사영 극한

수학에서, 사영 극한(射影極限, ) 또는 역극한(逆極限, )은 하향 원순서 집합을 지표 범주로 하는 범주론적 극한이다. (지표 범주는 흔히 상향 원순서 집합의 반대 범주로 나타낸다.) 기호는  또는 . 모든 대수 구조 다양체는 사영 극한을 가지며, 위상 공간의 범주와 균등 공간의 범주에서도 사영 극한이 존재한다.

 정의 
범주  속의 여과 체계() 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 상향 원순서 집합 
 임의의 에 대하여, 대상 
 임의의 에 대하여, 사상 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 함자 를 이룬다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 
범주  속의 여과 체계 의 사영 극한 은 이 여과 체계의 극한이다. 구체적으로, 이는 다음 데이터로 구성된다.
 대상 
 임의의 에 대하여, 사상 
이는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.
 임의의 에 대하여, 
 만약 와 가 임의의 에 대하여 를 만족한다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 사상 가 존재한다.
 임의의 에 대하여, 
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보통 로 쓴다.

 예 
사영 극한을 갖는 범주의 예는 다음과 같다.

 대수 구조 다양체 
임의의 대수 구조 다양체 에서, 대수 구조와 준동형들의 여과 체계 의 사영 극한은 직접곱의 부분 대수

및 사영 함수

들로 주어진다.

 위상 공간 
위상 공간과 연속 함수의 범주 에서, 여과 체계 의 사영 극한은 집합의 대수 구조 다양체에서의 사영 극한 위에 곱위상의 부분공간 위상을 부여한 것이다.

만약 모든 가 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한은 곱공간의 닫힌집합이다. 특히, 만약 모든 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 사영 극한 역시 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 사영 극한이 공집합일 필요충분조건은 어떤 가 공집합인 것이다.

 균등 공간 
마찬가지로, 균등 공간과 균등 연속 함수들의 범주  속 여과 체계 의 사영 극한은 집합의 대수 구조 다양체에서의 사영 극한 위에 곱 균등 구조의 부분공간 균등 구조를 부여한 것이다.

만약 모든 가 하우스도르프 완비 균등 공간이라면, 사영 극한 역시 하우스도르프 완비 균등 공간이다. 그러나 이 경우에 모든 가 공집합이 아니더라도 사영 극한이 공집합일 수 있다.

 참고 문헌 



 외부 링크 





분류:극한 (범주론)
분류:추상대수학
분류:일반위상수학