콘웨이군 (수학)

군론에서 콘웨이군()은 존 호턴 콘웨이가 도입한 산재군 Co1, Co2, Co3 및 이와 관련된 유한군 Co0이다.

콘웨이 군 중 가장 큰 Co0는 덧셈 및 내적에 대한 리치 격자 Λ의 자기동형군으로, 위수 을 갖고, 단순군이 아니다.

단순군 Co1은 Co0를 스칼라 행렬 ±1로 구성된 중심에 의한 몫군으로 정의되고, 위수 를 갖는다.

리치 격자의 내적은 두 벡터의 스칼라곱의 1/8로 정의되고, 정수값을 갖는다. 벡터의 제곱 노름은 자신과의 내적이며 항상 짝수이다. 리치 격자의 벡터에 대해 그 제곱 노름의 절반을 벡터의 유형이라고 한다. 콘웨이 군의 부분군은 종종 관련된 고정점의 유형을 참조하여 이름이 붙는다. 리치 격자에는 유형 1의 벡터가 없다.

Co2 (위수 ) 및 Co3 (위수 )은 각각 유형 2와 유형 3의 격자 벡터를 고정하는 리치 격자 Λ의 자기동형으로 구성된다. 스칼라 −1은 영벡터가 아닌 벡터를 고정하지 않으므로 이 두 군은 Co1의 부분군과 동형이다.

 역사 
은 존 리치가 1964년경 큰 차원 유클리드 공간에서의 조밀한 구 채우기 문제를 연구한 방법에 대해 설명한다. 리치의 발견 중 하나는 훗날 리치 격자라고 불리게 되는 격자를 통한 24차원의 구 채우기였다. 리치는 리치 격자의 대칭군이 흥미로운 단순군에 포함되어 있는지 궁금해했지만, 군론에 조예가 깊은 이의 도움이 필요함을 느꼈다. 다른 수학자들은 이미 자신이 몰두하고 있는 주제가 있었기에 리치가 도움을 얻는 것은 쉽지 않았다. 존 호턴 콘웨이가 같이 문제에 대해 궁리하였다. 존 그리그스 톰프슨은 군의 위수가 주어진다면 흥미로울 것이라고 말하였다. 콘웨이는 문제에 몇 달 혹은 몇 년을 써야 할 것으로 예측했지만, 몇 번의 회의를 통해 의외로 빠르게 결과를 얻을 수 있었다.

은 그가 리치 격자를 1940년에 발견하였다고 말했고, 그것의 자기동형군 Co0의 위수를 계산하였다고 암시했다.

 부분 격자 군 
콘웨이와 톰프슨은 회의 에서 설명된 4개의 산재군이 Co0의 부분군 또는 부분군의 몫과 동형임을 발견했다.

콘웨이는 점을 접두사로 붙인 점과 부분공간의 안정자에 대한 표기법을 사용했다. Co0 및 Co1인 .0 및 .1은 예외이다. 정수 에 대해 .n은 리치 격자에서 유형 n인 점의 안정자를 나타낸다.

콘웨이는 정점을 원점으로 하는 삼각형으로 정의된 평면의 안정자를 명명했다. .hkl 을 h, k 및 l 유형의 모서리(정점의 차이)가 있는 삼각형의 점별 안정자라고 하자. 이러한 삼각형은 h-k-l 삼각형이라고 한다. 가장 단순한 경우에 Co0는 문제에서의 점 또는 삼각형에 전이적이고 안정자 군은 켤레의 차이를 무시하고 정의된다.

콘웨이는 .322으로 매클로플린 군 McL(위수 )을, .332으로 히그만-심즈 군 HS(위수 )를 식별했다.

다음은 일부 부분 격자 군의 표Conway & Sloane (1999), p. 291Griess (1998), p. 126이다.
이름 위수 구조 정점의 예 •2 218 36 53 7 11 23 Co2 (−3, 123) •3 210 37 53 7 11 23 Co3 (5, 123) •4 218 32 5 7 11 23 211:M 23 (8, 023) •222 215 36 5 7 11 PSU6(2) ≈ Fi21 (4, −4, 022), (0, −4, 4, 021) •322 27 36 53 7 11 McL (5, 123 ), (4, 4, 022 ) •332 29 32 53 7 11 HS (5, 123), (4, −4, 022) •333 24 37 5 11 35:M11 (5, 123), (0, 212, 011) •422 217 32 5 7 11 210:M22 (8, 023), (4, 4, 022) •432 27 32 5 7 11 23 M23 (8, 023), (5, 123) •433 210 32 5 7 24.A8 (8, 023), (4, 27, −2, 015) •442 212 32 5 7 21+8.A7 (8, 023), (6, −27, 016) •443 27 32 5 7 M21:2 ≈ PSL3(4):2 (8, 023), (5, −3, −3, 121)

 다른 두 개의 산재군 
두 개의 부분 산재군은 리치 격자 구조의 안정자의 몫으로 정의할 수 있다. R24를 C12로, Λ를 로 식별하면, 결과적인 자기동형군(즉, 복소 구조를 보존하는 리치 격자의 자기동형군)은 복소 스칼라 행렬의 6개 요소 그룹으로 나눌 때 스즈키 산재군 Suz(위수 )이 나타난다. 스즈키 산재군은 1968년 스즈키 미치오에 의해 발견되었다.

유사한 구성을 통해 Hall-Janko 군 J2 (위수 )는 ±1 스칼라 군에 의한 Λ의 사원수 자기동형군의 몫으로 얻는다.

위에 설명된 7개의 단순군은 로버트 그리스가 2세대 Happy Family 라고 부르는 것으로 구성되며, 괴물군 내에서 발견되는 20개의 산재군으로 구성된다. 군 7개 중 몇 개는 적어도 1세대 를 구성하는 5개 마티외 군 중 일부를 포함한다.

 일반화된 가공할 헛소리 
콘웨이와 Norton은 1979년 논문에서 가공할 헛소리가 괴물군에게만 국한되지 않는다고 제안했다. Larissa Queen과 다른 사람들은 산재군의 차원의 단순한 조합으로 많은 Hauptmoduln의 확장을 구성할 수 있음을 나중에 발견했다. 콘웨이 군의 경우 관련 McKay-Thompson 급수는 다음과 같다.  = {1, 0, 276, , , , ...} (  ) 및  = {1, 0, 276, , , , ...} (  )



여기서 상수항 , η(τ)는 데데킨트 에타 함수이다.

 참고 문헌 




  Reprinted in 




 유한 군 표현의 아틀라스: Co1 버전 2
 유한 군 표현의 아틀라스: Co1 버전 3




 R. T. Curtis and B. T. Fairburn (2009), "Symmetric Representation of the elements of the Conway Group .0", Journal of Symbolic Computation, 44: 1044-1067.

분류:산재군