업샘플링

디지털 신호 처리에서 업샘플링(upsampling)은 리샘플링 과정과 관련된 용어이다. 다중 속도 디지털 신호 처리 시스템에서 업샘플링은 확장과 동의어이거나 확장 및 필터링(보간)의 전체 과정을 설명할 수 있다. 신호 또는 다른 연속 함수의 샘플 시퀀스에 업샘플링을 수행하면 더 높은 속도(또는 사진의 경우 밀도)로 신호를 샘플링하여 얻었을 시퀀스의 근사치를 생성한다. 예를 들어, 44,100 샘플/초의 콤팩트 디스크 오디오를 5/4 인자로 업샘플링하면 결과 샘플 속도는 55,125가 된다.

섬네일|350px|그림 1: L=4, n=9, j=3인 경우 하나의 스칼라곱(초록색)으로 하나의 출력 샘플을 나타낸 그림. 각 입력 샘플 쌍 사이에 세 개의 개념적인 "삽입된 영"이 묘사되어 있다. 이들을 계산에서 제외하는 것이 다중 속도 필터와 단일 속도 필터를 구별한다.
정수 인자로 업샘플링

정수 인자 에 의한 속도 증가는 2단계 과정으로 설명될 수 있으며, 더 효율적인 동등한 구현이 가능하다:
확장: 원래 샘플 을 개의 0으로 구분하여 시퀀스 을 생성한다.  이 연산에 대한 표기법은:  이다.
보간: 0을 대체하는 저역 통과 필터를 사용하여 불연속성을 부드럽게 만든다.

이 응용에서 필터는 보간 필터라고 불리며, 그 설계는 아래에서 논의된다. 보간 필터가 FIR 유형일 때, 0은 스칼라곱 계산에 아무런 기여도 하지 않으므로 효율성을 향상시킬 수 있다. 데이터 스트림과 계산에서 0을 생략하는 것은 쉬운 일이다. 각 출력 샘플에 대해 다중 속도 보간 FIR 필터가 수행하는 계산은 스칼라곱이다:

여기서  시퀀스는 보간 필터의 임펄스 응답이며, 는 이 0이 아닌 가장 큰  값이다.

보간 필터 출력 시퀀스는 컨볼루션으로 정의된다:

이 0이 아닐 수 있는 유일한 항은 이 의 정수 배수인 경우이다.  따라서:
  정수   에 대해 컨볼루션은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다:

 인 경우 함수 는 하프 밴드 필터로 설계될 수 있으며, 여기서 계수의 거의 절반이 0이므로 스칼라곱에 포함될 필요가 없다.  간격으로 취해진 임펄스 응답 계수는 부분 시퀀스를 형성하며, 이러한 부분 시퀀스(위상이라고 함)는 개이다. 임펄스 응답의 개 위상 각각은  데이터 스트림의 동일한 순차 값을 필터링하고 개의 순차 출력 값 중 하나를 생성한다. 일부 다중 프로세서 아키텍처에서는 이러한 스칼라곱이 동시에 수행되는데, 이 경우 폴리페이즈 필터라고 불린다.

완전성을 위해, 각 위상의 가능한, 그러나 가능성은 낮은 구현은  배열의 복사본에서 다른 위상의 계수를 0으로 대체하고   시퀀스를 원래 입력 속도보다 배 빠르게 처리하는 것이다. 그러면 개의 출력 중 개가 0이 된다. 원하는  시퀀스는 위상들의 합이며, 각 합의 개 항은 동일하게 0이다.  위상의 유용한 출력 사이에 개의 0을 계산하고 이를 합에 추가하는 것은 효과적으로 다운샘플링이다. 이는 전혀 계산하지 않는 것과 동일한 결과이다. 이러한 동등성은 두 번째 노블 항등식으로 알려져 있다. 이는 때때로 폴리페이즈 방법의 유도에 사용된다.

보간 필터 설계
섬네일|400px|그림 2: 첫 번째 그래프의 첫 번째 삼각형은 연속 함수 x(t)의 푸리에 변환 X(f)를 나타낸다. 첫 번째 그래프 전체는 연속 함수 x(t)를 1/T의 낮은 속도로 샘플링하여 형성된 시퀀스 x[n]의 이산시간 푸리에 변환을 나타낸다. 두 번째 그래프는 원래 샘플 사이에 0 값을 가진 샘플을 삽입하여 구현된 더 높은 데이터 속도에서 저역 통과 필터의 적용을 나타낸다. 세 번째 그래프는 필터 출력의 DTFT이다. 하단 표는 필터 설계 도구에서 사용되는 다양한 주파수 단위의 최대 필터 대역폭을 나타낸다.

 시퀀스와 동일한 간격 에서 샘플링된 함수 의 푸리에 변환을 라고 하자. 그러면  시퀀스의 이산시간 푸리에 변환 (DTFT)은 의 푸리에 급수 표현이다:

가 초 단위이고 가 헤르츠 (Hz) 단위일 때. 배 더 빠르게 샘플링(간격 에서)하면 주기성은 배 증가한다:

이는 또한 보간의 원하는 결과이다. 이 두 분포의 예는 그림 2의 첫 번째 및 세 번째 그래프에 묘사되어 있다. 

추가 샘플이 0으로 삽입되면 샘플 간격이 로 줄어든다. 푸리에 급수의 0 값 항을 생략하면 다음과 같이 쓸 수 있다:

이는  값에 관계없이 와 동일하다. 이러한 동등성은 그림 2의 두 번째 그래프에 묘사되어 있다. 유일한 차이점은 사용 가능한 디지털 대역폭이 로 확장되어 새로운 대역폭 내에서 주기적 스펙트럼 이미지의 수가 증가한다는 것이다. 일부 저자는 이를 새로운 주파수 성분으로 설명한다.  두 번째 그래프는 또한 저역 통과 필터와 을 묘사하고 있으며, 결과적으로 원하는 스펙트럼 분포(세 번째 그래프)를 보여준다. 필터의 대역폭은 원래  시퀀스의 나이퀴스트 진동수이다.  Hz 단위에서 그 값은   이지만 필터 설계 응용 프로그램은 일반적으로 정규화된 단위를 요구한다. (그림 2, 표 참조)

분수 인자로 업샘플링

을 업샘플링 인자라고 하자. 여기서 L > M이다.

L 인자로 업샘플링
M 인자로 다운샘플링

업샘플링은 데이터 속도를 증가시킨 후 저역 통과 필터가 필요하며, 다운샘플링은 데시메이션 전에 저역 통과 필터가 필요하다. 따라서 두 작업은 두 차단 주파수 중 낮은 주파수를 갖는 단일 필터로 수행될 수 있다. L > M인 경우, 보간 필터 차단 주파수인   중간 샘플당 사이클은 더 낮은 주파수이다.

 같이 보기 

 다운샘플링
 다중 속도 디지털 신호 처리
 하프 밴드 필터
 오버샘플링
 샘플 풍부도
 표본화
 신호 (정보 이론)
 데이터 컨버전
 보간법
 푸아송 합 공식

 내용주 

 페이지 인용 

 각주 

추가 자료
  (대역 제한 보간 기술 논의)


분류:디지털 신호 처리
분류:신호 처리