운동량 연산자

양자역학에서 운동량 연산자()는 운동량과 관련된 연산자이다. 운동량 연산자는 위치 표현에서 미분 연산자의 한 예이다. 하나의 공간 차원에서 하나의 입자의 경우 정의는 다음과 같다.

여기서 는 환산 플랑크 상수, 는 허수 단위, 는 공간 좌표이며, 파동 함수도 시간의 함수이므로 전미분() 대신 편미분(로 표시)이 사용된다. "모자"는 연산자를 나타낸다. 미분 가능한 파동 함수에 대한 연산자의 "적용"은 다음과 같다.

운동량 표현으로 표현된 운동량 고유 상태로 구성된 힐베르트 공간의 기저에서 연산자의 작용은 단순히 를 곱하는 것이며, 즉 그것은 곱셈 연산자이다. 위치 연산자가 위치 표현에서 곱셈 연산자인 것과 같다. 위의 정의는 정준 운동량이며, 이는 게이지 불변이 아니며 전자기장의 전하를 띤 입자에 대한 측정 가능한 물리량이 아니다. 이 경우, 정준 운동량은 운동량과 같지 않다.

1920년대 양자역학이 개발될 당시, 운동량 연산자는 닐스 보어, 아르놀트 조머펠트, 에르빈 슈뢰딩거, 유진 위그너를 포함한 많은 이론 물리학자들에 의해 발견되었다. 그 존재와 형태는 때때로 양자역학의 기초적인 가정 중 하나로 여겨진다.

 드 브로이 평면파에서 유래 
운동량과 에너지 연산자는 다음과 같이 구성될 수 있다.Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, 

 1차원 
1차원에서 시작하여 단일 자유 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 평면파 해를 사용한다.

여기서 는 -방향의 운동량으로 해석되고 는 입자 에너지이다. 공간에 대한 1차 편미분은 다음과 같다.

이것은 다음 연산자 등가성을 시사한다.

따라서 입자의 운동량과 입자가 평면파 상태에 있을 때 측정되는 값은 위 연산자의 (일반화된) 고유값이다.

편미분은 선형 연산자이므로 운동량 연산자도 선형이며, 모든 파동 함수는 다른 상태들의 양자 중첩으로 표현될 수 있으므로, 이 운동량 연산자가 전체 중첩된 파동에 작용할 때, 각 평면파 성분에 대한 운동량 고유값을 산출한다. 이 새로운 성분들은 중첩되어 새로운 상태를 형성하며, 일반적으로 이전 파동 함수의 배수가 아니다.

 3차원 
3차원에서의 유도는 동일하지만, 하나의 편미분 대신 델 연산자가 사용된다. 3차원에서 슈뢰딩거 방정식의 평면파 해는 다음과 같다.

그리고 기울기는 다음과 같다.

여기서 , , 및 는 세 공간 차원에 대한 단위 벡터이므로,

이 운동량 연산자는 공간 변수에 대해 편미분이 취해졌기 때문에 위치 공간에 있다.

 정의 (위치 공간) 

전하가 없고 스핀이 없는 단일 입자의 경우, 운동량 연산자는 위치 기저에서 다음과 같이 작성될 수 있다.Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, 

여기서 는 기울기 연산자, 는 환산 플랑크 상수, 그리고 는 허수 단위이다.

하나의 공간 차원에서 이것은 다음과 같이 된다.In the position coordinate representation,  that is, 

이것은 정준 운동량의 표현이다. 전자기장 내의 전하 를 가진 입자의 경우, 게이지 변환 동안 위치 공간 파동 함수는 국소적인 U(1) 군 변환을 겪게 되고, 는 그 값이 변한다. 따라서 정준 운동량은 게이지 불변이 아니며, 따라서 측정 가능한 물리량이 아니다.

게이지 불변 물리량인 운동량은 정준 운동량, 스칼라 퍼텐셜  및 벡터 퍼텐셜 로 표현될 수 있다.Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, 

위 표현을 최소 결합이라고 한다. 전기적으로 중성인 입자의 경우, 정준 운동량은 운동량과 같다.

 속성 

 에르미트성 
운동량 연산자는 대칭 (즉, 에르미트)이며, 양자 상태 공간의 조밀한 부분 공간에서 작용하는 비유계 작용소로 설명될 수 있다. 연산자가 (정규화 가능한) 양자 상태에 작용하는 경우, 연산자는 자기 수반이다. 물리학에서 '에르미트'라는 용어는 대칭 연산자와 자기 수반 연산자 둘 다를 의미하는 경우가 많다.See Lecture notes 1 by Robert Littlejohn  for a specific mathematical discussion and proof for the case of a single, uncharged, spin-zero particle. See Lecture notes 4 by Robert Littlejohn for the general case.

(반무한 구간 에서의 양자 상태와 같은 특정 인공적인 상황에서는 운동량 연산자를 에르미트화할 방법이 없다. 이는 반무한 구간이 병진 대칭성을 가질 수 없다는 사실과 밀접한 관련이 있다. 더 정확히 말하면, 유니터리 변환 연산자를 가지지 않는다. 아래 아래를 참조.)

 정준 교환 관계 

위치 또는 운동량 기저에서 임의의 상태에 교환자를 적용하면 다음을 쉽게 보일 수 있다.

여기서 는 단위 연산자이다.
하이젠베르크의 불확정성 원리는 단일 가관측량 시스템의 운동량과 위치가 동시에 얼마나 정확하게 알려질 수 있는지에 대한 한계를 정의한다. 양자역학에서 위치와 운동량은 켤레 변수이다.

 푸리에 변환 
다음 논의는 브라-켓 표기법을 사용한다.

따라서 물결표는 좌표 공간에서 운동량 공간으로 변환할 때 푸리에 변환을 나타낸다. 그러면 다음이 성립한다.

즉, 좌표 공간에서 작용하는 운동량은 공간 주파수에 해당한다.

유사한 결과가 운동량 기저에서 위치 연산자에도 적용된다.

이는 추가적인 유용한 관계들을 이끌어낸다.

여기서 는 디랙 델타 함수를 의미한다.

 무한소 변환으로부터의 유도 

변환 연산자는 로 표시되며, 여기서 는 변환의 길이를 나타낸다. 다음 항등식을 만족한다.

이는 다음이 된다.

함수 가 해석적이라고 가정하면 (미분 가능한 어떤 복소평면 영역에서), 에 대한 테일러 급수로 확장할 수 있다.

따라서 의 무한소 값에 대해 다음과 같다.

고전역학에서 알려진 바와 같이, 운동량은 변환의 생성자이므로, 변환 연산자와 운동량 연산자 사이의 관계는 다음과 같다.

따라서

 4차원 운동량 연산자 
위의 3차원 운동량 연산자와 에너지 연산자를 4차원 운동량 ( 계량 부호수를 가진 1-형식)에 삽입하면:

4차원 운동량 연산자를 얻는다.

여기서 는 4-기울기이며, 는 3차원 운동량 연산자 앞에 가 된다. 이 연산자는 디랙 방정식 및 기타 상대론적 파동 방정식과 같은 상대론적 양자장론에서 나타나는데, 에너지와 운동량이 위의 4차원 운동량 벡터로 결합되고, 운동량과 에너지 연산자가 공간 및 시간 미분에 해당하며, 로런츠 공변성을 위해 1차 편미분이어야 하기 때문이다.

4차원 운동량의 디랙 연산자와 디랙 슬래시는 디랙 행렬과 수축하여 주어진다.

만약 부호수가 였다면, 연산자는 다음이 되었을 것이다.

대신에.

 같이 보기 
 전자기장의 수학적 설명
 양자역학의 변환 연산자
 상대론적 파동 방정식
 파울리-루반스키 벡터

 각주 

분류:연산자 이론