준파라콤팩트 공간

일반위상수학에서, 준파라콤팩트 공간(準-空間, )은 파라콤팩트 공간의 개념의 변형이다.

 정의 
위상 공간 의 집합족 에 대하여, 다음 조건들을 정의할 수 있다.
 만약 임의의 에 대하여, 인 근방 가 존재한다면, 를 이산 집합족(離散集合族, )이라고 한다.
 만약 임의의 에 대하여, 이 유한 집합인 근방 가 존재한다면, 를 국소 유한 집합족(局所有限集合族, )이라고 한다.
 만약 임의의 에 대하여 이 닫힌집합이라면, 를 폐포 보존 집합족(閉包保存集合族, )이라고 한다.
모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이다. 모든 국소 유한 집합족은 폐포 보존 집합족이다.

만약 가 가산 개의 국소 유한 집합족들의 합집합이라면, 를 σ-국소 유한 집합족()이라고 한다. 이 경우, 설령 가 덮개이더라도 합집합을 취하는 국소 유한 집합족들이 덮개일 필요는 없다. 마찬가지로, σ-이산 집합족()과 σ-폐포 보존 집합족()을 정의할 수 있다.

위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 준파라콤팩트 공간이라고 한다.
 의 임의의 열린 덮개는 σ-이산 닫힌 세분을 갖는다.
 의 임의의 열린 덮개는 σ-국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.
 의 임의의 열린 덮개는 σ-폐포 보존 닫힌 세분을 갖는다.

 성질 
정칙 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
 파라콤팩트 공간이다.
 모든 열린 덮개는 σ-이산 열린 세분을 갖는다.
 모든 열린 덮개는 σ-국소 유한 열린 세분을 갖는다.
 모든 열린 덮개는 σ-폐포 보존 열린 세분을 갖는다.
 모든 열린 덮개는 폐포 보존 열린 세분을 갖는다.
 모든 열린 덮개는 국소 유한 세분을 갖는다. (이 조건에서 세분은 열린 세분일 필요가 없다.)
 모든 열린 덮개는 폐포 보존 세분을 갖는다.
 모든 열린 덮개는 국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.
정칙 하우스도르프 공간의 경우, 다음 조건이 추가로 동치이다.
 모든 열린 덮개는 폐포 보존 닫힌 세분을 갖는다.
이에 따라, 모든 파라콤팩트 정칙 공간은 준파라콤팩트 공간이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다 (). 모든 집합족적 정규 준파라콤팩트 공간은 파라콤팩트 공간이다. 그 밖에, 다음 함의 관계들이 성립한다.
 가산 콤팩트 준파라콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
 완전 정규 메타콤팩트 공간은 준파라콤팩트 공간이다.

닫힌 연속 함수 에 대하여, 만약 가 준파라콤팩트 공간이라면  역시 준파라콤팩트 공간이다. 완전 사상() 에 대하여, 만약 가 정칙 공간이며 가 준파라콤팩트 공간이라면  역시 준파라콤팩트 공간이다. 만약 위상 공간 가 가산 개의 준파라콤팩트 닫힌집합들의 합집합이라면  역시 준파라콤팩트 공간이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:위상 공간의 성질