야코비 삼중곱

야코비 삼중곱(Jacobi triple product)은 수학자 야코비가 발견한 수학 공식으로, 내용은 아래와 같다.

 성질 

 증명 
1. 제시된 곱셈 은 아래와 같이 무한급수로 바꿀 수 있다.

양변 계수 비교:

2. 이번에는 주어진 곱셈을 직접 까보면 아래와 같이 풀리고

 역시 위 과정에서 z만 1/z로 바꾸면 되며, 이 식들을 1번식에 대입한 뒤 z랑 1/z가 서로 상쇄되는 항을 추려 양변을 비교하면 아래와 같다.

3. 2번식 양변에 를 곱하면

이 되고, 여기에 를 더 곱하면

, 를 더 곱하면

으로 나타나는 것을 보아하니 다음 차례 계산에 대해서도 아래와 같이 예상할 수 있다.

이 식 양변에 을 곱하고 계산한 뒤 양변을 비교하면 수학적 귀납법에 따라 참임을 알 수 있으며, N을 무한으로 놓으면 q(<1)에 대한 항은 최소 2N차임에 따라 0이 되므로

이 된다.

분류:타원함수
분류:항등식
분류:수론 정리