방정식 xy = yx

일반적으로 지수는 교환법칙이 성립하지 않는다. 그러나 방정식 은 와 같은 근을 가진다.

 역사 
이 방정식은 다니엘 베르누이가 골트바흐에게 1728년 6월 29일에 보낸 편지에 언급되어 있다. 그 편지에 따르면 인 경우 유리수 범위에서 , 를 비롯한 무수히 많은 해가 있음에도 자연수 범위에서는 와 뿐이라고 한다. 골트바흐의 답장(1729년 1월 31일)에는 로 치환해서 일반해를 구하는 방법이 언급되어 있다. 이후 오일러도 비슷한 풀이법을 발견했다.

J. van Hengel은 이 모두 양의 정수이면서 이면 이므로 자연수 해를 찾는다면 , 를 고려하는 것으로도 충분하다고 짚었다.

이 방정식은 여러 출판물에서 논의되었는데, 1960년에 이 방정식은 윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회의 질문 중 하나였으며 Alvin Hausner는 결과를 대수적 수체로 확장했다.

 양수 해 

주요 출처:

양의 실수 범위에서 자명근 집합은 이다. 비자명근은 람베르트 W 함수를 사용하여 양함수꼴로 표현할 수 있다. 아이디어는 방정식을  꼴로 변형하고 와 를 일치시키도록 양변에 같은 값을 곱하거나 지수를 취하고, 람베르트 W 함수의 정의를 적용하여 와 같이 쓰는 것이다.






마지막 줄에서 람베르트 W 함수의 성질 을 사용했다.

여기서 이 해를 람베르트 W 함수의 두 분지를 사용해서 구간별로 나누면



  :




  :




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따라서 비자명근은 다음과 같다.

 매개변수 형태 
비자명근은 로 치환함으로써 보다 쉽게 구할 수 있다. 치환한 다음 양변을  제곱하고 로 나누면, 다음을 얻는다.





따라서 자명하지 않은 양수 해의 매개변수꼴은 다음과 같다.따라서 1이 아닌 양수 에 대하여 모든 근은 이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다.

이 해를 바탕으로 도함수는 다음과 같다. 인 순서쌍 에 대하여 이고, 그 외의 경우는 매개변수로 표현한 함수의 미분법에 따라 . (단, 는 1이  양수)

 다른 실근 
,  중 적어도 하나가 음수인 해도 존재한다. 위의 매개변수화로부터 얻을 수 있으며 예를 들어, ,  (여기서 세제곱근은 실수값)가 있다. 유사하게 가 실수일 때 자명근  ()도 존재한다. (예를 들어 )

 유사한 그래프
 방정식  
방정식 의 그래프는 에서 만나는 선과 곡선으로 이루어져 있다. 또한 곡선은 (0, 1)과 (1, 0)에서 무한대로 발산하지 않는다.

곡선 부분은 다음과 같이 양함수 형태로 표현된다.

이 방정식은 와 동치인데, 양변을 제곱하면 해당 방정식과 같기 때문이다. 이와 유사하게 방정식  는 방정식 와 동치이다.

 방정식  
방정식 의 그래프는 (1, 1)에서 서로 만나는 곡선 과 로 이루어져 있다.

 각주 

 외부 링크 



 OEIS sequence A073084 (Decimal expansion of −x, where x is the negative solution to the equation 2^x = x^2)

분류:유희 수학
분류:디오판토스 방정식