매개변수 방정식

수학에서 매개변수 방정식()은 점의 좌표와 같은 여러 양을 매개변수라고 하는 하나 또는 여러 변수의 함수로 표현한다.

하나의 매개변수가 있는 경우, 매개변수 방정식은 움직이는 점의 궤적을 표현하는 데 흔히 사용되며, 이 경우 매개변수는 종종 시간이지만 필수는 아니며, 점은 매개변수 곡선()이라고 하는 곡선을 그린다. 두 개의 매개변수가 있는 경우, 점은 매개변수 곡면()이라고 하는 곡면을 그린다. 모든 경우에 이 방정식들은 총체적으로 매개변수 표현()이라 불리며, 또는 매개변수 시스템()이라 불린다. 또는 객체의 매개변수화(, 또는 parametrization, parametrisation이라고도 표기)라 불린다.

예를 들어,

라는 방정식은 단위원의 매개변수 표현을 형성하며, 여기서 는 매개변수이다. 즉, 는 이 두 방정식이 그 점을 생성하는  값이 있을 때 단위원 위에 있다. 때로는 개별 스칼라 출력 변수에 대한 매개변수 방정식을 벡터의 단일 매개변수 방정식으로 결합하기도 한다.

매개변수 표현은 일반적으로 유일하지 않으므로 (아래 "2차원 예제" 섹션 참조) 동일한 양을 여러 다른 매개변수화로 표현할 수 있다.

곡선과 곡면 외에도 매개변수 방정식은 더 높은 차원의 다양체와 대수적 다양체를 기술할 수 있으며, 이때 매개변수의 수는 다양체 또는 다양체의 차원과 같고, 방정식의 수는 다양체 또는 다양체가 고려되는 공간의 차원과 같다 (곡선의 경우 차원은 1이고 하나의 매개변수가 사용되며, 곡면의 경우 차원은 2이고 두 개의 매개변수가 사용되는 식이다).

매개변수 방정식은 운동학에서 흔히 사용되며, 여기서 물체의 궤적은 시간을 매개변수로 하는 방정식으로 표현된다. 이러한 응용 때문에 단일 매개변수는 종종 로 표기되지만, 매개변수는 다른 물리량(예: 기하학적 변수)을 나타내거나 편의상 임의로 선택될 수도 있다. 매개변수화는 유일하지 않다. 하나 이상의 매개변수 방정식 집합이 동일한 곡선을 지정할 수 있다.

음함수화
매개변수 방정식 집합을 단일 음함수 방정식으로 변환하는 것은 동시 방정식 에서 변수 를 제거하는 것을 포함한다. 이 과정을 라고 한다. 이 방정식 중 하나를 에 대해 풀 수 있다면, 얻은 표현을 다른 방정식에 대입하여 와 만 포함하는 방정식을 얻을 수 있다. 를 풀어 를 얻고 이를 에 사용하면 명시적 방정식 를 얻는 반면, 더 복잡한 경우에는  형태의 음함수 방정식을 얻게 된다.

매개변수화가 유리 함수로 주어질 경우

여기서 , , 은 서로소인 다항식 집합일 때, 종결식 계산을 통해 음함수화할 수 있다. 보다 정확히 말하면, 음함수 방정식은 에 대한 와 의 종결식이다.

더 높은 차원(두 개 이상의 좌표 또는 하나 이상의 매개변수)에서 유리 매개변수 방정식의 음함수화는 그뢰브너 기저 계산으로 수행할 수 있다. 를 참조하라.

반지름이 인 원의 예를 들면, 매개변수 방정식

는 피타고라스 삼각 항등식을 통해 와 로 음함수화될 수 있다.

이고

이므로,

을 얻고, 따라서

는 원점을 중심으로 하는 원의 표준 방정식이다.

매개변수 평면 곡선

포물선

포물선에 대한 가장 간단한 방정식인

는 자유 매개변수 를 사용하여 다음과 같이 (자명하게) 매개변수화될 수 있다.

명시적 방정식
더 일반적으로, 명시적 방정식으로 주어진 모든 곡선

은 자유 매개변수 를 사용하여 다음과 같이 (자명하게) 매개변수화될 수 있다.

원

더 정교한 예는 다음과 같다. 일반 (데카르트) 방정식

으로 기술되는 단위를 고려해보자.

이 방정식은 다음과 같이 매개변수화될 수 있다.

데카르트 방정식으로는 한 점이 원 위에 있는지 여부를 확인하기가 더 쉽다. 매개변수 버전으로는 그래프 상의 점을 얻기가 더 쉽다.

어떤 맥락에서는, 존재한다면 유리 함수(즉 두 다항식의 분수)만을 포함하는 매개변수 방정식이 선호된다. 원의 경우, 이러한 는 다음과 같다.

이 한 쌍의 매개변수 방정식으로, 점 은 의 실수 값으로 표현되지 않고, 가 무한대로 갈 때의 와 의 극한으로 표현된다.

타원

반축이 와 이고 표준 위치(원점 중심, 장축이 -축을 따라 있음)에 있는 타원은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

일반 위치에 있는 타원은 다음과 같이 표현될 수 있다.

매개변수 가 에서 까지 변할 때. 여기서 는 타원의 중심이고, 는 -축과 타원의 장축 사이의 각도이다.

두 매개변수화는 반각 공식을 사용하고 로 설정함으로써 유리적으로 만들 수 있다.

 리사주 곡선 
리사주 곡선은 타원과 유사하지만, 와  사인파는 위상이 다르다. 표준 위치에서 리사주 곡선은 다음으로 주어진다.

여기서 와 는 도형의 엽수(loves)를 나타내는 상수이다.

쌍곡선
동서로 열리는 쌍곡선은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

또는 유리적으로

남북으로 열리는 쌍곡선은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

또는 유리적으로

이 모든 공식에서 는 쌍곡선의 중심 좌표이고, 는 반장축의 길이이며, 는 반단축의 길이이다. 이 공식의 유리 형식에서 점 과 는 각각 의 실수 값으로 표현되지 않고, 가 무한대로 갈 때의 와 의 극한이다.

하이퍼사이클로이드
하이퍼사이클로이드는 반지름이 인 원이 반지름이 인 고정된 원의 내부를 따라 구를 때, 내부 원의 중심으로부터 거리 에 있는 점이 그리는 곡선이다.

하이퍼사이클로이드에 대한 매개변수 방정식은 다음과 같다.

몇 가지 예:

매개변수 공간 곡선

섬네일|440x440px|애니메이션 매개변수 나선

나선
섬네일|300px|right|매개변수 나선

매개변수 방정식은 더 높은 차원의 공간에서 곡선을 설명하는 데 편리하다. 예를 들어:

는 반지름이 이고 한 바퀴 돌 때마다  단위씩 올라가는 3차원 곡선인 나선을 나타낸다. 이 방정식들은 평면에서 원에 대한 방정식과 동일하다.
위와 같은 표현은 흔히 다음과 같이 쓰인다.

여기서 은 3차원 벡터이다.

매개변수 곡면

큰 반지름 과 작은 반지름 을 가진 원환면은 매개변수적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

여기서 두 매개변수 와 는 모두 에서 까지 변한다.

가 에서 까지 변할 때, 곡면 위의 점은 원환면의 구멍을 통과하는 짧은 원을 따라 움직인다. 가 에서 까지 변할 때, 곡면 위의 점은 원환면의 구멍 주위를 도는 긴 원을 따라 움직인다.

직선

점 를 지나고 벡터 에 평행한 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같다.

응용

운동학
운동학에서 물체의 공간 경로(trajectory)는 일반적으로 매개변수 곡선으로 설명되며, 각 공간 좌표는 독립적인 매개변수(보통 시간)에 명시적으로 의존한다. 이런 방식으로 사용될 때, 물체의 좌표에 대한 매개변수 방정식 집합은 총체적으로 위치에 대한 벡터 함수를 구성한다. 이러한 매개변수 곡선은 항별로 적분되고 미분될 수 있다. 따라서 입자의 위치가 매개변수적으로 다음과 같이 기술된다면

그러면 그것의 속도는 다음과 같이 찾을 수 있다.

그리고 그것의 가속도는 다음과 같다.

컴퓨터 지원 설계
매개변수 방정식의 또 다른 중요한 사용은 컴퓨터 지원 설계 (CAD) 분야에 있다. 예를 들어, 다음 세 가지 표현을 고려해 보자. 이들은 모두 평면 곡선을 설명하는 데 일반적으로 사용된다.

 종류 형식 예시 설명 명시적직선 음시적원 매개변수  직선 원

각 표현은 CAD 응용 분야에 따라 장점과 단점이 있다.

명시적 표현은 매우 복잡하거나 심지어 존재하지 않을 수도 있다. 또한, 기하 변환, 특히 회전에서 잘 동작하지 않는다. 반면에, 매개변수 방정식과 음함수 방정식은 명시적 표현에서 쉽게 유도될 수 있으므로, 간단한 명시적 표현이 존재할 경우 다른 두 표현의 장점을 모두 갖는다.

음함수 표현은 곡선 위의 점을 생성하기 어렵게 만들고, 심지어 실제 점이 있는지 결정하는 것도 어렵게 만들 수 있다. 반면에, 주어진 점이 곡선 위에 있는지 또는 닫힌 곡선 내부에 있는지 외부에 있는지 결정하는 데에는 잘 적합하다.

이러한 결정은 매개변수 표현으로는 어려울 수 있지만, 매개변수 표현은 곡선 위의 점을 생성하고 이를 그리는 데 가장 적합하다.

정수 기하학
정수 삼각형의 수많은 문제는 매개변수 방정식을 사용하여 해결할 수 있다. 그러한 고전적인 해결책은 에우클레이데스의 직각삼각형 매개변수화로서, 변의 길이 와 빗변 가 서로소 정수이다. 와 가 둘 다 짝수는 아니므로(그렇지 않으면 와 는 서로소가 아닐 것이므로), 이들을 교환하여 가 짝수가 되도록 할 수 있으며, 그 매개변수화는 다음과 같다.

여기서 매개변수 과 은 모두 홀수가 아닌 양의 서로소 정수이다.

와 를 임의의 양의 정수로 곱하면 세 변의 길이가 정수인 모든 직각삼각형의 매개변수화를 얻을 수 있다.

 과소결정 연립방정식 
개의 미지수가 있는 연립 일차 방정식의 개 방정식 시스템은 두 개 이상의 해를 가질 때 과소결정된다. 이는 시스템의 행렬과 그것의 첨가 행렬이 동일한 계수 을 가지고 일 때 발생한다. 이 경우, 개의 미지수를 매개변수로 선택하고 모든 미지수를 선택된 미지수들의 선형 결합으로 표현하는 매개변수 방정식으로 모든 해를 나타낼 수 있다. 즉, 미지수가 이라면, 해를 표현하기 위해 이들을 재정렬할 수 있다.

이러한 매개변수 방정식을 시스템 해의 이라고 한다.

해의 매개변수 형식을 계산하는 표준 방법은 가우스 소거법을 사용하여 첨가 행렬의 기약 행 사다리꼴을 계산하는 것이다. 그러면 매개변수로 사용할 수 있는 미지수는 어떤 주요 항목(즉, 행 또는 행렬에서 가장 왼쪽의 0이 아닌 항목)도 포함하지 않는 열에 해당하는 것이며, 매개변수 형식은 쉽게 유도될 수 있다.

 같이 보기 
 곡선
 매개변수 추정
 위치 벡터
 벡터 함수
 호 길이로의 매개변수화
 매개변수 미분

 내용주 

 외부 링크 
 Web application to draw parametric curves on the plane

분류:방정식
분류:다변수 미적분학