이 공통 고유상태에 있다면 의 고윳값(좋은 양자수)은 시간에 따라 변하지 않는다.

 좋은 양자수로 표시될 수 있는 상태 
좋은 양자수로 표시될 수 있는 상태는 해밀토니언의 고유상태이다. 이들은 또한 정상 상태라고도 불린다. 시간이 흘러도 시스템이 모든 관측 가능한 방식으로 동일한 상태를 유지하기 때문에 그렇게 불린다.

이러한 상태는 다음을 만족한다:
,
여기서 는 양자 상태이고, 는 해밀토니언 연산자이며, 는 상태 의 에너지 고윳값이다.

상태 켓의 진화는 슈뢰딩거 방정식에 의해 지배된다:

이는 시스템 상태의 시간 진화를 다음과 같이 나타낸다:

시간 진화는 복소 위상 인자의 꾸준한 변화만을 포함하며, 이는 관측될 수 없다. 상태 자체는 동일하게 유지된다.

 수소 원자 
 수소 원자: 스핀-궤도 결합 없음 
수소 원자의 경우(스핀-궤도 결합이 없다고 가정), 해밀토니언과 교환하는 관측가능량은 궤도 각운동량, 스핀 각운동량, 스핀 각운동량과 궤도 각운동량의 합, 그리고 위 각운동량들의  성분이다. 따라서 이 경우 좋은 양자수(이러한 관측가능량의 고윳값)는 이다. 는 전자에게 항상 일정하고 상태 표시에 관해 중요하지 않으므로 생략했다.

그러나 위에서 언급한 수소 원자의 경우(무시할 수 있는 스핀-궤도 결합) 모든 좋은 양자수, 즉 를 동시에 사용하여 상태를 지정할 수는 없다. 여기서 CSCO (완전 교환 관측량 집합)이 등장한다. 다음은 일반적으로 유효한 몇 가지 일반적인 결과이다:

 주어진 수의 좋은 양자수는 해당 좋은 양자수에 해당하는 관측가능량이 CSCO를 형성할 때만 특정 양자 상태를 고유하게 지정하는 데 사용될 수 있다.
 관측가능량이 교환하지만 CSCO를 형성하지 않는다면, 좋은 양자수는 상태 집합을 나타낸다. 이 경우 고유하게 한 상태를 나타내지 않는다.
 관측가능량이 교환하지 않는다면, 고유한 상태는 고사하고 어떤 상태 집합도 나타내는 데 사용될 수 없다.

수소 원자의 경우 는 교환 집합을 형성하지 않는다. 하지만 는 CSCO의 양자수이다. 그래서 이 경우 그들은 좋은 양자수 집합을 형성한다. 마찬가지로  또한 좋은 양자수 집합을 형성한다.

 수소 원자: 스핀-궤도 상호작용 포함 
스핀-궤도 상호작용을 고려하려면 해밀토니언에 추가 항을 더해야 한다.
,

여기서 프리팩터 는 스핀-궤도 결합의 강도를 결정한다. 이제 이 새로운  항을 포함한 새로운 해밀토니언은  및 와 교환하지 않는다. 그것은 , ,  그리고 총 각운동량 연산자인 와만 교환한다. 다시 말해, 는 더 이상 좋은 양자수가 아니지만, 는 (주요 양자수  외에) 좋은 양자수이다.

그리고 좋은 양자수가 고유상태를 표시하는 데 사용되므로, 관련 관심 공식은 이들을 사용하여 표현된다. 예를 들어, 스핀-궤도 상호작용 에너지의 기댓값은 다음과 같이 주어진다:

여기서

위 표현식들은 고유상태를 특성화하는 좋은 양자수들을 포함한다.

 같이 보기 
 완전 교환 관측량 집합
 해밀토니언 (양자역학)
 정상 상태
 운동 상수
 양자수
 양자역학에서의 측정
 에렌페스트 정리
 연산자 (물리학)

 각주 

분류:양자 측정