클레인 변환

양자장론에서 클레인 변환()R. F. 스트리터와 아서 와이트먼, PCT, 스핀 및 통계 등, §4.4, 프린스턴 대학교 출판부, 수학 및 물리학의 이정표, 2000 (초판, 뉴욕, 벤자민 1964).은 스핀-통계 정리를 수정하기 위한 장의 재정의이다.

 보스-아인슈타인 
φ와 χ가 다음과 같은 장이라고 가정하자. 즉, x와 y가 공간꼴로 분리된 점이고 i와 j가 스피너/텐서 지수를 나타낸다면,

또한 χ가 Z2 패리티(공간 반사와는 관련 없음!)에 대해 불변이라고 가정하자. 이 패리티는 χ를 −χ로 매핑하지만 φ는 불변으로 남겨둔다. 자유장 이론은 항상 이 속성을 만족한다. 그러면 χ 입자 수의 Z2 패리티는 잘 정의되고 시간적으로 보존된다. 이 패리티를 Kχ 연산자로 나타내자. 이 연산자는 χ-짝수 상태를 자신으로 매핑하고 χ-홀수 상태를 그들의 음수로 매핑한다. 그러면 Kχ는 대합적이며, 헤르미트이며 유니터리이다.

위의 장 φ와 χ는 보손 또는 페르미온에 대한 적절한 통계 관계를 가지고 있지 않다. 이는 이들이 자신에 대해서는 보손적이지만 서로에 대해서는 페르미온적이라는 것을 의미한다. 이들의 통계적 속성은 자체적으로 볼 때 정확히 보스-아인슈타인 통계와 동일한 통계를 가진다. 그 이유는 다음과 같다.

두 개의 새로운 장 φ'와 χ'를 다음과 같이 정의하자.

그리고

이 재정의는 역변환 가능하다 (Kχ가 그렇기 때문에). 공간꼴 교환 관계는 다음과 같다.

페르미-디랙
다음과 같은 예를 고려해 보자.

(평소와 같이 공간꼴로 분리됨).

χ에만 작용하는 Z2 보존 패리티 연산자 Kχ가 있다고 가정하자.

그리고

그러면

 각주 

 같이 보기 
 요르단-슈윙거 변환
 요르단-위그너 변환
 보고류보프-발라틴 변환
 홀슈타인-프리마코프 변환

분류:양자장론