1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

수학에서 은 항이 연속적인 2의 거듭제곱인 무한급수이다. 등비급수로서 첫 항은 1이고 공비는 2이다. 실수의 급수로서 무한대로 발산하므로, 일반적인 의미에서는 합이 없다. 그러나 이를 조작하여 수학적으로 흥미로운 여러 결과를 도출할 수 있다. 예를 들어, 많은 합산 방법이 발산급수에도 수치 값을 할당하는 데 사용된다. 특히 이 급수의 라마누잔 합은 -1이며, 이는 2-진수 거리를 사용한 급수의 극한이다.

 합산 
의 첫 개 항의 부분합은 다음과 같다.

이 부분합들의 수열 이 무한대로 발산하므로, 급수도 마찬가지로 발산한다. 따라서 세자로 합과 아벨 합을 포함한 모든 완전 정규 합산 방법은 합을 무한대로 산출한다.Hardy p. 10 반면에, 을 유한 값인 -1로 합산하는 최소한 하나의 일반적으로 유용한 방법이 있다. 관련 멱급수

는 0 주변의 수렴 반지름이 오직 이므로 에서 수렴하지 않는다. 그럼에도 불구하고, 이렇게 정의된 함수 는 점 이 제거된 복소평면으로의 유일한 해석적 연속을 가지며, 동일한 규칙 으로 주어진다. 이므로, 원래 급수 는 (E) 합산으로 -1이 된다고 말하며, -1은 급수의 (E) 합이다. (이 표기는 레온하르트 오일러의 발산급수에 대한 접근 방식을 참조하여 G. H. 하디가 사용했다.)Hardy pp. 8, 10

거의 동일한 접근 방식(오일러 자신이 사용한 방식)은 모든 계수가 1인 멱급수를 고려하는 것이다. 즉,

에 를 대입하는 것이다. 이 두 급수는 라는 치환으로 관련되어 있다.

(E) 합산이 에 유한 값을 할당한다는 사실은 일반적인 방법이 완전히 정규적이지 않음을 보여준다. 반면에, 합산 방법으로서 안정성과 선형성을 포함하여 몇 가지 다른 바람직한 특성을 가지고 있다. 이 두 가지 후자의 공리는 실제로 합을 -1로 강제하는데, 다음 조작을 유효하게 만들기 때문이다.


유용한 의미에서, 는 방정식 의 근이다. (예를 들어, 는 리만 구에서 뫼비우스 변환 의 두 고정점 중 하나이다.) 어떤 합산 방법이 에 대해 일반적인 숫자(즉, 가 아닌)를 반환하는 것으로 알려져 있다면, 쉽게 결정된다. 이 경우 를 방정식의 양변에서 빼면 가 되므로 이다.Hardy p. 19에서 의 두 근에 대해 간략하게 언급한다.

위의 조작은 충분히 강력한 합산 절차의 맥락 밖에서 -1을 생성하도록 요청될 수 있다. 가장 잘 알려져 있고 직관적인 합 개념(기본적인 수렴 개념 포함)에 대해, 양항 급수가 음의 값을 가질 수 있다는 것은 부조리하다. 유사한 현상이 발산 등비급수 (그란디 급수)에서도 발생하는데, 여기서 정수의 급수가 정수가 아닌 합 을 가지는 것처럼 보인다. 이러한 예는 과 같은 순환 소수, 특히 와 같은 급수에 유사한 주장을 적용할 때 발생할 수 있는 잠재적 위험을 보여준다. 이러한 주장은 이러한 수렴급수에 대해 궁극적으로 정당화되며,  및 임을 의미하지만, 그 배경이 되는 증명은 끝없는 합의 해석에 대한 신중한 사고를 요구한다.Gardiner pp. 93–99; 에 대한 p. 95의 주장은 약간 다르지만 같은 정신을 가지고 있다.

이 급수를 실수와는 다른 수 체계, 즉 2-진수에서 수렴하는 것으로 볼 수도 있다. 2-진수의 급수로서 이 급수는 위에서 해석적 연속으로 유도된 것과 동일한 합인 -1로 수렴한다.

 같이 보기 
 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (그란디 급수)
 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
 1−2+3−4+…
 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
 2의 보수, -1이 처럼 표현되는 음수를 나타내는 데이터 규칙.

 각주 

 참고 자료 





 추가 읽을거리 







분류:이진 산술
분류:P-진수
분류:등비급수
분류:발산 급수