다윈 라그랑지언

다윈 라그랑지언(, 박물학자 찰스 다윈의 손자인 찰스 갤턴 다윈의 이름을 따서 명명됨)은 진공 상태에서 두 대전 입자 사이의 상호작용을  차수까지 기술하며, 여기서 c는 빛의 속력이다. 이는 양자역학의 출현 이전에 도출되었으며, 원자 내 전자의 고전적 전자기 상호작용에 대한 보다 상세한 조사의 결과이다. 보어 모형으로부터 전자는 빛의 속도에 가까운 속도로 움직여야 한다는 것이 알려졌다. C.G. Darwin, The Dynamical Motions of Charged Particles, Philosophical Magazine 39, 537-551 (1920).

두 상호작용 입자에 대한 완전한 라그랑지언은 다음과 같다.

여기서 자유 입자 부분은 다음과 같다.

상호작용은 다음으로 기술된다.

여기서 가우스단위계에서의 쿨롱 상호작용은 다음과 같다.

반면 다윈 상호작용은 다음과 같다.

여기서  및 는 각각 입자 1과 2의 전하이고,  및 는 입자의 질량이며,  및 는 입자의 속도이고, 는 빛의 속력이며, 은 두 입자 사이의 벡터이고, 은  방향의 단위 벡터이다.

첫 번째 부분은 두 상대론적 입자의 자유 라그랑지언을 v에 대한 2차항까지 테일러 급수로 전개한 것이다. 다윈 상호작용 항은 한 입자가 다른 입자에 의해 생성된 자기장에 반응하기 때문에 발생한다. 의 고차항이 유지된다면, 장의 자유도를 고려해야 하며, 상호작용은 더 이상 입자들 사이에서 즉각적으로 일어난다고 볼 수 없다. 이 경우 지연 효과를 고려해야 한다.

 진공에서의 유도 
전하 q를 가진 입자가 전자기장과 상호작용하는 상대론적 라그랑지언은 다음과 같다.

여기서 는 입자의 상대론적 속도이다. 우변의 첫 번째 항은 쿨롱 상호작용을 생성한다. 두 번째 항은 다윈 상호작용을 생성한다.

쿨롱 게이지에서 벡터 퍼텐셜은 다음으로 기술된다.

여기서 횡방향 전류 는 두 번째 입자에 의해 생성된 솔레노이드 전류이다. 횡방향 전류의 발산 (벡터)은 0이다.

두 번째 입자에 의해 생성된 전류는 다음과 같다.

이는 푸리에 변환을 가진다.

전류의 횡방향 성분은 다음과 같다.

다음은 쉽게 확인할 수 있다.

이는 횡방향 전류의 발산이 0일 경우에 해당한다. 우리는 가 푸리에 변환된 전류 중 에 수직인 성분임을 알 수 있다.

벡터 퍼텐셜 방정식으로부터 벡터 퍼텐셜의 푸리에 변환은 다음과 같다.

여기서 우리는 의 가장 낮은 차수 항만 유지했다.

벡터 퍼텐셜의 역 푸리에 변환은 다음과 같다.

여기서

( 참조).

라그랑지언의 다윈 상호작용 항은 다음과 같다.

여기서 우리는 의 가장 낮은 차수 항만 다시 유지했다.

 라그랑주 운동 방정식 
입자 중 하나에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

여기서 은 입자의 운동량이다.

 자유 입자 
두 입자 간의 상호작용을 무시한 자유 입자의 운동 방정식은 다음과 같다.

 상호작용하는 입자 
상호작용하는 입자의 경우 운동 방정식은 다음과 같다.

 진공에서 두 입자에 대한 해밀토니안 
진공에서 두 입자에 대한 다윈 해밀토니안은 르장드르 변환으로 라그랑지언과 관련된다.

해밀토니안은 다음과 같다.

이 해밀토니안은 두 입자 사이의 상호작용 에너지를 제공한다. 최근 입자 속도로 표현될 때 마지막 항에서 단순히 를 설정하고 부호를 반전시켜야 한다고 주장되었다. K.T. McDonald, Darwin Energy Paradoxes, Princeton University (2019).

 운동 방정식 
해밀턴 운동 방정식은 다음과 같다.

그리고

이는 다음을 산출한다.

그리고

 양자 전기역학 
다윈 상호작용의 구조는 양자 전기역학에서도 명확하게 나타나며, 섭동 이론의 최저 차수에서 광자 교환에 의해 발생한다. 파동 벡터 인 사차원 운동량 를 가진 광자의 쿨롱 게이지에서의 전파 인자는 두 가지 성분을 가진다. V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii, Relativistic Quantum Theory, Pergamon Press, Oxford (1971).

는 두 대전 입자 사이의 쿨롱 상호작용을 제공하고, 반면

는 횡방향 광자의 교환을 설명한다. 이는 편광 벡터 를 가지며 전하 와 삼차원 운동량 를 가진 입자와 의 세기로 결합한다. 이 게이지에서는 이므로 광자가 입자와 결합하기 전후에 입자 운동량을 사용해도 상관없다.

두 입자 사이의 광자 교환에서, 여기 필요한  정확도까지 작동하는 전파 인자에서 주파수 를 에 비해 무시할 수 있다. 그러면 전파 인자의 두 부분이 함께 유효 해밀토니안을 제공한다.

는 k-공간에서의 상호작용에 대한 것이다. 이는 이제 고전적 결과와 동일하며 이 유도에서 사용된 양자 효과의 흔적은 없다.

디랙 입자와 스핀 이 결합할 때도 유사한 계산을 수행할 수 있으며, 브라이트 방정식의 유도에 사용된다. 이는 동일한 다윈 상호작용을 제공하지만 스핀 자유도를 포함하고 플랑크 상수에 의존하는 추가 항도 제공한다.

 같이 보기 
 정적 힘과 가상 입자 교환
 브라이트 방정식
 휠러-파인만 흡수자 이론

 각주 

분류:물리학 방정식