소인수 알고리즘

소인수 FFT 알고리즘(Prime-factor FFT algorithm)이라고도 칭하며, 발견자의 이름을 사용해 Good–Thomas algorithm(1958/1963)으로도 불리는 소인수 알고리즘(Prime-factor Algorithm, PFA)은 중국인의 나머지 정리(Chinese Reminder Theorem, CRT)를 활용한 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘이다. 이 알고리즘은 크기 N = N1N2인 신호를 2차원 이산 푸리에 변환(DFT) N = N1 X N2 로 재표현(re-expression)한다. 다만, 여기서 N1과 N2는 서로소(relatively prime), 즉 gcd(N1, N2)=1이어야 한다.

이 알고리즘의 장점은
 회전자(twiddle factor)에 의한 곱셈 연산(multiplication)이 불필요하다. 따라서, 처리 속도가 빠르다.
 변환의 in-place, in-order version을 구현하는 것이 가능하다. 즉, 변환된 값들은 메모리에서 입력값들을 바꾼다. 그리고 입력값들이 시간순서일때 출력은 주파수 순서이다.
단점은
 앞서 언급한 것처럼 N1과 N2는 '서로 소'이어야한다.
 중국인의 나머지 정리(CRT)를 사용하기때문에 더 복잡한 색인 재지정(re-indexing)을 수행해야한다.

소인수 알고리즘은 쿨리-튜키 알고리즘의 일반적 형태인 혼합기수(mixed-radix)알고리즘과 결합하여 사용할 수 있어서, 위에서 언급한 특별한 경우만이 아닌 임의의 크기 N 에도 적용할 수 있다. 데이터 크기 N=1000인 경우에 처리 예를 다음 그림에서 보여준다.
대체글=Combination of FFT algorithms using Good-Thomas algorithm and mixed-radix Cooley-Tukey algorithm.|섬네일|318x318픽셀|Good-Thomas 알고리즘과 혼합기수 Cooley-Tukey 알고리즘을 이용한 데이터 수 N=1000의 FFT 처리 방식.

 알고리즘 

신호의 길이가 N 일 때 이산 푸리에 변환(DFT)은

신호의 길이가 N = r s인 경우를 생각해 봅니다. r 과 s는 서로소인 두 정수이다(위에서 언급한 N1, N2에 해당).
입력과 출력을 재색인화(re-indexing)하고 이를 DFT 공식에 대입하여 크기가 r X s인 2차원 DFT로 변환해 보자.
이와같이 일차원 DFT를 다차원으로 변환하는 것을 다중차원 사상(multi-dimensional mapping) 이라고 한다.

 색인 재지정(re-indexing) 
정수론의 이론을 이용하여 (식 1) DFT의 입력 쪽 색인 n과 출력 쪽 색인 k를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1) 굿스 매핑(Good's mapping)

최대공약수 표현 정리에 의하면 각 n에 대해 위 식을 만족하는 정수 n1과 n2가 있고, 합동이론에 따라 위의 식을 만족하고 위의 범위에 속하는 정수 n1과 n2가 유일하다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이를 루리타니안 매핑(Ruritanian mapping) 또는 굿스 매핑(Good's mapping)이라 한다.

2) CRT 매핑(CRT mapping)

중국인의 나머지 정리(CRT)에 따르면 모든 쌍 (k1, k2)에 대해  (식 3)의 두 방정식을 만족하는 0 과 N-1 사이에 고유한 k가 존재한다. 이를 CRT 매핑이라고 하며, 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

n과 k를 위와 같이 (식 3)과 (식 4)로 나타낼 수 있는 이유는r 과 s 가 '서로 소'이기 때문이다. 위의 전개와는 반대로 입력 n을 CRT 매핑하고 출력 k를 Good's 매핑 할 수도 있다.

 재표현(re-expression) 
위의 두 식 (식 2)와 (식 4)를  (식 1)에 대입하면 식의 회전자(twiddle factor)는 다음 (식 5)와 같은 형태를 가지게 된다.

회전자 자체가 mod N 의 성질을 가지고 있으므로 지수(exponent)에 나타나는 mod N 은 생략할 수 있다. 즉,

어떤 임의의 수 m에 대해  이므로 윗 식 지수항의 두번째, 세번째 항은 생략 할 수 있다.


r과 s는 '서로 소'이므로 각각의 역수  이 존재하며  이기 때문에, 윗식의 </big>이다. 따라서,


(식 2),(식 4), (식 5)로부터 (식 1)의 이산 푸리에 변환(DFT)은 최종적으로 다음과 같이 2차원으로 재표현된다.

고속 푸리에 변환 위키 페이지에서 볼 수 있는 혼합 기수(mixed-radix) FFT의 다음(식 20)의 회전자 가 위의 (식 6)에서는 생략된 것을 확인할 수 있다.

 예제 

r=3, s=4 인 신호의   소인수 FFT 를 적용해보자. 이 경우 (식 2)는

이며, (식 4)에서  가 성립하므로 k 는

이 된다. (식 6)은

그럼 이 변함에 따라 이 어떻게 2차원 도표로 변하는 지,  에 따라  는 어떻게 되는 지를 표로 만들어 보자.

+1차원 신호 데이터 원본n01234567891011xnx0x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11

+Good's mappingx(n1,n0)n0012n10x(0)x(4)x(8)1x(3)x(7)x(11)2x(6)x(10)x(2)3x(9)x(1)x(5)
계산 예:  (식 7)에서  이면 이다. 즉, .

+CRT mappingf(k1,k0)k0012k10f(0)f(4)f(8)1f(9)f(1)f(5)2f(6)f(10)f(2)3f(3)f(7)f(11)
계산 예:  (식 8)에서  이면 이다. 즉, .

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