프로토타일

테셀레이션과 관련된 수학 이론에서, 프로토타일()은 테셀레이션에 쓰인 타일의 모양이다..

 정의 
테셀레이션은 '타일'이라는 닫힌 모양으로 평면 등의 공간을 채우는 것을 말하는데, 이때 타일은 내부가 서로소 집합이어야 한다(겹치지 않아야 한다). 다른 타일과 합동인 타일도 있을 수 있다. 테셀레이션에서 쓰인 타일 집합을 라 하자. 그러면 프로토타일의 집합 에서는 어느 두 도형도 서로 합동인 것이 없고, 에 있는 모든 타일은 에 있는 타일 하나와 항상 합동이어야 한다..

테셀레이션에서 다양한 프로토타일 집합 중에서 선택해서 쓸 수 있다. 프로토타일 중 어느 하나를 평행, 회전, 대칭 이동시키면 프로토타일 집합이 달라질 수 있기 때문이다. 하지만 프로토타일 집합은 모두 크기가 같아서, 프로토타일의 개수는 잘 정의된다. 테셀레이션에서 프로토타일 개수가 1개뿐이면 일면(一面, ) 테셀레이션이라고 한다.

 비주기성 
섬네일|소콜라-테일러 타일
섬네일|스미스-마이어스-캐플런-구드먼스트라우스 타일
어떤 프로토타일 집합으로 만들 수 있는 모든 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션이 된다면, 프로토타일이 비주기적이라고 한다. 2차원에서 비주기적 일면 테셀레이션이 존재하는지는 오랫동안 미해결 문제였다(아인슈타인 문제). 2010년에 발견된 소콜라-테일러 타일은 2차원 비주기적 일면 프로토타일이지만 그 모양이 연결집합이 아니다. 2023년에 구드먼스트라우스, 스미스, 마이어스, 캐플런이 연결집합인 비주기적 일면 프로토타일을 발견함으로써 이 문제는 해결되었다.

고차원에서 이 문제는 더 일찍 해결되었는데, 슈미트-콘웨이-댄저 타일은 3차원 유클리드 공간을 주기적으로 채울 수 없고 비주기적으로만 채우는 일면 프로토타일이다.

 각주 

분류:테셀레이션