1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

수학에서,

는 오일러가 처음 다룬 발산 급수로, 자연수의 계승에 교대 부호를 붙여 합한 것이다. 발산함에도 불구하고, 보렐 합을 통해 약 0.596347의 값을 할당할 수 있다.

오일러와 보렐 합
이 급수는 오일러가 처음 다루었으며, 그는 수렴성 판정법을 적용하여 급수에 유한한 값을 할당했다. 이 급수는 교대로 더하거나 빼는 계승의 합이다. 이 발산 급수에 값을 할당하는 한 가지 방법은 보렐 합을 사용하는 것인데, 이때 형식적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

합과 적분을 서로 교환하면 (양쪽 모두 수렴하지 않는다는 점을 무시하고), 다음을 얻는다.

대괄호 안의 합은 일 때 수렴하며, 그 값은 와 같다. 의 모든 양의 실수 에 대한 해석적 연속은 합을 위한 수렴 적분으로 이어진다.



여기서 E1(z)는 지수 적분 함수이다. 이것은 정의에 따라 급수의 보렐 합이며, 곰페르츠 상수와 같다.

미분 방정식과의 연관성

다음 연립 미분 방정식을 고려하자.

여기서 점은 t에 대한 미분을 나타낸다.

t → ∞일 때 에서 안정적인 평형을 갖는 해는 y(t) = 이며, 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 형식적인 급수 해를 얻는다.

x(1)은 정확히 오일러 급수이다.

다른 한편으로, 미분 방정식 시스템은 해를 갖는다.

연속적인 부분 적분을 통해, 형식적인 멱급수는 x(t)에 대한 이 표현의 점근 전개로 복구된다. 오일러는 (대략) 형식적인 급수와 적분이 모두 미분 방정식의 동일한 해를 나타내므로, 에서 서로 같아야 한다고 주장하며 다음을 제공한다.

 같이 보기 
 교대 계승
 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (그란디의)
 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
 1−2+3−4+…
 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

 각주 

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분류:발산 급수