보트 주기 정리

수학에서 보트 주기 정리()는 고전군의 호모토피 군에서 나타나는 주기를 설명하며, 라울 보트가 1957년과 1959년에 발견했다. 이 정리는 특히 안정 복소수 벡터 다발의 K이론과 구의 안정 호모토피 군에 대한 많은 추가 연구의 기초적인 중요성을 입증했다. 보트 주기는 여러 가지 방식으로 공식화될 수 있으며, 문제의 주기는 항상 유니터리 군과 관련된 이론에 대해 차원에 따라 주기-2 현상으로 나타난다. 예를 들어 위상 K이론을 참조하라.

대응하는 이론, 즉 실수 KO이론과 사원수 KSp이론의 경우 주기-8 현상이 존재하며, 각각 실수 직교군과 사원수 심플렉틱 군과 관련된다. J-준동형은 직교군의 호모토피 군에서 구의 안정 호모토피 군으로의 준동형이며, 이로 인해 주기-8 보트 주기가 구의 안정 호모토피 군에서 관찰될 수 있다.

 결과 진술 
보트는 가 유니터리 군 의 귀납적 극한으로 정의될 때, 그 호모토피 군이 주기 2를 갖는 주기적이라는 것을 보여주었다.

여기서 이고, 처음 두 호모토피 군은 다음과 같다.

직교군 의 귀납적 극한에 대한 보트 주기 정리의 "실수" 또는 "직교" 버전은 다음과 같이 말한다.

여기서 이고, 처음 8개의 호모토피 군은 다음과 같다.

배경과 중요성
보트 주기의 배경은 호몰로지 이론과 유추하여 대수적 위상수학에서 기본적인 역할을 할 것으로 예상되는 구의 호모토피 군이 파악하기 어려웠다는 것이다(그리고 이론은 복잡하다). 안정 호모토피 이론은 현수(원과의 분쇄곱) 연산을 도입하고, 방정식의 양변을 원하는 만큼 현수할 수 있을 때 호모토피 이론에 (대략적으로 말해) 무엇이 남는지 확인함으로써 단순화로 고안되었다. 안정 이론은 실제로는 계산하기 여전히 어려웠다.

보트 주기가 제공한 것은 특성류와 그 코호몰로지의 연결 때문에 위상수학에서 중심적인 위치를 차지하는 매우 비자명한 공간들에 대한 통찰력으로, 모든 (불안정) 호모토피 군을 계산할 수 있었다. 이 공간들은 (무한 또는 안정) 유니터리, 직교 및 심플렉틱 군 U, O 및 Sp이다. 이 맥락에서 안정은 다음 포함열의 합집합 U (또한 귀납적 극한으로 알려짐)를 취하는 것을 의미한다.

O와 Sp에 대해서도 마찬가지이다. 보트의 주요 논문 제목에 사용된 "안정"이라는 단어는 이러한 안정 고전군을 지칭하며 안정 호모토피 군을 지칭하는 것이 아님을 주목하라.

보트 주기와 구의 안정 호모토피 군 의 중요한 연결은 (안정) 고전군의 (불안정) 호모토피 군에서 이러한 안정 호모토피 군 으로의 소위 안정 J-준동형을 통해 이루어진다. 원래 조지 W. 화이트헤드가 설명했으며, 대니얼 퀼런이 1971년에 최종적으로 긍정적으로 해결한 유명한 아담스 추측 (1963)의 주제가 되었다.

보트의 원래 결과는 다음과 같이 간결하게 요약될 수 있다.

따름정리: (무한) 고전군의 (불안정) 호모토피 군은 주기적이다.

참고: 이 중 두 번째와 세 번째 동형은 얽혀서 8겹 주기 결과를 제공한다.

 고리 공간과 분류 공간 
무한 유니터리 군 U와 관련된 이론의 경우, 공간 BU는 안정 복소수 벡터 다발의 분류 공간(무한 차원의 그라스만 다양체)이다. 보트 주기의 한 공식화는 BU의 이중 고리 공간 를 설명한다. 여기서 는 고리 공간 함자이며, 현수에 대한 오른쪽 수반 함자이자 분류 공간 구성에 대한 왼쪽 수반 함자이다. 보트 주기는 이 이중 고리 공간이 본질적으로 다시 BU임을 나타낸다. 더 정확히 말하면,

는 본질적으로 (즉, 호모토피 동치적으로) 셀 수 있는 수의 BU 복사본의 합집합이다. 동등한 공식화는 다음과 같다.

이 중 어느 것도 (복소수) 위상 K이론이 2겹 주기 이론인 이유를 즉시 보여준다.

무한 직교군 O에 대한 대응하는 이론에서 공간 BO는 안정 실수 벡터 다발의 분류 공간이다. 이 경우 보트 주기는 8겹 고리 공간에 대해

또는 동등하게,

KO이론이 8겹 주기 이론이라는 결과를 낳는다. 또한 무한 심플렉틱 군 Sp에 대해 공간 BSp는 안정 사원수 벡터 다발의 분류 공간이며, 보트 주기는 다음과 같이 말한다.

또는 동등하게

따라서 위상 실수 K이론(KO이론이라고도 함)과 위상 사원수 K이론(KSp이론이라고도 함) 모두 8겹 주기 이론이다.

 고리 공간의 기하학적 모델 
보트 주기의 한 우아한 공식화는 고전군 사이에 자연스러운 포함(닫힌 부분군으로서)이 있다는 관찰을 활용한다. 보트 주기의 고리 공간은 연속적인 몫 공간의 대칭 공간에 추가적인 이산적인 Z 요소를 더한 것과 호모토피 동치이다.

복소수 위에서:

실수와 사원수 위에서:

이러한 수열은 클리퍼드 대수의 수열에 해당한다. 클리퍼드 대수의 분류를 참조하라. 복소수 위에서:

실수와 사원수 위에서:

여기서 나눗셈 대수는 "해당 대수 위의 행렬"을 나타낸다.

2주기/8주기이므로 원형으로 배열할 수 있으며, 이를 보트 주기 시계와 클리퍼드 대수 시계라고 부른다.

보트 주기 결과는 다음 일련의 호모토피 동치로 다듬어진다.

복소수 K이론의 경우:

실수 및 사원수 KO- 및 KSp-이론의 경우:

결과 공간들은 고전적인 환원 가능 대칭 공간과 호모토피 동치이며, 보트 주기 시계의 항들의 연속적인 몫 공간이다. 이 동치들은 즉시 보트 주기 정리를 산출한다.

특정 공간들은 다음과 같다.이 해석과 라벨링은 약간 부정확하며, 기약 대칭 공간을 참조하는 반면 이들은 더 일반적인 환원 가능 공간이다. 예를 들어, SU/Sp는 기약인 반면 U/Sp는 환원 가능하다. 이들이 보여주듯이, 차이는 방향을 포함하는지 여부로 해석될 수 있다. (군의 경우 주동질 공간도 나열된다):
 고리 공간  몫 공간  카르탄의 라벨  설명     BDI  실수 그라스만 다양체      직교군 (실수 슈티펠 다양체)     DIII  주어진 직교 구조와 호환되는 복소 구조의 공간     AII  주어진 복소 구조와 호환되는 사원수 구조의 공간     CII  사원수 그라스만 다양체      심플렉틱 군 (사원수 슈티펠 다양체)     CI  복소 라그랑주 그라스만 다양체     AI  라그랑주 그라스만 다양체

 증명 
보트의 원래 증명은 모스 이론을 사용했으며, 이는 이 이전에 리 군의 호몰로지를 연구하는 데 사용했었다. 많은 다른 증명들이 제시되었다.

 내용주 

 각주 

. 이 정리와 주변 수학에 대한 설명적인 내용.

분류:리 군