임펄스벡터

임펄스벡터(impulse vector, 일명 강벡터 Kang vector)는 잔류진동(residual vibration)을 제거하는 입력성형기(input shaper)를 도해적으로 설계하거나 해석할 때 사용할 수 있는 수학적 도구이다. 임펄스벡터는 비감쇠시스템(undamped system)과 부족감쇠시스템(underdamped system) 모두에 대해 사용할 수 있을 뿐 아니라, 양의 임펄스(positive impulse)와 음의 임펄스(negative impulse)에 대해 동일한 방법으로 적용할 수 있다. 임펄스벡터를 사용하면 입력성형기의 임펄스시간(impulse time)과 임펄스크기(impulse magnitude)를 도해적으로 쉽게 구할 수 있다.

입력성형에 대한 벡터 개념은 양의 임펄스를 가진 비감쇠시스템에 대해 W. Singhose가 처음 제안하였다. 강철구(C.-G. Kang)는 이 Singhose의 벡터 개념을 일반화하여, 비감쇠시스템과 부족감쇠시스템, 그리고 양의 임펄스와 음의 임펄스에 적용할 수 있는 임펄스벡터를 제안하였다.

 임펄스벡터의 정의 
섬네일|444x444px|임펄스함수와 이에 상응하는 임펄스벡터 (혹은 강벡터). (a) 양의 임펄스()에 대한 임펄스벡터는 시점을 원점에 두고, (b) 음의 임펄스()에 대한 임펄스벡터는 종점을 원점에 둠.
비감쇠 고유진동수(undamped natural frequency)가 , 감쇠비(damping ratio)가 인 이차시스템에 대해, 임펄스함수 에 해당하는 임펄스벡터 (혹은 강벡터) 의 크기 와 각도 는 2차원 극좌표계에서 다음과 같이 정의된다.

여기서 는 임펄스함수의 크기를, 는 임펄스함수의 시간위치를 나타내고, 는 감쇠고유진동수(damped natural frequency) 을 의미한다. 인 양의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 시점이 극좌표계의 원점에 위치하고, 반면에 인 음의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 종점이 극좌표계의 원점에 위치한다. □

이 정의에서 임펄스벡터의 크기 는 에 시간 동안 감쇠영향을 곱한 것으로서, 감쇠되기 전 의 크기를 나타낸다. 각도 는 임펄스시간 에 감쇠고유진동수 를 곱한 값이다. 는 시간 에 작용하는 디락델타함수(Dirac delta function)를 나타낸다. 참고로, 임펄스함수는 순수한 수학적 양인데 비해, 임펄스벡터는 수학적 임펄스함수에 추가적으로 물리량인 과 를 내포하고 있다. 두개 이상의 임펄스벡터를 하나의 극좌표계에 표시한 것을 임펄스벡터선도(impulse vector diagram)라고 한다. 임펄스벡터선도는 임펄스열(impulse sequence)을 도해적으로 나타낸 것이라고 볼 수 있다.
섬네일|444x444px|이고 인 이차시스템에 대해 , s 일 때 두 임펄스벡터와 상응하는 두 임펄스응답. (a) 크기가 같고 각도가 만큼 차이나는 두 임펄스벡터 과 . 원점으로부터 바깥을 향하는 과 원점을 향하는 는 덧셈과 뺄셈에서 같은 벡터로 간주됨. (b) 과  에 상응하는 두 임펄스응답 과 는 마지막 임펄스시간 이후에 정확히 일치함.

오른쪽 그림과 같은 두 임펄스벡터 과 를 고려해보자. 임펄스벡터 은 양의 임펄스 에 해당하는 크기 과 각도 을 가지고 있고, 임펄스벡터 는 음의 임펄스 에 해당하는 크기 과 각도 를 가지고 있을 때, 과 에 상응하는 두 시간응답은 마지막 임펄스시간 이후에 정확히 일치하므로, 벡터 더하기나 빼기에서 두 임펄스벡터 과 는 동일한 벡터로 간주된다. 임펄스벡터는 교환법칙, 결합법칙, 스칼라곱에 대한 분배법칙을 만족한다.

임펄스벡터의 크기는 임펄스크기를 결정하고, 임펄스벡터의 각도는 임펄스시간을 결정한다. 임펄스벡터선도에서 1회전에 해당하는 각도 는 상응하는 임펄스응답의 1주기(감쇠주기)에 해당한다.

비감쇠시스템()이면 임펄스벡터의 크기와 각도는 와 로 표현된다.

 임펄스벡터의 성질 
섬네일|469x469px|(a) 두 임펄스벡터의 합벡터에 대한 두가지 표현 과 , (b) 각각에 상응하는 임펄스응답 과 .

 성질 1. 두 임펄스벡터의 합벡터 
두 임펄스벡터의 합벡터에 상응하는 이차시스템의 임펄스응답(impulse response)은 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 두 임펄스벡터에 상응하는 두 임펄스입력을 가진 이차시스템의 응답과 최종 임펄스시간 이후에 동일하다. □

 성질 2. 임펄스벡터의 합이 0인 경우 
임펄스벡터들의 합벡터가 0이면, 상응하는 임펄스열을 입력으로 가진 이차시스템의 시간응답은, 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 마지막 임펄스시간 이후에 0이다. □

섬네일|468x468px|(a) 임펄스벡터 을 추가하여 합벡터를 0으로 만듬. (b) 이에 상응하는 임펄스열 에 대한 이차시스템()의 시간응답은 마지막 임펄스시간  이후에 잔류진동을 제거함.

전달함수(transfer function)가 인 부족감쇠 이차시스템을 생각해보자. 이 시스템의 고유진동수는  rad/s이고 감쇠비는 이다. 그림과 같은 두 임펄스벡터 과 에 대해 합벡터는 과 의 두가지로 표현될 수 있다. 합벡터 은 크기가 이고 시간이 인 음의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이고, 는 크기가 이고 시간이 인 양의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이다.

합벡터 과 는 다음과 구해질 수 있다.

참고로 이다. 과 에 상응하는 임펄스응답  과 는, 오른쪽 그림 (b)의 녹색선에서 보듯이, 각각의 임펄스시간 이후에 와 정확히 일치한다.

이제 합벡터를 0으로 만들기 위해 에 세번째 임펄스벡터 을 그림과 같이 추가해보자. 임펄스벡터 은 다음과 같이 구해질 수 있다.

임펄스벡터 에 상응하는 임펄스열을 이차시스템에 입력으로 가하면, 오른쪽 시간응답 (b)의 빨간선에서 보듯이, 마지막 임펄스시간  이후에 잔류진동이 사라진다. 물론 합벡터를 0으로 만드는 임펄스벡터 도 존재할 수 있다. 은 과 크기는 같으나 각도가  만큼 더 커서, 상응하는 시간응답은 반주기 더 지나서 잔류진동을 제거한다.

 적용: 임펄스벡터를 이용한 입력성형기 설계 

 ZVDn 성형기 
임펄스벡터를 사용하면, 잘 알려진 기존의 ZV 성형기(zero vibration shaper), ZVD 성형기(zero vibration and derivative shaper), ZVDn 성형기 등을 쉽게 재설계할 수 있다.
섬네일|408x408px|임펄스벡터선도. (a) ZV 성형기, (b) ZVD 성형기, (c) ZVD2 성형기, (d) ZVD3 성형기.
ZV 성형기는 두개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 첫번째 임펄스벡터는 0°에, 두번째 임펄스벡터는, 합벡터 이 되도록, 180°에 위치시킨다. 그러면 다음 식이 성립한다.

그리고  정규화조건 이 만족되어야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서 ZV 성형기 는 다음과 같이 주어진다.

ZVD 성형기는 세개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 벡터합이 이 되도록 첫번째 임펄스벡터는 0 rad에, 두번째 임펄스벡터는  rad에, 세번째 임펄스벡터는  rad에 두되, 크기비를 로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.

그리고 이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서 ZVD 성형기 는 다음과 같이 주어진다.

ZVD2 성형기는 4개의 임펄스벡터로 구성된다. 벡터합이 이 되도록, 은 0 rad에, 는  rad에, 은  rad에, 는  rad에 두되, 크기비를 로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.

그리고 이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서 ZVD2 성형기 는 다음과 같이 주어진다.

같은 방법으로, ZVD3 성형기는 5개의 임펄스벡터로 구성되는데, 이 임펄스벡터를 0, , , ,  rad에 배치하고, 크기비를 로 둠으로써 구할 수 있다.

일반적으로, ZVDn 성형기는 개의 임펄스벡터로 구성되는데,  번째 임펄스벡터를  rad에 배치하고, 크기비를 로 둠으로써 구할 수 있다. 여기서 는 수학의 조합을 의미한다.

 ETM 성형기 
이제 임펄스벡터의 크기는 같고 임펄스벡터의 각도는  rad을 등간격으로 나눈 ETM 성형기(Equal shaping-Time and Magnitudes shaper)를 생각해보자. ETMn 성형기는 다음 조건을 만족한다.
섬네일|458x458px|임펄스벡터선도. (a) ETM4 성형기, (b) ETM5 성형기, (c) ETM6 성형기.

그러면 에 대해 ETMn 성형기의 임펄스벡터합은 항상 0이다. ETMn 성형기의 한 장점은, ZVDn 성형기나 EI 성형기(extra insensitive shaper)와 달리,  이 아무리 늘어나더라도 성형시간(shaping time)은 항상 한 주기(감쇠주기)라는 것이다.

4개의 임펄스벡터로 구성된 ETM4 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 구해진다.

5개의 임펄스벡터로 구성된 ETM5 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 얻어진다.

같은 방법으로, 에 대한 ETMn 성형기를 쉽게 구할 수 있다. 일반적으로 ETM 성형기는 양의 큰 모델링오차에 대해 ZVDn 성형기보다 더 큰 견실성(robustness)을 갖는 이점이 있다.

참고로, ZVD 성형기는 인 ETM3 성형기이다.

 NMe 성형기 
섬네일|163x163픽셀|음의 임펄스를 가진 NMe 성형기의 임펄스벡터선도.
임펄스벡터는 음의 임펄스를 가진 입력성형기를 설계할 때도 사용될 수 있다. 세 임펄스벡터의 크기가 이고 각도가 인 NMe 성형기(Negative equal-Magnitude shaper)를 생각해보자. 이 세 임펄스벡터의 합은 0이므로 잔류진동은 제거된다. NMe 성형기의 임펄스시간은 로 주어지고, 임펄스크기 는 다음 연립방정식으로부터 얻어진다.

얻어진 NMe 성형기 은 다음과 같다.

NMe 성형기는 ZVD 성형기보다 더 짧은 성형시간을 갖는 장점이 있지만, 모델링오차에 대해 더 나쁜 견실성을 갖는 단점이 있다. 참고로, 비감쇠시스템()이면 NMe 성형기는 기존에 알려진 UM성형기(unity-magnitude shaper)가 된다.

아래 그림 (a)는 전형적인 입력성형 제어시스템의 블록선도를 보여주고 있고, 그림 (b)는 여러 가지 입력성형기의 잔류진동 제거성능을 나타내는 계단응답을 보여주고 있다.
섬네일|509x509px|(a) 전형적인 입력성형 제어시스템의 블록선도, (b) 모델링오차가 없을 때, 입력성형기를 가진 이차시스템 의 계단응답.

입력성형기에서 과 의 모델링오차에 대한 견실성은 민감도곡선(sensitivity curve)으로 표현된다. 위 여러 가지 입력성형기에 대한 민감도곡선은 참고 문헌을 참고하기 바란다.

 참고 문헌 

분류:동역학
분류:제어이론
분류:역학적 진동