준선형 효용 함수

경제학과 소비자 이론에서 준선형 효용() 함수는 한 인수에 대해 선형이며, 일반적으로는 화폐단위에 대해 선형이다. 준선형 선호는  와 같은 효용 함수로 표현될 수 있으며, 여기서 는 엄격히 증가하고 오목함수이다. 준선형 효용 함수의 유용한 특성은 에 대한 마샬/왈라스 수요가 부에 의존하지 않으므로 부의 효과의 영향을 받지 않는다는 점이다. 부의 효과가 없으면 분석이 단순해지고 준선형 효용 함수가 모델링에 흔히 사용된다. 또한 효용이 준선형일 때, 보상변화(CV), 등가변화(EV), 소비자 잉여는 대수적으로 동일하다. 메커니즘 디자인에서 준선형 효용은 에이전트들이 측면 지불을 통해 서로를 보상할 수 있도록 보장한다.

 선호에 따른 정의 
선호 관계 는 상품 1(이 경우 화폐단위 상품이라고 함)에 대해 준선형이다. 다음의 경우:
 모든 무차별 집합은 상품 1의 축을 따라 서로 평행 이동한다. 즉, 묶음 "x"가 묶음 "y"에 대해 무차별하다면 (x~y), 이다.
 상품 1은 바람직하다. 즉, 이다.

다시 말해, 선호 관계는 상품이 하나 존재하고, 이 상품(화폐단위라 불림)의 소비가 증가함에 따라 무차별 곡선을 바깥쪽으로 이동시키지만 그 기울기는 변경하지 않을 때 준선형이다.

2차원 경우에, 무차별 곡선은 평행하다. 이는 단일 무차별 곡선으로부터 전체 효용 함수를 결정할 수 있다는 점에서 유용하다.

 효용 함수에 따른 정의 
효용함수가 상품 x에 대해 준선형인 경우 다음 형식으로 나타낼 수 있다.

여기서 는 임의의 함수이다. 두 상품의 경우 이 함수는 예를 들어 가 될 수 있다.

준선형 형태는 소비재 중 하나를 제외한 모든 소비재에 대한 수요 함수가 상품과 화폐단위 상품(x) 사이의 관계에만 의존하고 소득에는 의존하지 않는다는 점에서 특별하다.

예시:
 여기서 는 엄격히 증가하고
오목 함수이다 (즉, ).

이때, 예산 제약 조건에 따라 효용을 극대화하면

내부 해에 대한 일차 조건을 산출한다.

.

따라서 상품 i에 대한 수요 함수는

이며 이는 소득 I와 무관하다. 또한, 상품 i는 상품 x의 대체재이다. 즉, 상품 i에 대한 수요는 상품 x의 가격 상승에 반응하여 증가한다.

이 경우의 간접 효용 함수는 다음과 같다.
.
x의 가격을 1로 정규화하면(즉, 다른 상품의 가격은 x에 대한 상대 가격), 간접 효용 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
.
이는 고먼 극형식의 특별한 경우이다.

 정의의 동등성 
볼록 선호를 가지고 첫 번째 인수에 대해 국소 비포화된 연속적인 선호를 가진 무차별 곡선 소비 집합의 경우 기수 효용 정의와 서수 효용 정의는 동등하다.

 같이 보기 
 준볼록 함수
 선형 효용 함수 - 준선형 효용 함수의 특별한 유형.

 각주 

분류:금융경제학