적분의 점화식

적분 미적분학에서 적분의 점화식은 점화식의 형태로 된 적분 공식이다. 주로 초등함수의 거듭제곱, 초월함수와 n차다항식의 곱의 형태 같은 정수 매개변수를 포함하는 수식을 직접 적분하기 어려울 때 쓰인다.

이러한 점화식과 다른 적분법을 이용하면 피적분함수를 정수 매개변수의 값이 더 작은 동일하거나 유사한 형태의 식으로 바꾸어 쉽게 적분이 가능하도록 단순화 할 수 있다.Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010,  이 방식은 가장 초기에 사용된 적분법 중 하나이다.

 적분의 점화식을 유도하는 원리 
적분의 점화식은 치환 적분, 부분 적분, 삼각 치환, 부분 분수에 의한 적분 등과 같은 일반적인 적분법을 이용하여 유도할 수 있다. 핵심은 정수 매개 변수를 이용하여 나타낼 수 있는 함수 (예 : 거듭 제곱)를 더 낮은 값의 매개 변수(더 낮은 거듭 제곱)를 포함하는 함수(예 :  또는 )에 대하여 나타내는 것이다. 즉 원래의 적분을 점화식의 형태로 나타내는 것이다. 결론적으로 적분의 점화식은 다음과 같이 적분

을 인 정수 에 대하여



의 형태로 나타내는 것이다.

 적분의 점화식을 이용한 함수의 적분 
점화식을 이용하여 함수를 적분하기 위해서 의 적분을 점화식을 사용하여   또는  에 대한 적분으로 나타내야 한다. 이 쉽게 적분될 때까지 (주로 n=1 또는 n=0일 때까지) 점화식을 반복적으로 사용하여, 결과를 적분하고, 다시 대입하여 을 계산한다.Further Elementary Analysis, R.I. Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978, 

 예시 
아래는 점화식을 이용한 적분 과정의 예시이다.

코사인함수의 적분

일반적으로



와 같은 적분은 적분의 점화식을 이용하여 적분할 수 있다.
섬네일|  n = 1, 2 ... 30인 경우의 



라고 하자.





라고 치환하면



부분 적분을 이용하면









따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.



이 예시를 보충하기 위해 n = 5를 대입해 보면.



n=5, n=3을 대입하면





결과를 대입하면







여기서 C는 적분상수이다.

지수함수의 적분

또 다른 전형적인 예는 다음과 같다.





라고 하자.

치환 적분을 하면



로 치환하면



부분 적분을 하면





n + 1 → n, n → n – 1으로 바꾸면





따라서 적분의 점화식은 다음과 같다.



를 치환하여 이 공식을 유도하는 다른 방법도 있다.

결과를 다시 대입하면 점화식을 구할 수 있다.

즉



 적분의 점화식의 표 

 유리함수 
다음의 적분http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list 은 아래를 포함한다:

 선형 라디칼 
 선형 인수   또는 선형 라디칼 
 이차식 
 이차식  ()
 이차식  ()
 (기약 다항식) 
 기약 다항식의 라디칼

적분적분의 점화식
 적분 적분의 점화식        
 적분 적분의 점화식      
 적분 적분의 점화식      
 적분 적분의 점화식      
 적분 적분의 점화식      
 적분 적분의 점화식    
지수법칙에 따라:



 초월함수 
다음의 적분http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list 은 아래의 함수들을 포함하는 함수들이다:

 사인
 코사인
 사인 및 코사인의 곱 또는 나누었을 때의 몫
 x의 거듭 제곱과 지수함수의 곱
 사인 / 코사인과 지수함수의 곱

 적분 적분의 점화식          

공식을 결합하여 I n의 개별적인 방정식을 얻을 수 있다.

그리고 J n :        
 적분 적분의 점화식        
 적분 적분의 점화식            

 각주 

 서지 

 Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.

분류:적분학