시소이드

시소이드(Cissoid)는 기하학에서 두 개의 주어진 곡선 , 와 점 (극)으로부터 생성되는 평면 곡선이다. 를 지나 과 에서, 와 에서 교차하는 가변 직선 이 있다고 하자.  위의 점 는 를 만족한다. (실제로 그러한 점은 두 개가 있지만, 는 가 에서와 같은 방향으로 에서 선택된다.) 그러면 그러한 점 의 자취는 에 대한 곡선 , 의 시소이드로 정의된다.

약간 다르지만 본질적으로 동등한 정의가 다른 저자들에 의해 사용된다. 예를 들어, 는 를 만족하는 점으로 정의될 수 있다. 이것은 이 를 통한 반사로 대체되면 다른 정의와 동등하다. 또는 는 과 의 중점으로 정의될 수 있다. 이것은 이전 곡선이 1/2의 인수로 스케일링된 곡선을 생성한다.

 방정식 
만약 과 가 각각 와 로 극좌표계로 주어지면, 방정식 는 원점에 대한 과 의 시소이드를 나타낸다. 그러나 극좌표계에서 한 점은 여러 가지 방식으로 표현될 수 있으므로, 다른 방정식을 가지는 시소이드의 다른 가지가 있을 수 있다. 특히, 은 다음으로도 주어진다.

따라서 시소이드는 실제로는 방정식으로 주어진 곡선들의 합집합이다.

과 의 주기에 따라 중복으로 인해 어떤 방정식이 제거될 수 있는지는 개별적으로 결정할 수 있다.

섬네일|타원 는 빨간색, 두 시소이드 가지는 검은색과 파란색 (원점)
예를 들어, 과 가 모두 타원이라고 하자.

시소이드의 첫 번째 가지는 다음으로 주어진다.

이것은 단순히 원점이다. 타원은 다음으로도 주어진다.

따라서 시소이드의 두 번째 가지는 다음으로 주어진다.

이것은 타원 모양의 곡선이다.

만약 각 과 가 매개변수 방정식으로 주어진다면

그리고

그러면 원점에 대한 시소이드는 다음으로 주어진다.

 특정 경우 
이 를 중심으로 하는 원일 때, 시소이드는 의 콘코이드이다.

과 가 평행선일 때, 시소이드는 주어진 선들에 평행한 세 번째 선이다.

 쌍곡선 
과 가 평행하지 않은 두 직선이고, 가 원점이라고 하자. 과 의 극방정식이 다음과 같다고 하자.

그리고

각 만큼 회전하면 라고 가정할 수 있다. 그러면 원점에 대한 과 의 시소이드는 다음으로 주어진다.

상수들을 합치면

이것을 데카르트 좌표로 표현하면

이것은 원점을 지나는 쌍곡선이다. 따라서 평행하지 않은 두 직선의 시소이드는 극을 포함하는 쌍곡선이다. 유사한 유도를 통해, 역으로, 어떤 쌍곡선도 그 위의 임의의 점에 대한 두 평행하지 않은 직선의 시소이드임을 보여준다.

 자흐라드니크의 시소이드 
자흐라드니크의 시소이드(카렐 자흐라드니크의 이름을 따서 명명됨)는 원뿔 곡선과 원뿔 곡선 위의 임의의 점에 대한 직선의 시소이드로 정의된다. 이것은 여러 잘 알려진 예시를 포함하는 넓은 범위의 유리 3차 곡선족이다. 특히:
 맥로린의 삼등분선은 다음으로 주어진다.

이것은 원점 기준 원 과 직선 의 시소이드이다.

 직교 스트로포이드

이것은 원점 기준 원 과 직선 의 시소이드이다.
섬네일|upright=1.25|디오클레스의 시소이드를 시각화한 애니메이션
 디오클레스의 시소이드

이것은 원점 기준 원 과 직선 의 시소이드이다. 이것은 실제로 이 곡선족의 이름이 붙여진 곡선이며 일부 저자는 이것을 단순히 시소이드라고 부른다.

 원 과 직선  (여기서 는 매개변수)의 시소이드를 드 슬루즈의 콘코이드라고 한다. (이 곡선들은 실제로는 콘코이드가 아니다.) 이 곡선족에는 이전 예시들이 포함된다.
 데카르트의 엽선

이것은 원점 기준 타원 와 직선 의 시소이드이다. 이를 확인하려면, 직선을 다음과 같이 쓸 수 있음에 주목하라.

그리고 타원을 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서 시소이드는 다음으로 주어진다.

이것은 엽선의 매개변수 형태이다.

 같이 보기 
 콘코이드
 스트로포이드

 각주 

 C. A. Nelson "Note on rational plane cubics" Bull. Amer. Math. Soc. Volume 32, Number 1 (1926), 71-76.

 외부 링크 


 2D 곡선

분류:곡선
분류:대수 곡선