에우클레이데스-오일러 정리

에우클레이데스-오일러 정리(Euclid–Euler theorem)는 완전수를 메르센 소수와 연관시키는 수론의 정리이다. 이 정리는 짝수가 의 형태를 가질 때에만 완전수이며, 여기서 은 소수임을 명시한다. 이 정리는 각각 정리의 "if" 부분과 "only if" 부분을 증명한 수학자 에우클레이데스와 레온하르트 오일러의 이름을 따서 명명되었다.

메르센 소수가 무한히 많을 것이라고 추측되어 왔다. 이 추측의 진실은 아직 알려지지 않았지만, 에우클레이데스-오일러 정리에 따르면 이는 짝수 완전수가 무한히 많다는 추측과 동등하다. 그러나 홀수 완전수가 존재하는지조차 알려져 있지 않다.

 진술 및 예시 
완전수는 자신보다 작고 자신을 정확히 나누는 (나머지가 0인) 약수의 합과 같은 자연수이다. 예를 들어, 6의 진약수는 1, 2, 3이며, 이들의 합은 6이므로 6은 완전수이다.

메르센 소수는  형태의 소수로, 2의 거듭제곱보다 하나 작은 수이다. 이 형태의 수가 소수이려면  자체도 소수여야 하지만, 모든 소수가 이런 방식으로 메르센 소수를 만들어내지는 않는다. 예를 들어, 은 메르센 소수이지만, 은 아니다.

에우클레이데스-오일러 정리는 짝수 자연수가  형태를 가질 때에만 완전수이며, 여기서 는 메르센 소수임을 명시한다.. 완전수 6은 에서 으로 얻어지며, 메르센 소수 7은 같은 방식으로 완전수 28에 해당한다.

 역사 
에우클레이데스는 이 소수일 때마다 이 짝수 완전수임을 증명했다. 이것은 에우클레이데스의 원론의 수론에 관한 마지막 결과이다. 원론의 후기 책들은 대신 무리수, 입체기하학, 황금비에 관한 내용이다. 에우클레이데스는 1에서 시작하여 공비 2를 가지는 유한 등비급수의 합 가 소수이면, 이 합에 해당 급수의 마지막 항 을 곱한 것이 완전수임을 진술함으로써 결과를 표현한다. 이러한 용어로 표현하면, 유한 급수의 합 는 메르센 소수 이고 급수의 마지막 항 은 2의 거듭제곱 이다. 에우클레이데스는 가 완전수임을 관찰함으로써 증명하는데, 이는 에서 시작하여 같은 항의 수를 가진 공비 2의 등비급수가 원래 급수에 비례한다는 것이다. 따라서 원래 급수의 합이 이므로, 두 번째 급수의 합은 이고, 두 급수 모두 합하면 가 되어 가정된 완전수의 두 배가 된다. 그러나 이 두 급수는 서로 겹치지 않으며 (의 소수성에 의해) 의 모든 약수를 소진하므로, 는 약수들의 합이 가 되어 완전수임을 보인다.. See in particular Prop. IX.36.

에우클레이데스 이후 천년이 지나 알하젠은 서기 1천년경 모든 짝수 완전수는  형태이며 여기서 은 소수라고 추측했지만, 이 결과를 증명하지는 못했다. 에우클레이데스 이후 2000년이 넘게 지난 18세기에 이르러서야 레온하르트 오일러가 공식 이 모든 짝수 완전수를 생성한다는 것을 증명했다.. Originally read to the Berlin Academy on February 23, 1747, and published posthumously. See in particular section 8, p. 88. 따라서 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 관계가 성립한다. 각 메르센 소수는 하나의 짝수 완전수를 생성하고, 그 반대도 마찬가지이다. 오일러가 에우클레이데스-오일러 정리를 증명한 후 빅토르-아메데 레베그, 로버트 대니얼 카마이클, 레너드 유진 딕슨, 존 크노프마허, 웨인 L. 맥다니얼 등 다른 수학자가 다양한 증명을 발표했다. 특히 딕슨의 증명은 교과서에서 흔히 사용되었다.

이 정리는 1999년부터 "수학 100대 정리"의 웹 목록에 포함되었고, 이는 나중에 프릭 비데이크(Freek Wiedijk)가 다양한 증명 보조기의 성능을 테스트하는 벤치마크 세트로 사용되었다. 2025년 기준으로, 에우클레이데스-오일러 정리의 증명은 비데이크가 기록한 12개의 증명 보조기 중 7개에서 형식화되었다.

 증명 
오일러의 증명은 짧으며 약수의 합 함수 가 곱셈적이라는 사실에 의존한다. 즉, 와 가 서로소인 두 정수이면, 가 성립한다. 이 공식이 유효하려면 어떤 수의 약수 합은 진약수뿐만 아니라 그 자신도 포함해야 한다. 어떤 수가 완전수이려면 약수 합이 그 값의 두 배와 같아야 한다.

 충분조건 
정리의 한 방향 (에우클레이데스가 이미 증명한 부분)은 곱셈적 성질로부터 즉시 도출된다. 모든 메르센 소수는 짝수 완전수를 생성한다. 이 소수일 때,

의 약수는 이다. 이 약수의 합은 합이 인 등비급수이다. 다음으로, 은 소수이므로, 그 약수는 과 자기 자신뿐이며, 따라서 약수들의 합은 이다.

이것들을 결합하면,

따라서 은 완전수이다....

 필요조건 
다른 방향으로, 짝수 완전수가 주어졌다고 가정하고, 이를 로 부분 인수분해하는데, 여기서 는 홀수이다. 가 완전수가 되려면, 약수의 합이 그 값의 두 배여야 한다:

(∗)의 오른쪽 항에 있는 홀수 인자 은 3 이상이며, 왼쪽 항의 유일한 홀수 인자인 를 나누어야 하므로, 는 의 진약수이다. (∗)의 양변을 공통 인자 로 나누고 의 알려진 약수인 와 을 고려하면 다음과 같다.

이 등식이 참이려면 다른 약수가 없어야 한다. 따라서 은 이어야 하고, 는  형태의 소수여야 한다.

 각주 

분류:에우클레이데스
분류:수론 정리
분류:레온하르트 오일러
분류:완전수
분류:메르센 소수