환원 불능의 경우

대수학에서, 환원 불능의 경우()는 서로 다른 세 실근을 갖는 유리수 계수 3차 기약 다항식의 실근을 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 때, 실수이지 않은 복소수에 거듭제곱근을 씌우는 것을 피할 수 없는 현상이다.

 정의 
 유리수체 
유리수 계수 다항식

가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
 기약 다항식이다. 즉, 더 낮은 차수의 유리수 계수 다항식들의 곱으로 나타낼 수 없다.
 모든 근이 실수이다.
 하나 이상의 근을 실수 및 거듭제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다.
그렇다면, 의 모든 근은 작도 가능한 수이다. 즉, 유리수 및 제곱근 및 사칙 연산만으로 나타낼 수 있다. 특히, 다음이 성립한다.
 의 모든 근은 실수 및 사칙 연산 및 거듭제곱근만을 사용하여 나타낼 수 있다.
 의 분해체의 갈루아 군 는 2-군이다. 즉, 의 분해체의 차수는 2의 거듭제곱이다.
 의 차수는 2의 거듭제곱이다.
예를 들어, 만약 유리수 계수 3차 기약 다항식 가 서로 다른 세 실근을 갖는다면 (즉, 판별식이 양의 유리수라면), 어떤 실근도 실수의 거듭제곱근만을 사용하여 나타낼 수 없다. 즉, 반드시 실수이지 않은 복소수의 거듭제곱근을 사용하여야 한다. 이를 환원 불능의 경우라고 한다.

 형식적 실체 
다음이 주어졌다고 하자.
 형식적 실체 . 그 실폐포를 로 쓰자.
 다항식 . 또한, 이는 다음을 만족시킨다.
 기약 다항식이다. 즉, 더 낮은 차수의  계수 다항식들의 곱으로 나타낼 수 없다.
 모든 근이 의 원소이다.
 하나 이상의 근을 의 원소 및 거듭제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다.
그렇다면, 의 모든 근은 작도 가능한 원소이다. 즉, 의 원소 및 제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다. 특히, 다음이 성립한다.
 의 모든 근은 의 원소 및 거듭제곱근 및 사칙 연산만을 사용하여 나타낼 수 있다.
 의 분해체의 갈루아 군 는 2-군이다. 즉, 의 분해체의 차수는 2의 거듭제곱이다.
 의 차수는 2의 거듭제곱이다.

특히, 유리수체 는 형식적 실체이며, 그 실폐포 는 대수적 수인 실수의 체이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 



분류:다항식