맥스웰 정리

확률론에서 맥스웰 정리(, 또는 허셜-맥스웰 정리(Herschel-Maxwell's theorem), 허셜-맥스웰 유도(Herschel-Maxwell's derivation)라고도 함)는 에서 무작위 벡터의 확률 분포가 회전에 의해 변하지 않고 구성 요소가 독립적이면 구성 요소가 동일하게 분포되고 정규 분포를 따른다는 정리이다.

 동치인 진술 
벡터 값의 확률 변수 X = ( X1, ..., Xn )T의 확률 분포가 모든 n×n 직교행렬 G에 대해 GX의 분포와 동일하고 구성 요소가 독립이면, 구성 요소 X1, ..., Xn은 기댓값 0과 모두 동일한 분산을 갖는 정규 분포를 따른다. 이 정리는 정규 분포의 여러 특성 중 하나이다.

Rn에서 회전 불변의 확률 분포 중 독립적인 구성 요소를 갖는 유일한 분포는 기댓값 0과 분산 σ2In(여기서 In = n×n 항등 행렬)을 갖는 다변량 정규분포이다.

 역사 
존 허셜은 1850년에 이 정리를 증명했다.Herschel, J. F. W. (1850). Review of Quetelet on probabilities. Edinburgh Rev., 92, 1–57. quotes Herschel and "state[s] the Herschel-Maxwell theorem in modern notation but without proof". Bryc cites M. S. Bartlett (1934) "for one of the early proofs" and lists several variants of the theorem that are proven in his book. 10년 후, 제임스 클러크 맥스웰은 1860년 논문의 명제 IV에서 이 정리를 증명했다.See:

 Maxwell, J.C. (1860) "Illustrations of the dynamical theory of gases. Part I. On the motions and collisions of perfectly elastic spheres," Philosophical Magazine, 4th series, 19 : 19–32.
 Maxwell, J.C. (1860) "Illustrations of the dynamical theory of gases. Part II. On the process of diffusion of two or more kinds of moving particles among one another," Philosophical Magazine, 4th series, 20 : 21–37.

 증명 
2차원 경우에 대해서만 정리의 증명이 필요하며, 그 다음에는 2차원 정리를 각 좌표 쌍에 순차적으로 적용하여 n차원으로 일반화할 수 있다.

90도 회전이 결합 분포를 보존하므로, 과 는 동일한 확률 측도 를 갖는다. 만약 가 0에서의 디랙 델타 분포라면, 이는 특히 퇴화된 가우스 분포이다. 이제 가 0에 집중된 디랙 델타 분포가 아니라고 가정하자.

르베그 분해에 의해 는 정규 측도와 원자 측도의 합으로 분해할 수 있다: . 우리는 임을 보여야 한다. 이를 위해 귀류법을 사용한다. 만약 가 원자 부분을 포함한다고 가정하면, 인 어떤 가 존재한다. 의 독립성에 의해, 조건부 변수 는 와 동일하게 분포된다. 이라고 가정하면, 우리가 가 0에 집중되지 않는다고 가정했으므로, 이다. 따라서 이중 광선 은 0이 아닌 확률을 갖는다. 이제 의 회전 대칭에 의해, 이중 광선의 어떤 회전도 동일한 0이 아닌 확률을 가지며, 어떤 두 회전도 서로 배타적이므로, 그들의 합집합은 무한한 확률을 가지게 되어 모순이다.

가 확률 밀도 함수 를 갖는다고 하자. 문제는 함수 방정식

을 푸는 것으로 귀결된다.

 각주 

 참고 문헌 




 외부 링크 
 3blue1brown 영상의 맥스웰 정리

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