다변량 보간법

수치해석학에서 다변량 보간법() 또는 다차원 보간법(multidimensional interpolation)은 두 개 이상의 변수를 가지거나 다차원 영역에 정의된 다변량 함수에 대한 보간법이다.Jetter, Kurt; Buhmann, Martin D.; Haussmann, Werner; Schaback, Robert; and Stöckler, Joachim: Topics in Multivariate Approximation and Interpolation, Elsevier, ISBN 0-444-51844-4 (2006) 일반적인 특별한 경우는 두 변수 또는 두 차원을 기반으로 하는 이변량 보간법(bivariate interpolation) 또는 2차원 보간법(two-dimensional interpolation)이다. 변수가 공간 좌표일 경우, 이는 공간 보간법(spatial interpolation)이라고도 알려져 있다.

보간할 함수는 주어진 점 에서 알려져 있으며, 보간 문제는 임의의 점 에서 값을 산출하는 것으로 구성된다.

다변량 보간법은 특히 지리통계학에서 중요하며, 지구 표면의 점 집합(예: 측량에서의 고도점 또는 수로 측량에서의 깊이)으로부터 수치 표고 모델을 생성하는 데 사용된다.

 정규 격자 
정규 격자(미리 결정된, 반드시 균일할 필요는 없는 간격)에 알려진 함수 값의 경우 다음 방법들을 사용할 수 있다.

 모든 차원 
 최근접 이웃 보간법
 n-선형 보간법 (쌍선형 및 삼선형 보간법 그리고 다선형 다항식 참조)
 n-입방 보간법 (쌍입방 및 삼중 입방 보간법 참조)
 크리깅
 역거리 가중법
 자연 이웃 보간법
 스플라인 보간법
 방사 기저 함수 보간법

 2차원 
 바네스 보간법
 쌍선형 보간법
 쌍입방 보간법
 베지에 곡면
 란초스 리샘플링
 델로네 삼각분할

비트맵 리샘플링은 영상 처리에서 2D 다변량 보간법을 적용하는 것이다.

검은 점에 위치한 25개 값에서 동일한 데이터셋에 적용된 세 가지 방법. 색상은 보간된 값을 나타낸다.

두 변수의 다항식 보간법에 대해서는 파두아 점도 참조하라.

 3차원 
 삼선형 보간법
 삼중 입방 보간법

비트맵 리샘플링도 참조하라.

 N차원 텐서곱 스플라인 
캣멀-롬 스플라인은 임의의 차원으로 쉽게 일반화될 수 있다. 삼차 헤르미트 스플라인 문서는 가 어떤 4-벡터 에 대해 x만의 함수이며, 여기서 는 보간할 함수의 에서의 값임을 상기시켜 줄 것이다.
이 근사를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

이 공식은 N차원으로 직접 일반화될 수 있다:Two hierarchies of spline interpolations. Practical algorithms for multivariate higher order splines

헤르미트 스플라인을 포함한 다른 종류의 스플라인 보간법에 대해서도 유사한 일반화가 가능하다. 효율성 측면에서, 이 일반 공식은 삼중 입방 보간법 문서에 설명된 대로 모든 종류의 텐서곱 스플라인에 대해 연속적인  유형 연산의 합성으로 실제로 계산될 수 있다. 그러나 1차원 과 유사한 합산에 개의 항이 있으면 차원 합산에는 개의 항이 있을 것이라는 사실은 변함없다.

 불규칙 격자 (산재 데이터) 
불규칙 격자에 산재된 데이터에 대해 정의된 방식은 더 일반적이다.
이들은 모두 정규 격자에서 작동해야 하며, 일반적으로 다른 알려진 방법으로 축소된다.
 최근접 이웃 보간법
 불규칙 삼각망 기반 자연 이웃 보간법
 불규칙 삼각망 기반 선형 보간법 (일종의 조각별 선형 함수)
 n-단체 (예: 사면체) 보간법 (중심 좌표계 참조)
 역거리 가중법
 ABOS - 스무딩 기반 근사
 크리깅
 경사 강화 크리깅 (GEK)
 얇은 판 스플라인
 다항 조화 스플라인 (얇은 판 스플라인은 다항 조화 스플라인의 특별한 경우이다.)
 방사 기저 함수 (다항 조화 스플라인은 저차 다항식 항을 가진 방사 기저 함수의 특별한 경우이다.)
 최소 제곱 스플라인
 자연 이웃 보간법
 그리딩은 불규칙적으로 분포된 데이터를 정규 격자(격자 데이터)로 변환하는 과정이다.

 같이 보기 
 평활화
 표면 맞춤

 내용주 

 외부 링크 
 여러 1D, 2D, 3D 스플라인 보간법 (캣멀-롬 스플라인 포함)에 대한 C++ 코드 예제.
 다차원 헤르미트 보간법 및 근사, 퍼듀 대학교 챈드라짓 바자이 교수
 3D 및 4D 스플라인 보간법을 포함하는 파이썬 라이브러리.

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