삼원도

삼원도() 또는 삼원 그래프(ternary graph), 삼각형 그래프(triangle plot), 단순 그래프(simplex plot) 또는 깁스 삼각형(Gibbs triangle)은 세 변수가 상수로 합산되는 중심좌표계 그래프이다. 이 그래프는 세 변수의 비율을 정삼각형 내의 위치로 시각적으로 나타낸다. 물리화학, 암석학, 광물학, 금속공학 및 기타 물리 과학에서 세 가지 종으로 구성된 시스템의 조성을 보여주는 데 사용된다. 삼원도는 3차원 경우의 조성 데이터를 분석하는 도구이다.

집단유전학에서는 유전자형 빈도의 삼각형 그래프를 드 피네티 다이어그램이라고 한다. 게임 이론Karl Tuyls, "An evolutionary game-theoretic analysis of poker strategies", Entertainment Computing January 2009 , p. 9과 볼록 최적화Boyd, S. and Vandenberghe, L., 2004. Convex optimization. Cambridge university press.에서는 종종 단순 그래프라고 불린다.

삼원도에서 세 변수 , , 의 값은 어떤 상수 로 합산되어야 한다. 일반적으로 이 상수는 1.0 또는 100%로 표시된다. 그래프로 그려지는 모든 물질에 대해 이므로, 어떤 한 변수는 다른 변수들과 독립적이지 않으며, 그래프에서 샘플의 점을 찾기 위해서는 두 변수만 알아도 된다. 예를 들어, 는 와 같아야 한다. 세 가지 숫자 값은 독립적으로 변할 수 없으므로(즉, 자유도가 두 개뿐이므로), 세 변수의 모든 조합을 단 두 차원으로 그래프화할 수 있다.

화학 조성을 묘사하기 위해 삼원도를 사용하는 장점은 세 변수를 2차원 그래프에 편리하게 나타낼 수 있다는 것이다. 삼원도는 또한 다른 상이 존재하는 조성 영역을 그래프에 윤곽을 그려 상평형 그림을 만드는 데 사용될 수도 있다.

삼원도상의 한 점의 값은 (상수까지) 해당 삼선형 좌표 또는 중심좌표계와 일치한다.

 삼원도 값 읽기 
도표 상의 점의 값을 결정하는 데 사용될 수 있는 세 가지 등가 방법이 있다:

 평행선 또는 격자 방법. 첫 번째 방법은 삼각형 변과 평행한 선으로 구성된 도표 격자를 사용하는 것이다. 삼각형 변에 평행한 선은 해당 변의 반대편 꼭짓점에 위치한 구성 요소에서 일정한 점의 궤적이다. 각 구성 요소는 삼각형의 한 모서리에서는 100%이고, 반대편 변에서는 0%이며, 이 모서리에서 거리가 증가함에 따라(반대편 변에 수직으로) 선형적으로 감소한다. 0선과 모서리 사이에 일정한 간격으로 평행선을 그림으로써 쉽게 추정할 수 있는 미세한 구획을 설정할 수 있다.
 수직선 또는 고도 방법. 격자선이 없는 다이어그램의 경우, 값을 결정하는 가장 쉬운 방법은 관심 지점에서 세 변 각각까지의 최단 (즉, 수직) 거리를 결정하는 것이다. 비비아니 정리에 따라, 거리 (또는 거리 대 삼각형 높이의 비율)는 각 구성 요소의 값을 제공한다.
 모서리 선 또는 교차점 방법. 세 번째 방법은 수직선이나 평행선을 그릴 필요가 없다. 각 모서리에서 관심 지점을 통과하여 삼각형의 반대편 변으로 직선을 긋는다. 이 선들의 길이와 점과 해당 변 사이의 세그먼트의 길이를 개별적으로 측정한다. 측정된 선들의 비율은 구성 요소 값을 100%의 분수 형태로 제공한다.
평행선(격자선)을 따라 이동하면 두 값의 합이 보존되고, 수직선을 따라 이동하면 두 값이 같은 양만큼 증가(또는 감소)하며, 각각 세 번째 값의 감소(증가)의 절반이 된다. 모서리를 통과하는 선을 따라 이동하면 다른 두 값의 비율이 보존된다.

 데카르트 좌표에서 도출 
그림 (1)은 축이 각각 , , 인 3차원 데카르트 공간에서 점 의 경사 투영을 보여준다.

 (양의 상수)인 경우, 는 , , 를 포함하는 평면으로 제한된다. 만약 , , 가 각각 음수가 될 수 없다면, 는 (2)에서처럼 , , 에 의해 경계 지어진 삼각형으로 제한된다.

(3)에서는 축이 회전되어 등축 보기를 제공한다. 삼각형은 정면에서 볼 때 정삼각형으로 나타난다.

(4)에서는 에서 선 , , 까지의 거리를 각각 , , 로 나타낸다.

벡터 형식으로 된 임의의 선  (는 단위 벡터)과 점 에 대해, 에서 까지의 수직 거리는

이 경우, 점 는 다음과 같다.

선 는 다음과 같다.

수직 거리 공식을 사용하면,

를 대입하면,

선  및 에 대한 유사한 계산은 다음을 제공한다.

이는 해당 선으로부터의 점의 거리가 원래 값 , , 에 선형적으로 비례함을 보여준다.

 삼원도 그리기 
섬네일|upright|기울기 -1의 선을 추가하여 데카르트 격자에서 유사하게 그릴 수 있다. c축의 스케일은 a축과 b축의 이다. 십자 표시는  지점을 나타낸다.
데카르트 좌표는 삼각형에 점을 그리는 데 유용하다. 가 에 위치하고 가 에 위치하는 정삼각형 삼원도를 고려해 보자. 그러면 는 이고, 삼중 는 다음과 같다.

 예시 
lang=en|섬네일|250px|미국 농무부의 채색된 토양 질감 삼각형 다이어그램
이 예는 가상의 세 가지 토양 샘플에 대해 어떻게 작동하는지 보여준다.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!샘플||점토||실트||모래||비고
|-
|샘플 1||50%||20%||30%||align="left"|점토와 실트가 함께 이 샘플의 70%를 차지하므로, 구성 요소가 100%가 되려면 모래의 비율은 30%여야 한다.
|-
|샘플 2||10%||60%||30%||align="left"|모래의 비율은 샘플 1과 같이 30%이지만, 실트의 비율이 40% 증가함에 따라 점토의 비율도 그에 상응하게 감소한다.
|-
|샘플 3||10%||30%||60%||align="left"|이 샘플은 샘플 2와 같은 점토 비율을 가지지만, 실트와 모래의 비율이 바뀌었다. 그래프는 수직축에 대해 대칭이다.
|}

 점 그리기 

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 같이 보기 
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 비비아니 정리
 중심좌표계
 조성 데이터
 정보 그래픽 소프트웨어 목록
 지구과학 그래픽 소프트웨어
 IGOR Pro
 오리진
 R에는 Comprehensive R Archive Network (CRAN)에서 유지 관리되는 전용 패키지 ternary가 있다.
 시그마플롯
 프로젝트 트라이앵글
 트릴레마

 각주 

 외부 링크 






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