회전 불변성

수학에서 내적 공간에 정의된 함수는 인수에 임의의 회전을 적용해도 값이 변하지 않으면 회전 불변성()을 가진다고 한다.

 수학 
 함수 
예를 들어, 함수

는 원점을 중심으로 한 평면의 회전에 대해 불변이다. 왜냐하면 어떤 각 θ를 통해 회전된 좌표계에 대해


항들의 소거 후 함수는 정확히 동일한 형태를 취하기 때문이다.


좌표의 회전은 회전변환행렬을 사용하여 행렬 형태로 표현할 수 있다.

또는 기호적으로  = Rx. 기호적으로, 두 실수 변수의 실수값 함수의 회전 불변성은 다음과 같다.


다시 말해, 회전된 좌표의 함수는 초기 좌표와 정확히 동일한 형태를 취하며, 유일한 차이점은 회전된 좌표가 초기 좌표를 대체한다는 것이다. 세 개 이상의 실수 변수를 가진 실수값 함수의 경우, 이 표현은 적절한 회전 행렬을 사용하여 쉽게 확장된다.

이 개념은 하나 이상의 변수를 가진 벡터 함수 f에도 확장된다.


위의 모든 경우에서 인자(여기서는 명확성을 위해 "좌표"라고 함)가 회전되는 것이지, 함수 자체가 회전되는 것은 아니다.

 연산자 
실직선 의 부분집합 X에서 자기 자신으로 요소를 매핑하는 함수

의 경우, 회전 불변성은 함수가 X의 요소들의 회전과 교환된다는 것을 의미할 수도 있다. 이는 그러한 함수에 작용하는 연산자에도 적용된다. 예를 들어 2차원 라플라스 연산자는 다음과 같다.

이 연산자는 함수 f에 작용하여 다른 함수 ∇2f를 얻는다. 이 연산자는 회전에 대해 불변이다.

g가 g(p) = f(R(p)) 함수이고 R이 임의의 회전이라면, (∇2g)(p) = (∇2f )(R(p))이다. 즉, 함수를 회전하는 것은 단순히 그 라플라시안을 회전하는 것이다. 

 물리학 
물리학에서 시스템이 공간에서 어떻게 놓여 있든 상관없이 동일하게 동작한다면, 그 라그랑주 함수는 회전 불변이다. 뇌터 정리에 따르면, 물리 시스템의 작용(라그랑주 함수의 시간에 대한 적분)이 회전에 대해 불변이라면 각운동량이 보존된다.

 양자역학에 대한 응용 

양자역학에서 회전 불변성은 회전 후에도 새로운 시스템이 여전히 슈뢰딩거 방정식을 따른다는 속성이다. 즉,

모든 회전 R에 대해 성립한다. 회전은 시간에 명시적으로 의존하지 않으므로, 에너지 연산자와 교환한다. 따라서 회전 불변성을 위해서는 [R, H] = 0이 성립해야 한다.

각도 dθ만큼의 미소 회전(이 예에서는 xy-평면에서; 다른 어떤 평면에서도 유사하게 할 수 있음)에 대해 (미소) 회전 연산자는 다음과 같다.

그러면

따라서


다시 말해 각운동량이 보존된다.

 같이 보기 
 선대칭
 불변 측도
 등방성
 맥스웰 정리
 회전대칭

 각주 
 Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality. Prometheus Books. Especially chpt. 12. Nontechnical.

분류:회전대칭성
분류:보존 법칙