카르탕-디외도네 정리

기하학 및 선형대수학에서, 카르탕-디외도네 정리(Cartan–Dieudonné定理, )는 직교군의 원소를 반사들의 합성으로 나타내는 정리다.

 정의 
카르탕-디외도네 정리에 따르면, (임의의 표수의) 체 에 대한 유한 차원 벡터 공간  위의 비퇴화 이차 형식

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
직교군 의 원소들은 반사들의 합성으로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 에 대하여,

인 유한 개의 벡터 들이 존재한다. 여기서, 비등방 벡터

에 대한 반사는 다음과 같다.
는 크기 2의 유한체 에 대한 4차원 벡터 공간  위의, 비트 지표가 2인 비퇴화 이차 형식 과 동치가 아니다. 즉,
이거나,
이며 이거나,
이며 이며 의 비트 지표는 2가 아니다.
즉, 이차 형식의 동치 아래 유일한 반례 하나를 제외하면, 직교군의 원소는 항상 일련의 반사들의 합성으로 나타낼 수 있다. 유일한 반례의 표수는 2이다. 따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 반례는 존재하지 않는다. 표수가 2가 아닌 경우, 다음 사실들이 추가로 성립한다.
의 모든 원소들은 개 이하의 반사들의 합성이다.
을 반사들의 합성으로 나타내었을 때, 반사들의 수는 항상  이상이다. 특히, 의 고정점이 밖에 없다면, 은 개 미만의 반사들의 합성이 아니다.
이 개의 반사의 합성이라고 하자. 그렇다면, 임의의 반사 에 대하여,

인 반사  및 들이 존재한다. 즉, 정확히 개의 반사의 합성의 경우, 처음 또는 마지막 반사를 임의로 고를 수 있다.

 유클리드 공간 
유클리드 공간 의 (표준적인 이차 형식 에 대한) 직교군 을 생각하자. 카르탕-디외도네 정리에 따라, 의 원소들은 (원점을 고정하는) 개 이하의 반사들의 합성이다. 의 원소는 의 등거리 변환을 이루며, 원점을 고정한다. 반대로, 고정점을 갖는 의 등거리 변환은 그 고정점을 원점으로 하는 정규 직교 기저를 잡아 의 원소로 여길 수 있다. 따라서, 를 고정점으로 하는 의 등거리 변환들은 (를 고정하는) 개 이하의 반사들의 합성이다.

유클리드 공간 의 유클리드 군

을 생각하자. 이는 의 임의의 등거리 변환들로 구성된다. 임의의 등거리 변환에 적절한 평행 이동을 합성하여 원점의 상을 원점으로 돌려 보내면, 원점을 고정하는 등거리 변환을 얻는다. 즉, 의 원소는 의 원소와 평행 이동의 합성이다. 그런데 의 원소는 원점을 고정하는 개 이하의 반사들의 합성이며, 임의의 평행 이동은 항등 함수이거나, 어떤 두 서로 다른 반사의 합성이다. 또한, 개의 반사의 합성의 경우, 처음 오는 반사는 평행 이동을 나타내는 반사와 만나 없어지도록 고를 수 있다. 따라서, 의 원소들은 개 이하의 반사들의 합성이다.

 역사 
19세기 초 엘리 카르탕이 실수체와 복소수체에 대하여 증명하였다. 카르탕의 증명은 그의 1938년 저서에 실려 있다. 이후 장 디외도네가 임의의 체에 대하여 증명하였다.

 참고 문헌 

분류:유클리드 기하학
분류:선형대수학