보른 급수

보른 급수()는 양자 산란 이론에서 상호작용 퍼텐셜 의 거듭제곱으로 다양한 산란량을 전개한 것이다(더 정확히는 의 거듭제곱인데, 여기서 는 자유 입자 그린 연산자이다). 이는 보른 급수의 1차 항인 보른 근사와 밀접한 관련이 있다. 이 급수는 로 치환하여 결합 상수를 도입하는 멱급수로 형식적으로 이해할 수 있다. 보른 급수의 수렴 속도와 수렴 반경은 연산자 의 고유값과 관련이 있다. 일반적으로 보른 급수의 처음 몇 항은 "약한" 상호작용 와 큰 충돌 에너지에 대해 전개된 양에 대한 좋은 근사치이다.

 산란 상태에 대한 보른 급수 
산란 상태에 대한 보른 급수는 다음과 같다.

이는 리프먼-슈윙거 방정식을 반복하여 유도할 수 있다.

자유 입자에 대한 그린 연산자 는 지연 , 전진  또는 정상파 산란 상태 에 대해 지연/전진 또는 정상파 연산자일 수 있다.
첫 번째 반복은 리프먼-슈윙거 방정식의 우변에 전체 산란 해 를 자유 입자 파동 함수 로 대체하여 얻으며, 이는 첫 번째 보른 근사를 제공한다. 두 번째 반복은 우변에 첫 번째 보른 근사를 대입하며, 그 결과는 두 번째 보른 근사라고 불린다. 일반적으로 n번째 보른 근사는 급수의 n개 항을 고려한다. 두 번째 보른 근사는 첫 번째 보른 근사가 사라질 때 가끔 사용되지만, 더 높은 항은 거의 사용되지 않는다. 보른 급수는 연산자 와 같은 공비를 가진 등비급수로 형식적으로 합산될 수 있으며, 리프먼-슈윙거 방정식의 형식적인 해를 제공한다.

 T-행렬에 대한 보른 급수 
보른 급수는 T-행렬과 같이 산란 진폭과 밀접한 관련이 있는 다른 산란량에 대해서도 쓸 수 있다.
T-행렬에 대한 리프먼-슈윙거 방정식을 반복하면 다음을 얻는다.

T-행렬의 경우 는 지연 그린 연산자 만을 나타낸다. 정상파 그린 연산자는 대신 K-행렬을 제공할 것이다.

 전체 그린 연산자에 대한 보른 급수 
그린 연산자에 대한 리프먼-슈윙거 방정식은 분해자 항등식이라고 불린다.

이를 반복하여 풀면 전체 그린 연산자 에 대한 보른 급수가 나온다.

 참고 문헌 

 각주 

분류:산란