특성 부분군

군론에서, 특성 부분군(特性部分群, )은 자기 동형 사상 아래 불변인 부분군이다.

 정의 
군 의 부분군 가 다음 조건을 만족시키면, 를 의 특성 부분군이라고 한다.
 임의의 군 자기 동형 사상 에 대하여, . (물론, 반드시 이다.)
즉, 의 특성 부분군은 의 자기 동형 사상 아래 불변인 부분군이다.

군 의 부분군 가 다음 조건을 만족시키면, 를 의 완전 불변 부분군(完全不變部分群, )이라고 한다.
 임의의 군 자기 준동형 에 대하여, . (일 필요는 없다.)
즉, 의 완전 불변 부분군은 의 자기 준동형에 대하여 닫혀 있는 부분군이다.

 성질 
임의의 군의 부분군에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
완전 불변 부분군 ⇒ 특성 부분군 ⇒ 정규 부분군

특성 부분군·완전 불변 부분군은 추이적 관계를 이룬다. 즉,
 만약 가 의 특성 부분군이며, 가 의 특성 부분군이라면, 는 의 특성 부분군이다.
 만약 가 의 완전 불변 부분군이며, 가 의 완전 불변 부분군이라면, 는 의 완전 불변 부분군이다.

가 의 특성 부분군이며, 가 의 특성 부분군이이며, 라고 하자. 이므로, 이다. 따라서

이다.

가 의 완전 불변 부분군이며, 가 의 완전 불변 부분군이이며, 라고 하자. 이므로, 이다. 따라서

이다.

만약 가 의 정규 부분군이며, 가 의 특성 부분군이라면, 는 의 정규 부분군이다.

라고 하자. 이므로, 이다. 따라서

이다.

 예 
군 의 다음 부분군들은 완전 불변 부분군이다.
 자명 부분군 과 군 전체 
 교환자 부분군 
 보다 일반적으로, 하중심렬  속 부분군
 음이 아닌 정수 에 대하여, 

모든 완전 불변 부분군은 특성 부분군이다. 군 의 다음 부분군들 역시 특성 부분군이다.
 프라티니 부분군 
 중심 
 보다 일반적으로, 상중심렬  속 부분군

 참고 문헌 

 외부 링크 


 같이 보기 
 특성 단순군
 언어적 부분군

분류:군론