요르단-위그너 변환

요르단-위그너 변환()은 스핀 연산자를 페르미온적 생성 및 소멸 연산자로 매핑하는 변환이다. 이 변환은 파스쿠알 요르단과 유진 위그너P. Jordan and E. Wigner, Über das Paulische Äquivalenzverbot, Zeitschrift für Physik 47, No. 9. (1928), pp. 631–651, .에 의해 1차원 격자 모형을 위해 제안되었지만, 현재는 변환의 2차원 유사체도 생성되었다. 요르단-위그너 변환은 종종 이징 모형과 XY 모형과 같은 1차원 스핀 사슬을 정확히 풀기 위해 스핀 연산자를 페르미온 연산자로 변환한 다음 페르미온 기저에서 대각화하는 데 사용된다.

이 변환은 실제로 스핀-1/2 입자와 페르미온의 구별이 존재하지 않음을 보여준다. 임의의 차원을 가진 시스템에 적용할 수 있다.

 스핀과 페르미온의 유사성 
아래에서는 1차원 스핀-1/2 입자 스핀 사슬을 페르미온으로 매핑하는 방법을 보여줄 것이다.

1차원 사슬의 위치 에서 작용하는 스핀-1/2 파울리 행렬 를 취한다. 와 의 반교환자를 취하면 페르미온적 생성 및 소멸 연산자에서 예상할 수 있듯이 를 얻는다. 우리는 다음과 같이 설정하고 싶을 수 있다.

이제 우리는 올바른 동일 위치 페르미온 관계 를 가지고 있지만, 다른 위치에서는 일 때  및  관계를 가지므로, 스핀은 페르미온처럼 반교환하지 않고 다른 위치에서 교환한다. 이 유사성을 진지하게 받아들이기 전에 이 문제를 해결해야 한다.

스핀 연산자로부터 진정한 페르미온 교환 관계를 복구하는 변환은 1928년 요르단과 위그너에 의해 수행되었다. 이것은 클라인 변환의 특별한 예이다. 우리는 페르미온 사슬을 취하고 새로운 연산자 집합을 정의한다.

이들은 위에서 위상 만 다르다. 위상은 장의  모드에서 점유된 페르미온 모드의 수에 의해 결정된다. 위상은 점유된 모드의 수가 짝수이면 이고, 홀수이면 이다. 이 위상은 종종 다음과 같이 표현된다.

변환된 스핀 연산자는 이제 적절한 페르미온 정준 반교환 관계를 갖는다.

위의 반교환 관계는 다음 관계를 호출하여 증명할 수 있다.

역변환은 다음과 같이 주어진다.

페르미온 연산자의 정의는 스핀 연산자가 정의된 위치의 왼쪽에 있는 전체 연산자 사슬을 다루어야 하므로 보손 연산자와 관련하여 비국소적이다. 이는 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 이것은 주문 연산자 대신 무질서 연산자인 '트 후프트 루프의 예이다. 이것은 또한 S-이중성의 예이기도 하다.

시스템이 1차원보다 많은 차원을 가지더라도 변환은 여전히 적용될 수 있다. 단일 인덱스로 사이트를 임의의 방식으로 레이블링하기만 하면 된다.

 양자 컴퓨팅 
요르단-위그너 변환은 페르미온 해밀토니안을 스핀 해밀토니안으로 매핑하기 위해 역변환될 수 있다. 일련의 스핀은 양자 컴퓨팅을 위한 큐비트 사슬과 동일하다. 일부 분자 포텐셜은 이 변환을 사용하여 양자 컴퓨터에 의해 효율적으로 시뮬레이션될 수 있다.

 같이 보기 
 S-이중성
 클레인 변환
 보골류보프 변환
 홀슈타인-프리마코프 변환
 요르단-슈윙거 변환

 각주 

추가 자료
 Michael Nielsen, 
 Piers Coleman, simple examples of second quantization

분류:응집물질물리학
분류:양자장론
분류:통계역학
분류:격자 모형