볼테라 연산자

수학의 함수해석학 및 연산자 이론 분야에서 비토 볼테라의 이름을 딴 볼테라 연산자()는 구간 [0,1]에서 복소수 값을 갖는 제곱 적분 가능 함수의 공간 L2[0,1]에 대한 유계 선형 연산자이다. 연속 함수의 부분 공간 C[0,1]에서 부정적분을 나타낸다. 볼테라 적분 방정식에 해당하는 연산자이다.

 정의 
볼테라 연산자 V는 함수 f ∈ L2[0,1] 및 값 t ∈ [0,1]에 대해 다음과 같이 정의될 수 있다.

 속성 
V는 힐베르트 공간 사이의 유계 선형 연산자이며, 적분 기호를 교환하여 증명된 커널 형태는 다음과 같다.

V는 힐베르트-슈미트 연산자이며, 노름은 이므로 특히 콤팩트 연산자이다.
 에르미트 수반은 커널 형태를 갖는다.

양의 정부호 적분 연산자 는 적분 기호를 교환하여 증명된 커널 형태를 갖는다.

마찬가지로, 는 커널 를 갖는다. 이들은 를 통해 유니터리 동치이므로 둘 다 동일한 스펙트럼을 갖는다.
의 고유함수는 를 만족하며, 해는 다음과 같다.

여기서 이다.
V의 특잇값은 이며, 여기서 이다.
V의 작용소 노름은 이다.
V는 대각합류 작용소가 아니다.
V는 고유값을 가지지 않으므로, 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론에 따라 스펙트럼 σ(V) = {0}이다.
V는 준영 작용소 (즉, 스펙트럼 반지름, ρ(V''), 이 0이다)이지만, 영 작용소는 아니다.

 같이 보기 
 곱 적분

 각주 

 추가 자료 

분류:연산자 이론