탄성진자

섬네일

물리학 및 수학의 동역학계 분야에서 탄성 진자(elastic pendulum) (용수철 진자 또는 흔들리는 용수철이라고도 함)는 질량 덩어리가 용수철에 연결되어 단순 진자와 1차원 용수철-질량계의 요소가 모두 포함된 움직임을 보이는 물리계이다. 특정 에너지 값의 경우, 이 시스템은 혼돈 행동의 모든 특징을 보이며 초기 조건에 민감하다. 매우 낮거나 매우 높은 에너지에서는 규칙적인 운동도 나타난다. 탄성 진자의 운동은 한 쌍의 상미분 방정식에 의해 지배된다. 이러한 행동은 에너지 상태와 시스템 역학 간의 복잡한 상호 작용을 시사한다.

분석 및 해석
섬네일|300px|극좌표 플롯이 있는 2 자유도 탄성 진자.

용수철의 특성으로 인해 시스템에 자유도가 추가되어 단순 진자보다 훨씬 복잡하다. 예를 들어, 용수철이 압축되면 반지름이 짧아져 각운동량 보존으로 인해 용수철이 더 빠르게 움직인다. 또한 용수철이 진자의 움직임에 의해 범위를 초과하여 진자의 움직임에 실질적으로 중립적인 경우도 있을 수 있다.

라그랑지언
용수철의 평형 길이는 이고, 길이 만큼 늘어날 수 있다. 진자의 진동 각도는 이다.

라그랑지언 은 다음과 같다:

여기서 는 운동 에너지이고 는 위치 에너지이다.

훅의 법칙에 따른 용수철 자체의 위치 에너지는 다음과 같다:

여기서 는 용수철 상수이다.

반면에 중력에 의한 위치 에너지는 질량의 높이에 의해 결정된다. 주어진 각도와 변위에 대해 위치 에너지는 다음과 같다:

여기서 는 중력 가속도이다.

운동 에너지는 다음과 같다:

여기서 는 질량의 속도이다. 를 다른 변수와 관련시키기 위해 속도는 용수철을 따라 이동하는 성분과 수직으로 이동하는 성분의 조합으로 쓰여진다:

따라서 라그랑지언은 다음과 같다:

운동 방정식
와 에 대한 두 자유도를 사용하여 두 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 운동 방정식을 찾을 수 있다:

에 대한 식:

를 분리하면:

그리고 에 대한 식:

를 분리하면:

이들은 길이 와 시간 을 스케일링하여 더욱 단순화될 수 있다. 시스템을 와 로 표현하면 무차원화된 운동 방정식이 나온다. 남은 하나의 무차원 매개변수 가 시스템을 특징짓는다.

이제 탄성 진자는 두 개의 연결된 상미분 방정식으로 기술된다. 이들은 수치적으로 풀 수 있다. 또한, 매개변수  및 초기 조건 와 의 다양한 값에 대해 이 시스템에서 흥미로운 질서-혼돈-질서 현상을 연구하기 위해 분석 방법을 사용할 수 있다.

두 번째 예시인 이중 탄성 진자도 있다. 참조:

 같이 보기 
 이중진자
 더핑 발진기
 진자
 용수철-질량계

 각주 

추가 자료




 외부 링크 
 Holovatsky V., Holovatska Y. (2019) "탄성 진자의 진동" (인터랙티브 애니메이션), Wolfram Demonstrations Project, 2019년 2월 19일 발행.
 Holovatsky V., Holovatskyi I., Holovatska Ya., Struk Ya. Oscillations of the resonant elastic pendulum. Physics and Educational Technology, 2023, 1, 10–17, https://doi.org/10.32782/pet-2023-1-2 http://journals.vnu.volyn.ua/index.php/physics/article/view/1093

분류:동역학계
분류:수리물리학
분류:진자