페아노 존재 정리

동역학계 이론에서, 페아노 존재 정리(-存在定理, )는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재에 대한 정리이다.

 정의 
다음과 같은 초깃값 문제를 생각하자.

열린집합  및 연속 함수 가 주어졌다고 하자. 페아노 존재 정리에 따르면, 임의의 에 대하여, 위 초깃값 문제는 국소적 해  ()를 갖는다. 만약 추가로 이며 가 유계 함수일 경우, 위 초깃값 문제는 대역적 해 를 갖는다.

우선

라고 하자. 연속 함수 들의 상한 노름 에 대한 바나흐 공간  위의 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.

이 작용소의 공역을 로 제한할 수 있는 것은 임의의  및 에 대하여

이기 때문이다. 위 초깃값 문제의 해 는 자명하게 의 고정점과 동치이다. 샤우데르 고정점 정리에 따라, 의 고정점의 존재는 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.
 ㈀ 는 연속 함수
 치역 은 의 상대 콤팩트 집합
아르첼라-아스콜리 정리에 따라, 두 번째 조건은 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.
 ㈁ 는 유계 집합
 ㈂ 는 균등 동등 연속 함수족
㈀: 라고 가정하자. 는 에서 균등 연속 함수이므로,

이다. 또한

이므로,

이다.

㈁: 임의의  및 에 대하여,

㈂: 임의의  및 에 대하여,

만약 이며 가 유계 함수라면, 위 증명에서  및  및 를 취하면 대역적 해의 존재의 증명을 얻는다.

 역사 
주세페 페아노의 이름을 땄다.

 각주 

 외부 링크 


분류:상미분 방정식