카스너 계량

카스너 계량()은 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 대한 엄밀 해의 하나로 물질이 없는(즉, 진공 해이다) 이방성 우주를 기술한다. 1921년 미국 수학자 에드워드 카스너에 의하여 개발되어 그의 이름을 따서 명명되었다.Kasner, E. "Geometrical theorems on Einstein’s cosmological equations." Am. J. Math. 43, 217–221 (1921). 이 해는   인 어떤 시공간 차원에서도 기술될 수 있으며 중력 혼돈 연구와 강한 연관성을 가지고 있다.

 계량 및 조건 
차원 인 시공간에서 카스너 계량은,



으로 카스너 지수라고 불리는 상수 가  개 포함되어 있다. 카스너 계량은 등시간 조각이 공간적으로 평평한 시공간을 기술하는데, 이 공간은 서로 따른 방향으로  값에 따라 서로 다른 비율로 확장하거나 수축한다. 이 계량에서 공변좌표가  만큼 차이가 나는 시험 입자는  의 물리적 거리만큼 떨어져 있다.

카스너 계량은 카스너 지수가 다음의 카스너 조건을 만족할 때 진공에서 아인슈타인 등식의 엄밀해의 하나이다.





첫 번째 조건은 카스너 평면이라는 평면을 정의하고, 두 번째 조건은 구의 일종은 카스너 구를 설명한다. 따라서 두 조건을 충족하는 해(즉 의 선택)는  두 조건이 교차하는 구(때때로 혼란스럽게도 이것도 카스너 구로 불린다) 상에 있다.  차원의 시공간에서 해의 공간은  차원의 구  상에 존재한다.

 특징 
카스너 해에는 눈에 띄고 특이한 몇 가지 특징이 있다. 즉,

 공간 조각의 부피는 항상 인데, 이는 그 양이 에 비례하고, 또한



 이기 때문인데 여기서 우리는 첫 번째 카스너 조건을 사용했다. 따라서 그러므로 일 때  의 방향에 따라서,빅뱅 또는 빅 크런치를 설명할 수 있다.

 공간의 등방성 확장이나 수축은 허용되지 않는다. 공간 조각이 등방성으로 확장되는 경우 모든 카스너 지수는 동일해야 하고 따라서 첫번째 카스너 조건을 만족시키기 위해서   가 된다. 하지만 이때는 두 번째 카스너 조건이 충족될 수 없는데, 이는



이기 때문이다.

 이와 대조적으로 우주론 에서 사용되는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량은 물질의 존재로 인해 등방성으로 팽창하거나 수축할 수 있다.

 조금 더 계산하면, 하나의 이고 나머지는 0이 되는 해가 적어도 아니라면, 최소한 하나의 카스너 지수가 항상 음수라는 것을 보여줄 수 있다. 우리가 시간 좌표 가 0에서 증가한다고 가정하자. 그렇다면 이는 공간의 부피가  ,와 같이 증가할 때에, 적어도 하나의 방향(음의 카스너 지수에 해당)은 실제로 '수축'하고 있다는 것을 의미한다.
 카스너 계량이 진공 아인슈타인 방정식에 대한 해이므로, 리치 텐서는  카스너 조건을 충족하는 어떤 지수에 대해서도 항상 소멸한다. 전체 리만 텐서는 하나의  이고 나머지에 대해서는 소멸하고, 이 경우 공간은 평평해진다. 민코프스키 계량은 좌표 변환   및  을 통해 찾을 수 있다.

 같이 보기 
 BKL 특이점
 믹스마스터 우주

 각주 

 참고 문헌 


분류:일반 상대성 이론의 엄밀해