클레인-크라머르스 방정식

물리학과 수학에서 클레인–크라머르스 방정식() 또는 때로는 크라머르스–찬드라세카르 방정식()은 브라운 운동 입자의 위상 공간 에서 확률 밀도 함수 를 설명하는 편미분 방정식이다. 이것은 포커르-플랑크 방정식의 특수한 경우이다.

하나의 공간 차원에서 는 스칼라 , , 의 세 독립 변수의 함수이다. 이 경우 클레인-크라머르스 방정식은 다음과 같다.

여기서 는 외부 포텐셜, 은 입자 질량, 는 마찰(항력) 계수, 는 온도, 는 볼츠만 상수이다.  공간 차원에서의 방정식은 다음과 같다.

여기서  및 는  및 에 대한 경사 연산자이며, 는 에 대한 라플라시안이다.

분수 클레인-크라머르스 방정식()은 분수계 미적분학을 통해 이상 확산을 통합하는 일반화이다.

 물리적 근거 
클레인-크라머르스 방정식의 물리적 모델은 과소 감쇠 브라운 입자이다. 과대 감쇠 브라운 운동인 표준 브라운 운동과 달리, 과소 감쇠 브라운 운동은 마찰을 유한하게 취하며, 이 경우 운동량은 독립적인 자유도가 된다.

수학적으로, 입자의 상태는 위치 과 운동량 로 기술되며, 이는 랑주뱅 방정식에 따라 시간에 따라 진화한다.

여기서 는 온도 의 배경 매질에서 의 열적 요동을 모델링하는 -차원 가우스 백색 잡음이다. 이 방정식은 뉴턴의 운동 제2법칙과 유사하지만, 잡음 항  때문에 결정론적이 아닌 추계학적("무작위")이다.

동역학은 또한 확률 밀도 함수 로 설명될 수 있으며, 이는 시간 에 입자가 위치 에 있고 운동량 를 가질 확률을 나타낸다. 랑주뱅 방정식에서 나오는 추계학적 궤적들을 평균함으로써, 가 클레인-크라머르스 방정식을 따른다는 것을 보일 수 있다.

 자유 공간에서의 해 
-차원 자유 공간 문제는 힘을 0으로 설정하고, 무한대에서 0으로 감소하는 에서의 해, 즉 일 때 인 해를 고려한다.

점원 초기 조건인 1D 자유 공간 문제, 의 경우, 와 에 대한 이변량 가우스 분포인 해는 수브라마니안 찬드라세카르가 1943년에 풀었다 (그는 또한 퍼텐셜이 존재하는 문제들을 풀기 위한 일반적인 방법론을 고안했다):

여기서

이 특수 해는 그린 함수 로도 알려져 있으며, 일반 해, 즉 일반적인 초기 조건 에 대한 해를 구성하는 데 사용될 수 있다:

유사하게, 점원 초기 조건인 3D 자유 공간 문제 는 다음과 같은 해를 갖는다.

여기서 , 이며, 와 는 1D 해와 같이 정의된다.

 점근적 행동 
특정 조건에서 자유 공간 클레인-크라머르스 방정식의 해는 확산 과정처럼 점근적으로 행동한다. 예를 들어,

이면 밀도 는 다음을 만족한다.

여기서 는 확산 방정식의 자유 공간 그린 함수이다.

 경계 근처에서의 해 
클레인-크라머르스 방정식의 1D, 시간에 무관한, 힘이 없는 () 버전은 반무한 또는 유계 영역에서 변수분리법으로 풀 수 있다. 해는 일반적으로 공간적으로 빠르게 변하고 경계 자체에서는 비해석적인 경계층을 형성한다.

잘 설정된 문제는  영역의 절반에만 경계 데이터를 규정한다: 왼쪽 경계에서는 양의 절반 (), 오른쪽 경계에서는 음의 절반 ()이다. 에서 정의된 반무한 문제의 경우 경계 조건은 다음과 같이 주어질 수 있다.

일부 함수 에 대해.

점원 경계 조건의 경우, 해는 무한 합과 곱으로 정확한 표현을 갖는다. 여기서 결과는 클레인-크라머르스 방정식의 무차원 버전에 대해 기술된다.

이 표현에서 길이와 시간은  및  단위로 측정되며,  및 는 모두 무차원이다. 에서의 경계 조건이 이고, 여기서 이면, 해는 다음과 같다.

여기서

이 결과는 위너-호프 방법으로 얻을 수 있다. 그러나 이 표현의 실제 사용은 계열의 느린 수렴, 특히  값이 0에 가까울 때 제한적이다.

 같이 보기 
 포커르-플랑크 방정식
 오른슈타인-울렌벡 과정
 위너 확률 과정
 선형 수송 이론
 중성자 수송

 각주 

분류:편미분 방정식