노이만 급수

노이만 급수()는 수학 급수로, 연산자 의 k번 반복 적용을 합한 것이다. 이는 생성자 형태를 가진다.

여기서 는 의 k번 반복 적용이며, 는 항등 연산자 이고 에 대해 이다. 이것은 실수 또는 복소수의 등비급수를 연산자의 등비급수로 일반화한 특수한 경우이다. 급수의 일반화된 초기항은 항등 연산자 이고, 급수의 일반화된 공비는 연산자 이다.

이 급수는 카를 노이만이라는 수학자의 이름을 따서 명명되었으며, 그는 1877년에 퍼텐셜 이론의 맥락에서 이 급수를 사용했다. 노이만 급수는 함수해석학에서 사용된다. 이는 유계 연산자의 스펙트럼을 연구하는 레졸벤트 형식과 밀접하게 연결되어 있으며, 함수에 왼쪽에서 적용될 경우 프레드홀름 적분 방정식을 형식적으로 푸는 리우빌-노이만 급수를 형성한다.

 속성 
가 노름 공간 의 유계 선형 연산자라고 가정하자. 노이만 급수가 작용소 노름에서 수렴하면, 는 가역이며 그 역행렬은 다음과 같다.
,
여기서 는 의 항등 연산자이다. 이유를 알아보기 위해 부분합을 고려하자.
.
그러면 다음을 얻는다.

연산자에 대한 이 결과는 에서의 등비급수와 유사하다.

수렴이 보장되는 한 가지 경우는 가 바나흐 공간이고 연산자 노름에서 인 경우이며, 또 다른 호환 가능한 경우는 가 수렴하는 경우이다. 그러나 이 급수가 수렴하는 더 약한 조건을 제공하는 결과도 있다.

 예시 
가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

노이만 급수 가 이 무한대로 갈 때 로 수렴하려면, 의 행렬 노름이 1보다 작아야 한다. 이 노름은 다음과 같다.

이는 노이만 급수가 수렴함을 확인시켜준다.

 근사 행렬 역산 
절단된 노이만 급수는 근사 행렬 역산에 사용될 수 있다. 가역 행렬 의 역행렬을 근사하기 위해 다음을 고려하자.

에 대해. 그러면, 에 대한 적절한 노름 조건이 만족되면 라는 노이만 급수 항등식을 사용하여 를 얻는다. 이러한 항들은 노름 조건이 주어졌을 때 가 증가함에 따라 작아지므로, 급수를 유한한 에서 절단하면 역행렬에 대한 실용적인 근사치를 얻을 수 있다.

 가역 연산자의 집합은 열려있다 
두 바나흐 공간 와  사이의 가역 연산자 집합이 연산자 노름에 의해 유도된 위상에서 열려있다는 것은 하나의 따름정리이다. 실제로 가 가역 연산자이고 가 또 다른 연산자라고 하자.
만약 이면,  또한 가역이다.
이므로, 노이만 급수 는 수렴한다. 그러므로 다음을 얻는다.

노름을 취하면 다음을 얻는다.

의 노름은 다음으로 경계될 수 있다.

 응용 
노이만 급수는 대규모 다중 사용자 multiple-input multiple-output (MIMO) 무선 시스템에서 선형 데이터 검출에 사용되어 왔다. 절단된 노이만 급수를 사용하면 명시적인 행렬 역산을 계산할 필요가 없어 선형 데이터 검출의 복잡성을 세제곱에서 제곱으로 줄일 수 있다.

또 다른 응용은 전송 함수에 대한 닫힌 형식 표현을 도출하기 위해 노이만 급수를 활용하는 전파 그래프 이론이다.

 각주 



분류:함수해석학
분류:급수