플랑슈렐 정리

수학에서 플랑슈렐 정리 또는 파르스발-플랑슈렐 항등식은 1910년 스위스 수학자 미셸 플랑슈렐이 증명한 조화해석학의 정리이다. 이는 푸리에 변환의 유니터리성을 보여주는 정리로서, 파르스발 정리의 일반화라 볼 수 있다.

플랑슈렐 정리에 따르면 함수의 제곱의 적분은 해당 주파수 스펙트럼의 제곱의 적분과 같다. 즉, 가 실수 집합에서 정의된 함수이고, 가 그 주파수 스펙트럼이면,

 정의 
함수가 두 르베그 공간 과 에 모두 속하면 그 푸리에 변환은  안에 있고, 푸리에 변환 사상은 L2 노름에 대한 등장사상이다. 이는 으로 제한된 푸리에 변환 사상을 위의 선형 등장사상으로 확장하는 방법은 유일함을 뜻한다(이를 플랑슈렐 변환이라고도 한다). 이 등장사상은 실제로 유니터리 사상이다. 이는 제곱 적분 가능한 함수의 푸리에 변환에 대해 말하는 것을 가능하게 한다.

플랑슈렐의 정리는 n차원 유클리드 공간 에서도 성립한다. 이 정리는 또한 국소 콤팩트 아벨 군에서도 일반적으로 성립한다. 특정 기술적 가정을 만족하는 비가환 국소 콤팩트 군에 적합한 플랑슈렐 정리 버전도 있다. 이것은 비가환 조화해석학의 주제이다.

편극 항등식 때문에 플랑슈렐의 정리를  두 함수의 내적에 적용할 수 있다. 즉, 만약 과 이  함수이고 가 플랑슈렐 변환을 나타내면, 이고 만약에 과 가 더욱이  함수이면,  그리고  그래서

 같이 보기 
 구면 함수에 대한 플랑슈렐 정리

 참고자료 

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 외부 링크 

 Plancherel's Theorem on Mathworld

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