입방진

수학에서 입방진(立方陣) 또는 입체마방진(立體魔方陣)은 3차원 형태로 확장된 마방진이며, 매직 큐브()라고도 한다. n × n × n의 정육면체 형태로 정수가 배열된 것으로, 모든 가로줄, 세로줄, 높이줄, 4개의 입체대각선에 있는 수의 합이 M3(n)라는 마법 상수로 동일하다. 1부터 n3까지의 자연수가 입방진을 이룬다면 마법 상수는 다음과 같다. (OEIS의 A027441번 수열)

입방진에서 모든 단면의 면대각선에 있는 수의 합도 동일하면 완전 입방진(perfect magic cube), 아니면 반완전 입방진(semiperfect magic cube)이라 한다. 수 n을 입방진의 차수라 한다. 범입체대각선에 있는 수들의 합도 마법 상수로 동일하다면, 범대각선 입방진이라 한다.

 완전 입방진 

처음에는 각 단면의 면대각선에 있는 수들의 합이 동일한 입방진을 완전 입방진이라 하였다. 하지만 존 로버트 헨드릭스(John R. Hendricks)는 완전 입방진을 끊긴 것을 포함하여 가능한 모든 선분에 있는 수들의 합도 동일한 입방진으로 정의하였다. 새로운 정의에 따른 입방진의 조건이 더 강해서, 만족하는 경우의 수가 현저히 적다.

 다중 입방진 

마방진의 경우처럼 이중 입방진(bimagic cube)은 각 성분을 제곱해도 입방진이라는 추가 조건을 만족하며, 삼중 입방진(trimagic cube)은 각 성분을 제곱해도 세제곱해도 입방진이 되어야 한다. (2005년 기준 삼중 입방진은 2개만 알려져 있다) 사중 입방진(tetramagic cube)은 각 성분을 제곱, 세제곱, 네제곱해도 입방진이 된다.

캐나다의 존 로버트 헨드릭스(John R. Hendricks)는 4개의 이중, 2개의 삼중, 2개의 사중 입방진을 제시했다. 중국의 수학 교사 종 밍(Zhong Ming)은 헨드릭스와 같은 차수이지만 다르게 배열된 2개의 이중 입방진을 새로 발견했다. 그중 일부는 완전 입방진이며, 거듭제곱을 한 후에도 완전하다.

 뒤러와 가우디 마방진을 응용한 입방진 
단면이 마방진의 조건을 만족하도록 하여 입방진을 구성할 수도 있다. 뒤러의 마방진을 응용한 입방진과 가우디 마방진을 응용한 입방진이 있다.

 각주 

 같이 보기 
 마방진

 완전 입방진
 반완전 입방진



 외부 링크 
 입방진 홈페이지 (영어) 
 Wolfram Math World의 입방진 문서 (영어)

분류:마방진
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