모델-베유 군

산술 기하에서 모델–베유 군은 수체  위에 정의된 모든 아벨 버라이어티 와 관련된 아벨 군이다. 이는 아벨 버라이어티의 산술 불변량이다. 그것은 단순히  의 -점들의 군이다. 그래서 가 모델–베유 군이다pg 207. 이 군에 대한 주요 구조 정리는 이 군이 실제로 유한 생성 아벨 군임을 보여주는 모델-베유 정리이다. 또한 이 군과 관련된 많은 추측이 있는데, 예를 들어, 의 랭크와 특정 점에서 연관된 L-함수의 근을 연관시키는 버치-스위너턴다이어 추측이 있다.

 예 
아벨 버라이어티의 모델–베유 군의 명시적 예를 구성하는 것은 항상 성공이 보장되지는 않는 중요한 과정이므로 대신 특정 타원 곡선 의 경우를 보겠다. 가 유리수 체 위에서 바이어스트라스 방정식으로 정의된 타원곡선이라 하자. 이는 판별식 를 갖는다. (그리고 이 다항식은 대역 모델 을 정의하는 데 사용될 수 있다. ). 이는임을 다음 절차를 통해 보일 수 있다. 먼저, 몇 가지 숫자를 연결하여 몇 가지 명백한 비틀림 점을 찾는다:더욱이, 더 작은 정수 쌍을 시도한 후에 을 발견했다. 이는 분명히 비틀림이 아닌 점이다. 의 비틀림 부분을 찾는 데 유용한 결과 중 하나는 와 서로소인 비틀림이다.로 나타내는  로의 좋은 축소를 가지는 에 대해,  로 가는 단사두 개의 소수 를 확인하고 집합의 기수를 계산한다.두 소수 모두 만 포함하기 때문에 주의하라. 우리는 비틀림 점을 모두 찾았다. 게다가 우리는 점 을 알고 있다  그렇지 않으면 두 크기가 공유하는 소인수를 가지기 때문에 랭크는 무한이다. 따라서 랭크는 최소한  . 이제 랭크를 계산하는 것은 군 계산, 여기서 으로 구성된 더 힘든 과정이다. 호몰로지 대수학 및 쿰머 사상의 긴 완전열을 사용한다.

 특별한 경우에 관한 정리 
특정 차원의 아벨 버라이어티, 특정 체 또는 기타 특별한 속성을 갖는 모델-베유 군의 구조에 대한 많은 정리가 문헌에 있다.

 유리함수체 k(t) 위의 아벨 버라이어티 
고정 체 에 대해 정의된 초타원 곡선 과 아벨리안 버라이어티 에 대해,  의 비틀림을 로 표시하자. (를 함수체로 당김) 덮개 사상 과 관련된 체 확대의 갈루아 코호몰로지에 대해 1-여순환임을 주의하라. 이는 사상이 초타원형이라는 점에서 유래한다. 더 명확하게 말하면, 이 1-여순환은 군 사상으로 제공된다.보편 성질을 사용하는 것은 두 개의 사상 을 제공하는 것과 같다. 따라서 우리는 그것을 사상으로 쓸 수 있다. 여기서 는 포함 사상이고  는 네거티브 로 보내진다. 이것은 대수 기하학의 일반 이론을 사용하여 pg 5  위의 비틀린 아벨 버라이어티 를 정의하는 데 사용될 수 있다.  특히, 이 구성의 보편 성질으로부터,  위의 는 기저체를 로 바꾸면 와 동형인 아벨 버라이어티이다.

 정리 
위에 주어진 설정의 경우, 아벨 군의 동형이 있다.여기서 는 곡선 의 야코비안이다 , 그리고 는 의 2-비틀림 부분 군이다.

 같이 보기 

 모델–베유 정리

 참고문헌 

 추가 사례 

 종수 2 곡선의 모델-체유 군
 보편 타원 곡선의 모델-베유 군 결정
 Galois descent and twists of an abelian variety
 함수체에서 정의된 야코비안들의 모델-베유 야코비 군

분류:아벨 다양체
분류:타원곡선
분류:디오판토스 기하학