다이슨 급수

산란 이론의 일부인 수리물리학에서 프리먼 다이슨이 공식화한 다이슨 급수()는 상호작용 묘사에서 시간 변화 연산자의 섭동 전개이다. 각 항은 파인만 도형의 합으로 나타낼 수 있다.

이 급수는 점근적으로 발산하지만, 양자 전기역학(QED)에서는 2차에서 실험 자료와의 차이가 10−10 정도이다. 이 근접한 일치는 QED의 결합 상수(또는 미세 구조 상수)가 1보다 훨씬 작기 때문에 유지된다.

 다이슨 연산자 
상호작용 묘사에서 해밀토니언 는 자유 부분 과 상호작용 부분 으로 와 같이 나눌 수 있다.

상호작용 묘사에서의 퍼텐셜은 다음과 같다.

여기서 는 시간에 독립적이고 는 슈뢰딩거 묘사의 시간 의존적인 상호작용 부분이다.
아래 첨자를 피하기 위해, 다음부터 는 를 나타낸다.

상호작용 묘사에서 진화 연산자 는 다음 방정식으로 정의된다.

이것은 때때로 다이슨 연산자라고 불린다.

진화 연산자는 시간 매개변수에 대해 유니터리 군을 형성한다. 그것은 다음의 군 속성을 가진다.
 항등 및 정규화: Sakurai, Modern Quantum mechanics, 2.1.10
 합성: Sakurai, Modern Quantum mechanics, 2.1.12
 시간 역전: 
 유니터리성: Sakurai, Modern Quantum mechanics, 2.1.11
이것들로부터 전파자의 시간 진화 방정식을 유도할 수 있다.Sakurai, Modern Quantum mechanics, 2.1 pp. 69-71

상호작용 묘사에서 해밀토니언은 상호작용 퍼텐셜 와 같으므로 방정식은 상호작용 묘사에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

주의: 이 시간 진화 방정식은 도모나가-슈윙거 방정식과 혼동해서는 안 된다.

형식적인 해는 다음과 같다.

이것은 궁극적으로 볼테라 적분의 한 유형이다.

 다이슨 급수의 유도 
위 볼테라 방정식의 반복 해는 다음 노이만 급수로 이어진다.

여기서 이며, 따라서 장은 시간 정렬되어 있다.  연산자(시간 정렬 연산자)를 도입하고 다음과 같이 정의하는 것이 유용하다.

적분 한계는 단순화될 수 있다. 일반적으로 대칭 함수 가 주어졌을 때 다음 적분들을 정의할 수 있다.

그리고

두 번째 적분의 적분 영역은 으로 정의되는 개의 부분 영역으로 나눌 수 있다. 의 대칭성 때문에 각 부분 영역에서의 적분은 동일하며 정의에 따라 과 같다. 따라서 다음이 성립한다.

이것을 이전 항등식에 적용하면 다음을 얻는다.

모든 항을 합하면 다이슨 급수가 얻어진다. 이것은 위의 노이만 급수의 단순화된 버전으로 시간 순서 곱을 포함하며, 경로 정렬 지수이다.Sakurai, Modern Quantum Mechanics, 2.1.33, pp. 72

이 결과는 다이슨 공식이라고도 불린다.Tong 3.20, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf 이 공식으로부터 군 법칙들을 유도할 수 있다.

 상태 벡터에 대한 적용 
시간 에서의 상태 벡터는 일 때 시간 에서의 상태 벡터로 다음과 같이 표현할 수 있다.

슈뢰딩거 묘사에서 에서의 초기 상태와 에서의 최종 상태의 내적은 일 때 다음과 같다.

하이젠베르크 묘사에서 이를 작성하고, 입사 및 출사 상태를 무한대로 취함으로써 S-행렬을 얻을 수 있다.

시간 정렬이 스칼라 곱에서 뒤집혔다는 점에 유의한다.

 같이 보기 
 슈윙거-다이슨 방정식
 매그너스 급수
 페아노-베이커 급수
 피카르 반복

 각주 

 찰스 J. 조아친, Quantum collision theory, North-Holland Publishing, 1975,  (Elsevier)

분류:양자장론
분류:산란 이론
분류:프리먼 다이슨