집합족적 정규 공간

일반위상수학에서 집합족적 정규 공간()은 정규 공간보다 강한 분리공리를 만족시키는 위상 공간이다. 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 하우스도르프 공간과 정규 하우스도르프 공간 사이에 있다.

 정의 
위상 공간 의 부분 집합들의 집합족 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 이산 집합족()이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 이 공집합이거나 한원소 집합인 근방 이 존재한다.
 는 서로소 집합족이며, 임의의 에 대하여 는 닫힌집합이다.

위상 공간 의 부분 집합들의 집합족 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 분리 집합족() 또는 거의 이산 집합족()이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 이다.
 는 의 이산 집합족이다.

모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족이다.

위상 공간 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 집합족적 정규 공간이라고 한다.
 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 에 대하여, 인 열린집합들의 서로소 집합족 이 존재한다.
 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 에 대하여, 인 열린집합들의 이산 집합족 이 존재한다.
 임의의 이산 집합족 에 대하여, 인 열린집합들의 서로소 집합족 이 존재한다.
 임의의 이산 집합족 에 대하여, 인 열린집합들의 이산 집합족 이 존재한다.

만약 가 이산 집합족이라면,  역시 이산 집합족이다. 따라서, 첫 번째와 세 번째 조건 및 두 번째와 네 번째 조건은 서로 동치이다. 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 이제, 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 에 대하여, 인 열린집합들의 서로소 집합족 이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, 는 자명하게 정규 공간이다. 또한, 는 닫힌집합들의 국소 유한 집합족이므로, 그 합집합 역시 닫힌집합이다. 따라서,

인 열린집합 가 존재한다. 그렇다면 임의의 에 대하여, 는 열린집합이며, 이다. 이제, 가 이산 집합족임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 에 대하여, 인 가 하나 이하인 근방 를 찾아야 한다. 만약 라면,

를 고른다. 만약 라면, 을

인 유일한 로 잡을 수 있다.

위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 완비 집합족적 정규 공간() 또는 유전 집합족적 정규 공간()이라고 한다.
 의 모든 부분 집합은 집합족적 정규 공간이다.
 의 모든 열린집합은 집합족적 정규 공간이다.
 임의의 분리 집합족 에 대하여, 인 열린집합들의 서로소 집합족 이 존재한다.

첫 번째 조건은 자명하게 두 번째 조건을 함의한다. 임의의 의 임의의 부분 집합 의 이산 집합족은 의 분리 집합족이므로, 세 번째 조건은 첫 번째 조건을 함의한다. 따라서, 두 번째 조건이 세 번째 조건을 함의함을 보이면 충분하다. 임의의 분리 집합족 이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

는 열린집합이며, 이다. 따라서,

는 열린집합이며, 모든 를 포함한다. 가정에 따라, 는 집합족적 정규 공간이다. 또한, 의 임의의 원소는 어떤 를 열린 근방으로 하며, 와 만나는 는 뿐이다. 따라서, 는 의 이산 집합족이며, 인 의 열린집합들의 서로소 집합족 가 존재한다. 는 열린집합이므로, 는 의 열린집합이다.

 성질 
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center"
| 거리화 가능 공간 || → || 단조 정규 하우스도르프 공간 || → || 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간 || → || 집합족적 정규 하우스도르프 공간
|-
| || ↘ || || || ↓ || || ↓
|-
| || || 완전 정규 하우스도르프 공간 (T6) || → || 완비 정규 하우스도르프 공간 (T5) || → || 정규 하우스도르프 공간 (T4)
|}
모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다 (마이클-나가미 정리, ).

위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 거리화 가능 공간이다.
 무어 공간이며, 집합족적 정규 공간이다.

 예 
순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수 은 완전 정규 공간이 아니다.

집합족적 정규 공간이 아닌 완전 정규 하우스도르프 공간이 존재한다.

 참고 문헌 



 외부 링크 




분류:위상 공간의 성질