리의 정리

수학, 특히 리 대수론에서 리의 정리는 표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대해  가 가해 리 대수의 유한차원 표현이면, 인 의 불변 부분공간의 기 가 존재, 즉 과  각각에 대해 라는 정리이다.

달리 말하면, 이 정리는 안의 모든 선형 변환들이 상 삼각행렬로 표현되는 의 기저가 있다는 정리이다. 이는 가환 행렬쌍이 동시에 상 삼각화 가능하다는 프로베니우스의 결과를 일반화한 것이다. 이는 가환 행렬쌍이 fortiori solvable인 아벨 리 대수를 생성하기 때문이다.

리의 정리의 결과는 표수 0의 체에 대한 모든 유한 차원 가해 리 대수는 멱영 유도 대수를 갖는다는 것이다. 또한 유한차원 벡터 공간 V 의 각 기에는 보렐 부분대수 (기를 안정화하는 선형 변환으로 구성됨)가 대응된다. 따라서 정리는 가 의 어떤 보렐 부분대수에 포함되어 있다고 한다.

 반례 
대수적으로 닫힌 표수 인 체의 경우 표현의 차원이 p 보다 작은 경우 리의 정리가 유지되지만(아래 증명 참조) 차원이 p인 표현에서는 거짓일 수 있다. 예를 들어, 고유 벡터가 없는 p 차원 벡터 공간 에 작용하는 로 생성된 3차원 멱영 리 대수에서는 리의 정리가 성립하지 않는다. 이 3차원 리 대수의 반직접 곱을 p 차원 표현(아벨 리 대수로 여김)으로 취하면 유도 대수가 멱영이 아닌 가해 리 대수를 얻을 수 있다.

 증명 
증명은 의 차원에 대한 귀납법으로 한다. 그리고 여러 단계로 구성된다. (참고: 증명의 구조는 엥겔의 정리와 아주 비슷하다.) 기본 예시는 자명하며, 차원을 양수라고 가정한다.  또한 V는 0이 아니라고 가정한다. 단순화를 위해 로 쓴다.

1단계 : 정리가 다음 진술과 동일한지 확인한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Serre|2001|loc=Theorem 3{{}}}}</ref>

 V에는 안의 각 선형 변환에 대한 고유 벡터가 되는 벡터가 있다.

실제로, 정리는 특히 를 생성하는 0이 아닌 벡터는  안의 모든 선형 변환들에 대한 공통된 고유 벡터이다. 반대로, v가 공통된 고유벡터라면 그 생성공간을 잡으면 는 몫공간 에서 공통 고유벡터 가진다; 이 주장을 반복한다.

2단계 :  여차원 1인  안의 이데알 를 찾는다.

를 그 유도 대수라 하자. 가 가해이고 양의 차원을 가지며, 이라서 몫 은 0이 아닌 아벨 리 대수인데, 이는 확실히 여차원 1인 이데알을 포함하고, 이데알 대응성에 의해  안에 있는 여차원 1인 이데알에 대응한다.

3단계 :  안에



0이 아닌 어떤 선형 범함수 가 존재한다. 이는 귀납적 가설(고유값이 선형 범함수를 결정하는지 확인하는 것은 쉽다)에서 따른다.

4단계 : 는 -불변 부분공간이다. (이 단계는 일반적인 사실을 증명하며 가해성을 포함하지 않는다.)

, 라 하자. 그러면 를 증명해야 한다. 인 경우는 자명하므로, 를 가정한다. 그리고 재귀적으로 로 놓는다. 와 가  가 선형독립인 조건 하에 최대집합이라 하자. 그러면 이 원소들이 U를 생성하고 가 U의 기저라는 것을 증명할 것이다. 실제로, 귀류법으로 증명하기 위해, 그것이 사실이 아니라고 가정하고 가 인 최소값이라 하자. 그러면 분명히 이다. 들은 선형 종속이며, 는 의 선형 결합이다. 사상 를 적용하면 가 의 선형 결합임을 알 수 있다. m의 최소성으로 인해 이들 벡터 각각은 의 선형 결합이다. 따라서 도 그렇다. 이는 모순이다. 이제, 귀납법을 통해 모든 , 에 대해 이고



인 기본 체의 원소들 이 존재한다는 것을 증명한다. 인 경우는 이므로 간단하다. 이제 어떤 과 의 모든 원소에 대해 명제를 증명했다고 가정하자.  그리고 라 하자. 가 이데알이므로, 이다. 따라서



이며, 귀납 단계가 이어진다. 이는 모든 애 대해 부분공간 U는 X의 불변 부분공간이고 제한 사상 의 행렬은 기저에 대해 대각선 성분이 과 같은 상 삼각형 행렬이다. 따라서 . 이것을 X 대신에 와 적용하면   이다. 반면에 U는 분명히 Y의 불변 부분공간이기도 하다.



교환자에는 대각합이 0이므로 이다.  눈 (베이스 체의 표수에 대한 가정으로 인해) 가역적이므로, 이고



이며, 따라서 .

5단계 : 공통된 고유벡터를 찾아 증명을 마무리한다.

라 하자. 여기서 L은 1차원 부분 벡터공간이다. 기본 체가 대수적으로 닫혀 있으므로 안에서 L 의 0이 아닌 어떤(따라서 모든) 원소에 대해 고유 벡터가 존재한다. 그 벡터는 또한 의 각 원소에 대한 고유 벡터이기 때문에, 증명이 완료되었다. 

 결과 
정리는 특히 표수 0의 대수적으로 닫힌 체에 대한 (유한차원) 가해 리 대수 의 딸림 표현 에 적용된다. 따라서 이 상 삼각 행렬로 구성되도록 의 기저를 선택할 수 있다. 각각의 에 대해, 는 0으로 구성된 대각선이 있다. 즉, 은 순상삼각 행렬이다. 이는 가 멱영 리 대수임을 의미한다. 더욱이, 기본 체가 대수적으로 닫혀 있지 않으면 리 대수의 가해성과 멱영성은 기본 체를 대수적 폐포로 확장해도 영향을 받지 않는다. 따라서 다음 진술을 결론짓는다:

 표수 0의 체에 대한 유한차원 리 대수 가 가해임과 유도 대수 가 다음과 멱영임은 동치이다.리의 정리는 또한 카르탕의 가해성 판별법에서 한 가지 방향을 설정한다.

 V가 표수 0인 체에 대한 유한 차원 벡터 공간이고 는 리 부분 대수이면 가 가해임과 모든 , 에 대해 임이 동치이다.실제로 위와 같이 기본 체를 확대한 후에는  는 쉽게 보일 수 있다. (역은 증명하기가 더 어렵다.)

리의 정리(다양한 V 에 대한)는 다음 진술과 동일하다:

 대수적으로 닫힌 표수 0 체 위에서 가해 리 대수 에 대해 각각의 유한차원 단순 -가군(즉, 표현으로서 기약)은 1차원이다.실제로 리의 정리는 이 진술을 분명히 암시한다. 반대로, 그 진술이 사실이라고 가정하자. 주어진 유한차원 -가군 V에 대해, 가 극대 -부분 가군이라 하자(차원의 유한성에 의해 존재함). 그런 다음 극대성으로 인해, 는 단순하다; 따라서 1차원이다. 이제 귀납법으로 증명이 완료된다.

이 진술은 특히 아벨 리 대수에 대한 유한차원 단순 가군이 1차원이라고 말한다. 이 사실은 모든 기본 체에서 사실로 유지된다. 이 경우 모든 부분 벡터 공간은 리 부분대수이기 때문이다.

여기 또 다른 유용한 적용이 있다:가 표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대한 유한차원 리 대수이고 그 근기를 라 하자. 그러면 각각의 유한차원 단순 표현 는 의 단순 표현과  의 1차원 표현의 텐서 곱이다.(즉, 리 괄호에서 선형 범함수는 사라지는 것이다).''

리의 정리에 의해 의 가중치 공간 가 존재하도록 의 선형 범함수 를 찾을 수 있다. 리의 정리 증명의 4단계에 의해, 는 또한  -가군이다; 그래서 . 특히, 각 에 대해, . 를 에서 영인  위의 선형 범함수로 확장하면, 는 의 1차원 표현이다. 이제,. 는  위의 와 일치하므로, 는  위에서 자명하다. 따라서 의 (단순한) 표현의 제한이다.

 같이 보기 
 멱영 리 대수에 관한 엥겔의 정리 .
 (연결된) 가해 선형 대수군에 관한 리-콜친 정리.

 각주 

 참고 문헌 
 Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
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