실수 값 함수

수학에서 실수 값 함수(real-valued function)는 값이 실수인 함수이다. 즉, 정의역의 각 구성원에 실수를 할당하는 함수이다.

실수 변수의 실수 값 함수(일반적으로 실함수라고 함)와 다변수 실함수는 미적분학의 주요 연구 대상이며, 더 일반적으로는 실해석학의 연구 대상이다. 특히, 많은 함수 공간은 실수 값 함수로 구성된다.

 대수 구조 
를 집합 에서 실수 로 가는 모든 함수의 집합이라고 하자. 는 체이므로, 는 다음 연산을 사용하여 실수 상의 벡터 공간과 가환 대수로 바뀔 수 있다.
 – 벡터 합
 – 덧셈 항등원
 – 스칼라배
 – 점별곱셈

이러한 연산은 에서 로 가는 부분 정의 함수로 확장된다. 단, 부분 정의 함수 와 는 와 의 정의역이 공집합이 아닌 교집합을 가질 때만 정의된다. 이 경우, 그들의 정의역은 와 의 정의역의 교집합이다.

또한, 는 순서 집합이므로, 에는 다음 부분 순서가 존재한다.

이는 를 부분 순서환으로 만든다.

 가측성 

보렐 집합의 시그마 대수는 실수에 대한 중요한 구조이다. 만약 가 자체 시그마 대수를 가지고 있고, 함수 가 임의의 보렐 집합 의 원상 가 그 시그마 대수에 속하도록 한다면, 는 가측이라고 한다. 가측 함수는 위에 에서 설명했듯이 벡터 공간과 대수를 형성한다.

더 나아가,  상의 실수 값 함수의 집합(족)은 실제로 모든 보렐 집합(또는 구간만, 중요하지 않음)의 모든 원상에 의해 생성되는  상의 시그마 대수를 정의할 수 있다. 이것은 시그마 대수가 (콜모고로프의) 확률론에서 발생하는 방식이며, 여기서 표본 공간  상의 실수 값 함수는 실수 값 확률 변수이다.

 연속성 
실수는 위상 공간이자 완비 거리 공간을 형성한다. 연속 실수 값 함수(이는 가 위상 공간임을 의미한다)는 위상 공간 이론과 거리 공간 이론에서 중요하다. 최대 최소 정리는 콤팩트 공간에서 정의된 모든 실수 연속 함수에 대해 전역 최대값과 최소값이 존재한다고 명시한다.

거리 공간 개념 자체는 두 변수의 실수 값 함수인 거리 함수로 정의되며, 이는 연속이다. 콤팩트 하우스도르프 공간의 연속 함수 공간은 특히 중요하다. 수렴 수열도 특별한 위상 공간에서 정의된 실수 값 연속 함수로 간주될 수 있다.

연속 함수는 위에 에서 설명했듯이 벡터 공간과 대수를 형성하며, 어떤 위상 공간이든 열린 (또는 닫힌) 집합에 의해 생성되는 시그마 대수를 가지므로 가측 함수의 하위 분류이다.

 매끄러움 

실수는 매끄러운 함수를 정의하는 공역으로 사용된다. 실수 매끄러운 함수의 정의역은 실수 좌표 공간 (이는 다변수 실함수를 생성한다), 위상 벡터 공간일반적으로 미분의 다른 정의들이 존재하지만, 유한 차원에서는 매끄러운 함수의 클래스에 대한 동등한 정의를 낳는다., 그들의 열린 부분집합, 또는 매끄러운 다양체가 될 수 있다.

매끄러운 함수 공간 또한 위에 에서 설명했듯이 벡터 공간과 대수를 형성하며, 연속 함수 공간의 부분 공간이다.

 측도론에서의 등장 
집합에 대한 측도는 부분 집합의 시그마 대수에서 정의된 음이 아닌 실수 값 범함수이다.실제로 측도는 에서 값을 가질 수 있다. 확장된 실수를 참조하라. 측도가 있는 집합 상의 르베그 공간은 앞서 언급한 실수 값 가측 함수로부터 정의되지만, 실제로는 몫공간이다. 더 정확하게 말하자면, 적절한 합 가능 조건을 만족하는 함수가 Lp 공간의 원소를 정의하는 반면, 반대 방향으로는 어떤  및 원자가 아닌 에 대해 값 는 정의되지 않는다. 그러나 실수 값 Lp 공간은 여전히 위에 에서 설명된 구조 중 일부를 가지고 있다. 각 Lp 공간은 벡터 공간이며 부분 순서를 가지고 있으며, 를 변경하는 "함수"의 점별 곱셈이 존재한다. 즉,

예를 들어, 두 L2 함수의 점별 곱은 L1에 속한다.

 기타 등장 
실수 값 함수와 그 특수한 속성이 사용되는 다른 맥락에는 단조함수 (순서 집합 상에서), 볼록 함수 (벡터 및 아핀 공간 상에서), 조화 및 준조화 함수 (리만 다양체 상에서), 해석 함수 (일반적으로 하나 이상의 실수 변수에 대해), 대수함수 (실수 대수다양체 상에서), 그리고 다항식 (하나 이상의 실수 변수에 대해)이 포함된다.

 같이 보기 
 실해석학
 편미분 방정식, 실수 값 함수의 주요 사용자
 노름
 스칼라 (수학)

 내용주 

 각주 

 제럴드 폴란드, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, .


 외부 링크 

분류:해석학 (수학)
분류:측도론
분류:일반위상수학
분류:계량기하학
분류:함수의 종류
분류:벡터 공간