감마 함수의 역수

오른쪽|섬네일|250x250픽셀| 복소평면 위에 그린 의 그래프.
수학에서 감마 함수의 역수는 감마 함수 에 역수를 취한 함수이다.



감마 함수는 복소 평면 전체에서 유리형 함수이고 영점이 없으므로 그 역수는 전해석 함수이다.

이 함수는 감마 함수를 수치 근사하는 데에 사용되며 일부 소프트웨어 라이브러리에서는 이를 일반 감마 함수와 별도로 제공한다.

카를 바이어슈트라스는 이 함수를 "factorielle"이라고 부르고 이를 바이어슈트라스의 곱 정리에 사용했다.

 무한곱 전개 
감마 함수의 무한곱꼴 정의에서 다음과 같이 유도된다. 모든 복소수 에서 성립하며, 는 오일러-마스케로니 상수이다.



 테일러 급수 
에서의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.



여기서  는 오일러-마스케로니 상수이다. 일 때  항의 계수 은 다음 점화식이나 적분으로 계산할 수 있다. and   는 리만 제타 함수이다. 적분꼴은 2014년에 Fekih-Ahmed이 발견했다.





처음 30개의 항의 값은 다음과 같다.
1 +1.00000000000000000000000000000000000000002 +0.57721566490153286060651209008240243104223−0.65587807152025388107701951514539048127984−0.04200263503409523552900393487542981871145 +0.16653861138229148950170079510210523571786−0.04219773455554433674820830128918739130177−0.00962197152787697356211492167234819897548 +0.00721894324666309954239501034044657270999−0.001165167591859065112113971084018388666810−0.000215241674114950972815729963053647806511 +0.000128050282388116186153198626328164323412−0.000020134854780788238655689391421021818413−0.000001250493482142670657345359473833092214 +0.000001133027231981695882374129620330744915−0.000000205633841697760710345015413002057316 +0.000000006116095104481415817862498682855317 +0.000000005002007644469222930055665048060018−0.000000001181274570487020144588126565436519 +0.000000000104342671169110051049154033231220 +0.000000000007782263439905071254049937311421−0.000000000003696805618642205708187815878122 +0.000000000000510037028745447597901548132323−0.000000000000020583260535665067832224295424−0.000000000000005348122539423017982370017325 +0.000000000000001226778628238260790158893826−0.000000000000000118125930169745876951376527 +0.000000000000000001186692254751600332579828 +0.000000000000000001412380655318031781555829−0.000000000000000000229874568443537020659230 +0.0000000000000000000171440632192733743338
의 근사공식은 다음과 같다.



여기서   는 람베르트 W 함수의 -1번째 분지이다.

 이상적분 
양의 실수축 위에서의 이상적분 값은 다음과 같으며, 이를 프랑세즈-로빈슨 상수라고 한다.



또한 다음과 같은 공식이 알려져 있다.



 같이 보기 
 베셀-클리포드 함수
 역감마 분포

 참고자 

분류:해석 함수
분류:감마 함수 및 관련 함수