원분 다항식

대수적 수론에서, 원분 다항식(圓分多項式, )은 1의 거듭제곱근을 근으로 하는 정수 계수 일계수 기약 다항식이다.

 정의 
양의 정수 에 대하여, 번째 원분 다항식

은 다음과 같다.

첫째 정의에서, 은 와 이 서로소라는 조건이며, 이 경우 는 모든 1의 원시 제곱근에 해당한다. (은 흔히 으로 쓴다.) 이 정의에 따라, 는 1의 원시 제곱근들을 근으로 갖는 일계수 다항식이며, 차 다항식이다 (는 오일러 피 함수). 둘째 정의에서, 는 뫼비우스 함수이다. 셋째 정의는 재귀적이며, 이를 통해 가 정수 계수 다항식임을 쉽게 알 수 있다. 가 기약 다항식임은 세 정의로부터 자명하지 않다. 이 의 에 대한 최소 다항식이라는 사실은 원분 다항식의 정의로 삼을 수 있다.

 성질 
다음 성질들이 성립한다.
 는 의 기약 다항식이다. 물론, 은 일계수 다항식이므로 원시 다항식이며, 따라서 의 기약원이기도 하다.
 의 차수는 이며, 특히 일 때 짝수이다.

 모든 1의 제곱근은 어떤 유일한 의 (양의) 약수에 대한 원시 제곱근이므로, 다음 항등식이 성립한다.

 이에 대한 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다.

 가 의 제곱 인수가 없는 약수 가운데 가장 큰 하나일 때, 다음이 성립한다. 이에 따라, 원분 다항식의 계산은 제곱 인수가 없는 지표의 경우로 귀결된다.

 계수 
원분 다항식의 계수에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
 모든 정수는 어떤 원분 다항식의 계수이다. 특히, (낮은 차수에서와 달리) 원분 다항식의 계수는 로 이루어질 필요가 없다.
 에 대하여, 의 계수들은 “회문”을 이룬다 ().
 에 대하여, 의 가운데 항 계수(즉, 차항 계수)는 0이거나 () 홀수이다 ().

 값 
원분 다항식의 특정 수에서의 값들은 다음과 같다.

 예 
 작은 지표 
처음 몇 원분 다항식은 다음과 같다.

원분 다항식의 계수가 에 속할 필요는 없다. 예를 들어, 105번째 원분 다항식 의 7차항은 이다. 이는 처음 오는 반례이며, 은 서로 다른 세 소수의 곱이다.

 Φp 
소수 에 대하여,

이다. 가 기약 다항식임을 보이는 것은 아이젠슈타인 판정법에 따라 더 쉽다.

 Φpq 
임의의 두 소수 에 대하여,

인 유일한 음이 아닌 정수 가 존재한다.

두 소수 에 대하여,

이다. 특히, 는 차 다항식이며, 계수는 로 이루어지며, 계수 1의 항이 계수 −1의 항보다 하나 더 많다 (). 또한, 의 가운데 항 계수(차항 계수)는 이다.

 참고 문헌 



 외부 링크 









 같이 보기 
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