아인슈타인-브릴루앵-켈러 방법

아인슈타인-브릴루앵-켈러 방법(, EBK)은 알베르트 아인슈타인, 레옹 브릴루앵, 조지프 켈러의 이름을 딴 반고전론 기법으로, 양자 역학 시스템에서 고윳값을 계산하는 데 사용된다. EBK 양자화는 고전적 회전점에서 코사인 위상 점프를 고려하지 않았던 보어-조머펠트 양자화의 개선된 방법이다. 이 절차는 3차원 조화 진동자, 상자 속 입자, 심지어 수소 원자의 상대론적 미세 구조의 스펙트럼까지 정확하게 재현할 수 있다.

1976년–1977년, 마이클 베리와 M. 태버는 EBK 양자화에서 시작하여 구츠윌러 추적 공식을 적분가능계의 상태 밀도로 확장하는 것을 유도했다.

이 주제와 관련된 계산 문제에 대한 최근의 여러 결과들이 있었는데, 예를 들어 에릭 J. 헬러와 에마뉘엘 데이비드 태넌바움의 편미분 방정식 경사 하강법 접근 방식을 사용한 연구가 있다.

 절차 
좌표 로 정의되는 분리 가능한 고전 시스템에서, 각  쌍이 에서 닫힌 함수 또는 주기 함수를 나타낼 때, EBK 절차는 의 닫힌 궤적에 대한 의 선 적분을 양자화하는 것을 포함한다.

여기서 는 작용-각도 좌표, 는 양의 정수, 와 는 마슬로프 지표이다. 는 의 궤적에서 고전적 회전점의 수(디리클레 경계 조건)에 해당하며, 는 단단한 벽과의 반사 횟수(노이만 경계 조건)에 해당한다.

 예시 
 1차원 조화 진동자 
단순 조화 진동자의 해밀토니안은 다음과 같다.

여기서 는 선형 운동량이고 는 위치 좌표이다. 작용 변수는 다음과 같다.

여기서 가 에너지이고 닫힌 궤적이 0에서 회전점 까지의 궤적의 4배임을 사용했다.

적분 결과는 다음과 같다.

EBK 양자화에서 각 궤도에는 두 개의 부드러운 회전점 와 가 있다. 최종적으로, 다음을 얻는다.

이는 양자 조화 진동자의 양자화에 대한 정확한 결과이다.

 2차원 수소 원자 
수소 원자 내 비상대론적 전자(전하 )의 해밀토니안은 다음과 같다.

여기서 은 방사형 거리 에 대한 정준 운동량이고, 는 방위각 의 정준 운동량이다.
작용-각도 좌표를 취하면 다음과 같다.

방사형 좌표 의 경우:

여기서 두 고전적 회전점  () 사이에서 적분한다.

EBK 양자화 를 사용하면:

그리고 로 하면 2차원 수소 원자의 스펙트럼이 복원된다.

이 경우 이 평면상의 각운동량 연산자 의 일반적인 양자화와 거의 일치한다는 점에 유의한다. 3차원 경우에, 총 각운동량에 대한 EBK 방법은 랑거 보정과 동일하다.

 같이 보기 
 해밀턴-야코비 방정식
 WKB 근사
 양자 혼돈

 각주 


분류:양자역학