1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

수학에서 은 부호가 교대하는 2의 거듭제곱을 항으로 하는 무한급수이다. 등비급수로서 첫 항이 1이고 공비가 -2이다.


실수 급수로서, 이는 발산한다. 따라서 통상적인 의미에서는 합이 없다. P진 해석학에서 이 급수는 ∞ 이외의 다른 값, 즉 2-진수를 사용하여 급수의 극한인 과 관련이 있다.

 역사적 논증 
고트프리트 라이프니츠는 이미 1673년에 발산하는 교대급수 를 고려했다. 그는 왼쪽이나 오른쪽에서 빼면 양의 무한대 또는 음의 무한대를 생성할 수 있으므로 두 답 모두 틀렸고 전체는 유한해야 한다고 주장했다.
이제 일반적으로 자연은 두 가지 중 어느 것도 허용되지 않는 경우, 또는 두 가지 중 어느 것이 허용되는지 결정할 수 없는 경우에 중간을 선택하며, 전체는 유한한 양과 같다.

라이프니츠는 이 급수가 합을 갖는다고 단언하지는 않았지만, 메르카토르의 방법에 따라 과 관련이 있다고 추론했다.Leibniz pp. 205-207Knobloch pp. 124–125. The quotation is from De progressionibus intervallorum tangentium a vertice, in the original Latin: "Nunc fere cum neutrum liceat, aut potius cum non possit determinari utrum liceat, natura medium eligit, et totum aequatur finito." 급수가 실제로 합으로서 더해지지 않고도 어떤 유한한 양과 같을 수 있다는 태도는 18세기에는 흔한 일이었지만, 현대 수학에서는 구별하지 않는다.Ferraro and Panza p. 21

크리스티안 볼프는 1712년 중반에 라이프니츠의 그란디 급수 처리법을 읽은 후,Wolff's first reference to the letter published in the Acta Eruditorum appears in a letter written from 할레 (작센안할트) dated 12 June 1712; Gerhardt pp. 143–146. 그 해결책에 매우 만족하여 산술 평균 방법을 와 같은 더 많은 발산 급수로 확장하려고 했다. 간단히 말해, 이 급수의 부분합을 마지막 바로 전 항의 함수로 표현하면  또는 을 얻는다. 이 값들의 평균은 이며, 무한대에서 이라고 가정하면 급수의 값으로 을 얻는다. 라이프니츠의 직관은 그의 해결책이 이 정도까지 무리하게 확장되는 것을 막았고, 그는 볼프의 아이디어가 흥미롭지만 여러 이유로 유효하지 않다고 답장했다. 이웃하는 부분합의 산술 평균은 어떤 특정 값으로 수렴하지 않으며, 모든 유한한 경우에 이 아니라 이다. 일반적으로 합산 가능한 급수의 항은 0으로 감소해야 한다. 심지어 도 그러한 급수의 극한으로 표현될 수 있다. 라이프니츠는 볼프에게 "과학과 자신에게 합당한 것을 생산할 수 있도록" 다시 고려해 보라고 조언한다.The quotation is Moore's (pp. 2–3) interpretation; Leibniz's letter is in Gerhardt pp. 147–148, dated 13 July 1712 from 하노버.

 현대적 방법 

 등비급수 
정칙성, 선형성, 안정성 속성을 가진 모든 합계 방법은 등비급수를 합산한다.

이 경우 a = 1이고 r = −2이므로 합은 이다.

 오일러 합 
레온하르트 오일러는 1755년 그의 저서 《Institutiones》에서 의 오늘날 오일러 변환이라고 불리는 것을 효과적으로 취하여 수렴하는 급수 에 도달했다. 후자가 으로 합산되므로 오일러는 이라고 결론지었다.Euler p.234 그의 무한급수에 대한 아이디어는 현대적인 접근 방식과 정확히 일치하지 않는다. 오늘날에는 가 오일러 합 가능하며 그 오일러 합은 이라고 말한다.See Korevaar p. 325

섬네일|오른쪽|300px|《Institutiones》 발췌
오일러 변환은 양의 항으로 이루어진 수열로 시작한다.
 a0 = 1,
 a1 = 2,
 a2 = 4,
 a3 = 8,...

그 다음 전방 차분 수열은 다음과 같다.
 Δa0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1,
 Δa1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2,
 Δa2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4,
 Δa3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8,...
이는 바로 같은 수열이다. 따라서 반복된 전방 차분 수열은 모두 모든 n에 대해 로 시작한다. 오일러 변환은 다음 급수이다.


이것은 통상적인 공식에 의해 합이 인 수렴하는 등비급수이다.

 보렐 합 
의 보렐 합도 이다. 에밀 보렐이 1896년에 보렐 합의 극한 공식을 도입했을 때, 이것은 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯에 이어 그의 첫 번째 예시 중 하나였다.Smail p. 7.

 p-진수 
2-진수에서 와 관련된 부분합의 수열은

2의 보수를 사용하여 2진법으로 표현하면 다음과 같다.

이 수열의 극한은 2-진수에서 이다. 따라서 이다.

 같이 보기 
 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

 참고 

 각주 










분류:P-진수
분류:등비급수
분류:발산 급수