작용-각도 좌표

고전역학에서 작용-각도 좌표()는 보존된 에너지 준위 집합이 콤팩트하고 통근 흐름이 완전할 때 적분가능계에서 통근 흐름의 본질을 특징짓는 데 유용한 정준좌표 집합이다. 작용-각도 변수는 운동 방정식을 풀지 않고도 진동 또는 회전 운동의 진동수를 얻는 데도 중요하다. 이는 시스템이 완전히 적분 가능할 때, 즉 독립적인 푸아송 가환 불변량의 수가 최대이고 보존된 에너지 표면이 콤팩트할 때만 존재하며, 동역학의 주요 특징을 제공한다. 이는 일반적으로 해밀턴-야코비 방정식이 완전히 분리 가능하고 분리 상수를 위상 공간의 함수로 풀 수 있을 때 실제 계산적 가치가 있다. 작용-각도 변수는 푸아송 가환 불변량에 의해 유도된 흐름이 공동 준위 집합 내에 남아 있는 반면, 에너지 준위 집합의 콤팩트성이 토리임을 의미하므로 불변 라그랑주 토러스()에 의한 엽층을 정의한다. 각도 변수는 통근 흐름이 선형인 잎에 대한 좌표를 제공한다.

고전 해밀턴 시스템과 슈뢰딩거 파동 역학 접근 방식에서의 양자화 사이의 연결은 해밀턴-야코비 방정식을 슈뢰딩거 방정식에 대한 WKB 점근 급수의 선행 항으로 봄으로써 명확해진다. 적분 가능한 시스템의 경우, 보어-조머펠트 양자화 조건은 양자 역학이 등장하기 전에 수소 원자의 스펙트럼을 계산하는 데 처음 사용되었다. 이들은 작용-각도 변수가 존재하고 환산 플랑크 상수 의 정수배여야 한다고 요구한다. 알베르트 아인슈타인의 EBK 양자화에서 비적분 시스템을 양자화하는 어려움에 대한 통찰력은 이 사실에 기반을 두었다.

작용-각도 좌표는 해밀턴 역학의 섭동 이론에서도 유용하며, 특히 단열 불변량을 결정하는 데 그렇다. 작은 섭동 하에서 적분 가능한 동적 시스템의 동적 안정성에 대한 혼돈 이론의 초기 결과 중 하나는 불변 토러스가 부분적으로 안정적임을 명시하는 KAM 정리이다.

적분가능계의 현대 이론에서 작용-각도 변수는 도다 격자의 해법, 랙스 쌍의 정의, 또는 더 일반적으로 적분 가능한 동역학을 특징짓는 선형 연산자의 등스펙트럼 진화 및 관련 스펙트럼 데이터를 해밀턴 형식에서 작용-각도 변수로 해석하는 데 사용되었다.

 유도 
작용 각도는 제2종 정준변환에서 생성 함수가 해밀턴의 특성 함수  (해밀턴의 주 함수 가 아님)인 경우 발생한다. 원래 해밀토니안은 시간에 명시적으로 의존하지 않으므로, 새로운 해밀토니안 는 단지 새로운 정준좌표  (작용 각도, 즉 일반화 좌표)와 그 새로운 일반화 운동량 로 표현된 이전 해밀토니안 이다. 여기서는 생성 함수  자체를 풀 필요는 없으며, 대신 새로운 정준좌표와 이전 정준좌표를 연결하는 수단으로만 사용할 것이다.

작용 각도 를 직접 정의하기보다는, 대신 그들의 일반화 운동량을 정의하는데, 이는 각 원래 일반화 좌표에 대한 고전적 작용과 유사하다.

여기서 적분 경로는 암묵적으로 상수 에너지 함수 에 의해 주어진다. 실제 운동은 이 적분에 관여하지 않으므로, 이러한 일반화 운동량 는 운동의 상수이며, 이는 변환된 해밀토니안 가 켤레 일반화 좌표 에 의존하지 않음을 의미한다.

여기서 는 제2종 정준변환의 전형적인 방정식으로 주어진다.


따라서 새로운 해밀토니안 는 새로운 일반화 운동량 에만 의존한다.

작용 각도의 동역학은 해밀턴 방정식으로 주어진다.


우변은 운동의 상수이다 (모든 가 상수이므로). 따라서 해는 다음과 같이 주어진다.

여기서 는 적분 상수이다. 특히, 원래의 일반화 좌표가 주기 의 진동 또는 회전을 겪는다면, 해당하는 작용 각도 는 만큼 변한다.

이러한 는 원래의 일반화 좌표 의 진동/회전 주파수이다. 이를 보이기 위해, 일반화 좌표 의 정확히 한 완전한 변화 (즉, 진동 또는 회전)에 걸쳐 작용 각도 의 순 변화를 적분한다.


에 대한 두 식을 같다고 놓으면, 원하는 방정식을 얻는다.


작용 각도 는 일반화 좌표의 독립적인 집합이다. 따라서 일반적인 경우, 각 원래 일반화 좌표 는 모든 작용 각도에 대한 푸리에 급수로 표현될 수 있다.

여기서 는 푸리에 급수 계수이다. 그러나 대부분의 실제 경우에서, 원래 일반화 좌표 는 자체 작용 각도 에 대한 푸리에 급수로만 표현될 수 있다.


 기본 프로토콜 요약 
일반적인 절차는 세 단계로 구성된다.
 새로운 일반화 운동량 를 계산한다.
 원래 해밀토니안을 이 변수들로만 표현한다.
 이 운동량에 대해 해밀토니안을 미분하여 주파수 를 얻는다.

 축퇴 
어떤 경우에는 서로 다른 두 일반화 좌표의 주파수가 동일하다. 즉, 에 대해 이다. 이런 경우, 운동을 축퇴라고 한다.

축퇴 운동은 추가적인 일반적인 보존량이 있음을 나타낸다. 예를 들어, 케플러 문제의 주파수는 축퇴되어 있으며, 이는 라플라스-룽게-렌츠 벡터의 보존에 해당한다.

축퇴 운동은 또한 해밀턴-야코비 방정식이 둘 이상의 좌표계에서 완전히 분리 가능함을 나타낸다. 예를 들어, 케플러 문제는 구면 좌표계와 포물선 좌표계 모두에서 완전히 분리 가능하다.

 같이 보기 
 보어-조머펠트 모형
 적분가능계
 아인슈타인-브릴루앵-켈러 방법
 초적분가능 해밀턴계
 리우빌 미분 형식

 각주 
  (hardcover) and  (softcover)




분류:고전역학
분류:동역학계
분류:좌표계
분류:해밀턴 역학