슈발레-바르닝 정리

수론에서, 슈발레-바르닝 정리()는 변수가 많고 차수가 낮은 유한체 계수 연립 다항 방정식이 유일한 해를 가질 수 없다는 정리이다.

 정의 
가 표수가 , 크기가 인 유한체라고 하자. 가 차 다항식들이며,

이라고 하자. 또한

이 이에 대응하는 연립 다항 방정식의 해의 집합이라고 하자. 슈발레-바르닝 정리에 따르면,

이다. 즉, 체의 표수는 이 연립 다항 방정식의 해의 개수를 나눈다. 특히,

이다. 즉, 이 연립 다항 방정식의 해는 존재하지 않거나, 2개 이상이다.

임의의 에 대하여

이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상 이라고 하자. 의 가역원군 은 순환군이다. 가 그 생성 원소라고 하자. 그렇다면,

이다.

만약 단항식 의 차수 이  미만이라면, 인 가 존재하므로,

이다.

만약 다항식 의 차수가  미만이라면, 는 차수가  미만인 단항식들의 -선형 결합이므로,

이다.

다항식

을 생각하자. 그렇다면,

이며,

이다. 따라서,

이다. 즉, 이다.

 역사 
1935년에 레너드 유진 딕슨과 에밀 아르틴은 차수가 변수 개수보다 작은 유한체 계수 동차 다항식이 자명하지 않은 해를 가진다고 추측하였다.

클로드 슈발레가 1935년 논문에서 슈발레-바르닝 정리의 약한 형태()를 증명하였다. 에발트 바르닝(, 1910~1999)이 1935년 논문에서 슈발레-바르닝 정리()를 증명하였다. (두 논문은 같은 학술지 같은 호에 연이어 실렸다.)

 참고 문헌 

 외부 링크 




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