분배 이음 반격자

순서론에서 분배 이음 반격자()와 분배 만남 반격자()는 분배 격자의 반격자 일반화이다.

 정의 
이음 반격자 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 분배 이음 반격자라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 라면, 인  및 가 존재한다.
 의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 은 분배 격자를 이룬다.
마찬가지로, 만남 반격자 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 분배 만남 반격자라고 한다.
 임의의 에 대하여, 만약 라면, 인  및 가 존재한다.
 의 필터들의 부분 순서 집합 은 분배 격자를 이룬다.

이음 반격자 가 주어졌으며, 에 대하여, 만약 라면, 인  및 가 존재한다고 하자. 모든 이음 반격자의 순서 아이디얼 집합은 이음 반격자를 이룬다. 가정한 조건에 따라, 가 하향 집합을 이루므로, 두 순서 아이디얼의 교집합은 공집합이 아니다. 따라서, 는 격자를 이룬다. 이제, 가 분배 격자임을 보이려면, 임의의 세 순서 아이디얼 에 대하여, 임을 보이면 족하다. 는 모든 격자 위에서 성립한다. 이제 임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가정에 따라

인  및  및 가 존재한다. 이므로, 인  및 가 존재한다. 이 경우 이며, 이므로 이다. 따라서,

이다.

반대로, 이음 반격자 에 대하여, 가 격자이며, 또한 분배 격자라고 하자. 또한, 이며, 라고 하자. 주 순서 아이디얼 을 생각하자. 분배 법칙에 따라,

이다. 특히,

인  및 가 존재한다. 이므로, 이다.

 성질 
모든 분배 이음 반격자는 (공집합이 아니라면) 하향 집합이다. 모든 분배 만남 반격자는 (공집합이 아니라면) 상향 집합이다.

분배 이음 반격자  및 임의의 원소 가 주어졌다고 하자. 이므로, 인  및 가 존재한다. 또한, 이다. 따라서 은 와 의 하계이다.

분배 격자와 달리, 분배 (이음/만남) 반격자의 모임은 (부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않으므로) 대수 구조 다양체를 이루지 않는다. 사실, 반격자들로 구성된 대수 구조 다양체는 분배 격자를 반격자에 대하여 일반화할 수 없다 (즉, 격자의 경우에 분배 격자와 일치할 수 없다).

 예 
격자 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 이음 반격자 는 분배 이음 반격자이다.
 만남 반격자 는 분배 만남 반격자이다.
 격자 는 분배 격자이다.

분배 격자  및 이 주어졌으며, 라고 하자. 그렇다면, 분배 법칙에 따라

이다. 따라서 는 분배 이음 반격자이다.

이제, 격자 가 분배 격자가 아니라고 하자. 그렇다면, 은 오각형 부분 격자

또는 다이아몬드 부분 격자

를 갖는다. 이 경우,

이지만,

인 을 찾을 수 없다. (만약 이러한 이 존재한다면,

이므로 모순이다.) 따라서, 는 분배 이음 반격자가 아니다.

 참고 문헌 

분류:격자 이론