자기회귀모형

통계, 계량 경제학 및 신호 처리에서 자기회귀 모형(自己回歸模型, , AR)은 임의 프로세스 유형을 나타낸다. 자연, 경제 등에서 시간에 따라 변하는 특정 프로세스를 설명하는 데 사용된다. 자기회귀 모형은 출력 변수가 자신의 이전 값과 확률적 항(불완전하게 예측 가능한 항)에 선형적으로 의존함을 지정한다. 따라서 모델은 확률적 차이 방정식(또는 미분 방정식과 혼동되어서는 안 되는 반복 관계)의 형태이다. MA (이동 평균) 모델과 함께 더 복잡한 확률론적 특성을 갖는 시계열의 보다 일반적인 ARMA(자기 회귀 이동 평균) 및 ARIMA(자기회귀누적이동평균) 모형의 특수한 경우이자 핵심 구성요소이다.

이동 평균(MA) 모델과 달리 자기회귀 모델은 단위 루트를 포함할 수 있으므로 항상 고정적이지는 않다.

 정의 
표기법  p 차수의 자기회귀 모델을 나타낸다. AR( p ) 모델은 다음과 같이 정의된다.

는 모델의 매개변수 이고, 는 상수이고 는 백색소음이다. 이것은 백시프트 연산자 B를 사용하여 다음과 같이 동등하게 작성할 수 있다.



합계 항을 왼쪽으로 이동하고 다항식 표기법을 사용하여 다음을 얻다.



따라서 자기회귀 모델은 입력이 백색 잡음인 all- pole 무한 임펄스 응답 필터의 출력으로 볼 수 있다.

모델이 넓은 의미의 정상상태를 유지하려면 일부 매개변수 제약 조건이 필요하다.

 충격의 시간간 효과 
AR 과정에서 일회성 충격은 미래에 무한히 진화하는 변수의 값에 영향을 미친다.

각각의 충격은 발생한 시점으로부터 훨씬 먼 미래의 X 값에 무한한 영향을 미치기 때문에 주어진 값 X t는 무한히 먼 과거에 발생하는 충격의 영향을 받다.



(변수가 평균과의 편차로 측정되었다고 가정하여 상수 항이 억제된 경우)



우변의 다항식 장제를 하면 백시프트 연산자의 다항식은 다음과 같이 적용된다.  무한한 순서, 즉 무한한 수의 지연 값이 있다.  방정식의 오른쪽에 나타난다.

 특성 다항식 
AR( p ) 프로세스의 자기상관 함수는 다음과 같이 표현될 수 있다.



는 다항식의 근이다

 AR( p ) 프로세스의 그래프 
대체글="Figure has 5 plots of AR processes. AR(0) and AR(0.3) are white noise or look like white noise. AR(0.9) has some large scale oscillating structure."|오른쪽|섬네일| AR(0); AR 매개변수가 0.3인 AR(1); AR 매개변수가 0.9인 AR(1); AR 매개변수 0.3 및 0.3이 있는 AR(2); 및 AR 매개변수 0.9 및 -0.8이 있는 AR(2)
가장 간단한 AR 프로세스는 AR(0)이며 항 간에 종속성이 없다. 오류/혁신/잡음 항만 프로세스의 출력에 기여하므로 그림에서 AR(0)은 백색 잡음에 해당한다.

양수가 있는 AR(1) 프로세스의 경우 , 프로세스의 이전 항과 잡음 항만 출력에 기여한다. 만약에  0에 가까우면 프로세스가 여전히 백색 잡음처럼 보이지만  1에 접근하면 출력은 잡음에 비해 이전 항에서 더 큰 기여를 한다. 그 결과 저역 통과 필터와 유사한 출력의 "평활화" 또는 통합이 발생한다.

AR(2) 프로세스의 경우 이전 두 항과 잡음 항이 출력에 기여한다. 둘 다  그리고  양수이면 출력은 노이즈의 고주파수 부분이 감소하면서 저역 통과 필터와 유사하다. 만약에  양수이면서  음수이면 과정은 과정의 항 사이에서 부호의 변화가 일어나게 된다.

 예측 품질 평가 
교차 검증이 사용되는 경우 추정이 완료되는 즉시 자기회귀 모델의 예측 성능을 평가할 수 있다. 이 접근 방식에서 초기에 사용 가능한 데이터 중 일부는 매개변수 추정 목적으로 사용되었으며 일부(데이터 세트에서 나중에 사용 가능한 관찰에서)는 샘플 외 테스트를 위해 보류되었다. 또는 매개변수 추정을 수행한 후 일정 시간이 지나면 더 많은 데이터를 사용할 수 있게 되어 새 데이터를 사용하여 예측 성능을 평가할 수 있다.

어느 경우든 평가할 수 있는 예측 성능의 두 가지 측면이 있다. 한 단계 앞선 성능의 경우 추정된 매개변수는 예측되는 기간 이전의 모든 기간에 대해 X 의 관측값과 함께 자기회귀 방정식에 사용되며 방정식의 출력은 한 단계 앞선 예측이다. 이 절차는 각 표본 외 관측치에 대한 예측값을 얻는 데 사용된다. n 단계 예측의 품질을 평가하기 위해 이전 섹션의 예측 절차를 사용하여 예측을 얻는다.

 같이 보기 
 예측 분석
 선형 예측 부호화
 공명
 레빈슨 재귀 알고리즘
 각주 

 외부 링크 
 Paul Bourke의 자동 회귀 분석(AR)
 Mark Thoma   

분류:신호 처리