미분학적 공간

미분학적 공간(微分學的空間, )은 기하학에서 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이다. 미분학적 공간과 매끄러운 다양체 사이의 관계는 위상 공간과 다양체 사이의 관계와 유사하며, 미분학적 공간의 “차원”은 국소적으로 바뀔 수도, 잘 정의되지 않을 수도 있다.

 정의 
집합  위의 미분학적 구조(微分學的構造, ) 는 다음과 같은 꼴의 순서쌍들의 집합이다.
 에서, 은 자연수이며, 는 차원 유클리드 공간의 열린집합이며, 는 함수이다.
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
 임의의 유클리드 공간 의 열린집합  및 임의의 원소 에 대하여,  값의 상수 함수 는 의 원소이다.
 임의의 유클리드 공간 의 열린집합  및 임의의 함수 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 이다.
 임의의 에 대하여, 인 의 열린 근방 가 존재한다.
 임의의  및 임의의  및 임의의 매끄러운 함수 에 대하여, 이다.

미분학적 구조를 갖춘 집합을 미분학적 공간이라고 한다.

두 미분학적 공간 ,  사이의 매끄러운 함수 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
 임의의 에 대하여, 이다.
이를 통해 미분학적 공간의 범주를 정의할 수 있다.

 성질 
미분학적 공간  위에는 표준적인 위상을 줄 수 있으며, 이 경우 집합이 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

여기서 은 의 열린집합들의 집합이다. 즉, 이 위상은 모든 함수 들의 연속 함수가 되는 가장 섬세한 위상이다.

미분학적 공간의 범주는 준토포스를 이룬다.

 연산 
미분학적 공간의 부분 집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

미분학적 공간의 몫집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

 예 
모든 차원 매끄러운 다양체 은 미분학적 공간이다. 이 경우 미분학적 구조는 의 열린집합에서 으로 가는 모든 매끄러운 함수들의 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 프레셰 다양체는 미분학적 공간이다.

1차원 유클리드 공간 의 몫

을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약 가 유리수라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수라면 이는 매끄러운 다양체가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다.

 역사 
섬네일|오른쪽|미분학적 공간의 개념을 발견한 장마리 수리오
미분학적 공간의 개념은 장마리 수리오(, 1922〜2012)가 1979년에 도입하였다. ‘미분학적 공간’()이라는 이름은 (미분 동형 사상)과 (위상 공간)의 합성어이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 


분류:미분기하학
분류:매끄러운 다양체