파울리 방정식

양자역학에서 파울리 방정식() 또는 슈뢰딩거-파울리 방정식()은 스핀-1/2 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 공식으로, 입자의 스핀과 외부 전자기장의 상호작용을 고려한다. 이는 상대론적이 아닌 디랙 방정식의 한계이며, 입자가 빛의 속력보다 훨씬 느린 속도로 움직여 상대론적 효과를 무시할 수 있는 경우에 사용할 수 있다. 이 방정식은 1927년 볼프강 파울리에 의해 정립되었다. 선형화된 형태로는 레비-르블롱 방정식으로 알려져 있다.

 방정식 
질량 과 전하 를 가진 입자가 자기 벡터 퍼텐셜 와 전위 로 기술되는 전자기장에 있을 때, 파울리 방정식은 다음과 같다.

여기서 는 편의를 위해 벡터로 묶인 파울리 연산자이며, 는 위치 표현에서 운동량 연산자이다. 시스템의 상태  (브라-켓 표기법으로 표기됨)는 두 성분 스피너 파동 함수 또는 열 벡터 (기저 선택 후)로 간주할 수 있다.
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해밀토니언 연산자는 파울리 연산자 때문에 2 × 2 행렬이다.

이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 파울리 방정식이 나온다. 이 해밀토니언은 전자기장과 상호작용하는 전하를 띤 입자에 대한 고전적인 해밀토니언과 유사하다. 이 고전적인 경우에 대한 자세한 내용은 로런츠 힘을 참조하라. 전자기장이 없는 자유 입자의 운동 에너지 항은 단순히 이며, 여기서 는 운동량이지만, 전자기장이 있는 경우에는 최소 결합 를 포함하며, 여기서 는 운동량이고 는 정준 운동량이다.

파울리 연산자는 파울리 벡터 항등식을 사용하여 운동 에너지 항에서 제거할 수 있다:

벡터와 달리 미분 연산자 는 자신과의 외적이 0이 아님을 유의하라. 이는 스칼라 함수 에 적용된 외적을 고려하면 알 수 있다:

여기서 는 자기장이다.

완전한 파울리 방정식의 경우, 다음을 얻는다

이 방정식은 균일한 자기장을 갖는 란다우 양자화 또는 이상적인 쿨롱형 비균일 자기장의 맥락에서 알려진 몇 가지 해석적 결과만 있다.

 약한 자기장 
자기장이 상수이고 균일한 경우, 대칭 게이지 를 사용하여 를 확장할 수 있다. 여기서 은 위치 연산자이고 A는 이제 연산자이다. 우리는 다음을 얻는다.

여기서 은 입자의 각운동량 연산자이며 자기장 제곱 의 항은 무시했다. 따라서 다음을 얻는다.

여기서 는 입자의 스핀이다. 스핀 앞에 있는 계수 2는 디랙 G-상수로 알려져 있다.  항은  형태이며, 이는 제이만 효과와 같이 자기 모멘트 와 자기장 사이의 일반적인 상호작용이다.

등방성 상수 자기장에 있는 전하 의 전자에서, 전체 각운동량 와 위그너-에카르트 정리를 사용하여 방정식을 더 줄일 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.

여기서 는 보어 마그네톤이고 는 와 관련된 자기양자수이다.  항은 랑데 지 인자로 알려져 있으며, 여기서는 다음과 같이 주어진다.

여기서 은 와 관련된 궤도 양자수이고 는 와 관련된 전체 궤도 양자수이다.

 디랙 방정식으로부터의 유도 
파울리 방정식은 스핀-1/2 입자의 상대론적 양자 운동 방정식인 디랙 방정식의 비상대론적 한계에서 추론할 수 있다.

 유도 
디랙 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 이고 는 두 성분 스피너이며, 디랙 스피너를 형성한다.

다음 가정을 사용하면,

두 개의 새로운 스피너 를 사용하면 방정식은 다음과 같이 된다.

비상대론적 한계에서 와 운동 및 정전기 에너지는 정지 에너지 에 비해 작으며, 이는 레비-르블롱 방정식으로 이어진다. 따라서

디랙 방정식의 상위 성분에 삽입하면 파울리 방정식(일반형)을 얻는다.

 폴디-워슈이젠 변환으로부터 
파울리 방정식의 엄밀한 유도는 외부 장에서의 디랙 방정식과  차수까지의 항을 고려한 폴디-워슈이젠 변환을 수행함으로써 얻어진다. 마찬가지로, 파울리 방정식에 대한 고차 보정은 대신  차수까지 확장할 때 스핀-궤도 및 다윈 상호작용 항을 발생시킨다.

 파울리 결합 
파울리 방정식은 g-인자 g=2를 제공하는 최소 결합을 요구하여 유도된다. 대부분의 기본 입자는 2와 다른 비정상적인 g-인자를 갖는다. 상대론적 양자장론 영역에서는 비정상적인 인자를 추가하기 위해 때때로 파울리 결합이라고 불리는 비최소 결합을 정의한다.

여기서 는 사차원 운동량 연산자, 는 전자기 퍼텐셜, 는 이상자기쌍극자모멘트에 비례하고, 는 전자기장 텐서이며, 는 로렌츠 스핀 행렬이자 디랙 행렬 의 교환자이다. 비상대론적 양자역학의 맥락에서, 슈뢰딩거 방정식을 사용하는 대신, 파울리 결합은 임의의 g-인자에 대한 파울리 방정식(또는 제이만 에너지 가정)을 사용하는 것과 동일하다.

 같이 보기 
 반고전론
 원자 분자 광 물리학
 군 축약
 고든 분해

 내용주 

 각주 

 서적 




분류:양자역학