심슨 직선

기하학에서 심슨 직선()은 삼각형의 외접원 위의 점을 지나는 각 변의 수선의 발을 지나는 직선이다.

 정의 
삼각형  및 같은 평면 위의 점 가 주어졌다고 하자. 를 지나는 변 , , 의 수선의 발을 , , 라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 , , 는 한 직선 위의 점이다.
 는 삼각형 의 외접원 위의 점이다.
만약 가 삼각형 의 외접원 위의 점이라면, , , 를 지나는 직선을 삼각형 에 대한 점 의 심슨 직선이라고 한다. 만약 가 삼각형 의 외접원 위의 점이 아니라면, 삼각형 를 삼각형 에 대한 점 의 수족 삼각형이라고 한다.

점 가 외접원 위의 점이라고 가정하자. 꼭짓점 를 지나는 외접원의 지름을 이라고 하자. 편의상 가 호  위의 점이라고 가정하자. 그렇다면 , 는 선분 ,  위의 점이며 는 선분 의 연장선 위의 점이다. 또한 , , 가 , , 의 수선이므로 사각형 , , 는 내접 사각형이며, 가 외접원 위의 점이므로 사각형  역시 내접 사각형이다. 따라서

이다. 즉, , , 는 한 직선 위의 점이다.

반대로 , , 가 한 직선 위의 점이라고 가정하자. 그렇다면 는 삼각형의 한 꼭짓점에서의 내각의 내부에 속하며, 대변에 대하여 그 꼭짓점의 반대쪽에 있다. 편의상 가 내각 의 내부에 속하며 대변 에 대하여 의 반대쪽에 있다고 하자. 그렇다면 사각형 , 는 내접 사각형이므로

이다. 사각형  역시 내접 사각형이므로

가 성립한다. 따라서 사각형  역시 내접 사각형이며, 는 삼각형 의 외접원 위의 점이다.

 성질 
삼각형 에 대한 외접원 위의 두 점 , 의 심슨 직선 사이의 각의 크기는 외접원의 호 의 중심각의 크기의 1/2과 같다.

점 를 지나는 변 , , 의 수선의 발을 , , 라고 하고, 직선 와 외접원의 다른 한 교점을 이라고 하자. 그렇다면 와 심슨 직선이 평행하는 것을 보이는 것으로 충분하다. 점 를 지나는 외접원의 지름을 이라고 하고, 편의상 가 호  위의 점이라고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 , 는 내접 사각형이므로

이다. 따라서 와 심슨 직선 는 평행한다.

삼각형 에 대한 외접원 위의 두 대척점 , 의 심슨 직선은 서로 수직이며, 구점원 위의 점에서 만난다.

삼각형 에 대한 외접원 위의 점 의 심슨 직선은 와 수심  사이의 선분 를 이등분하며, 이 이등분점은 심슨 직선과 삼각형 의 구점원의 한 교점이다.

 포락선 
섬네일|슈타이너 하이포사이클로이드
주어진 삼각형에 대한 심슨 직선들의 족의 포락선은 델토이드 곡선이며, 이를 슈타이너 하이포사이클로이드()라고 한다.

 같이 보기 
 수족 삼각형
 각주 

 외부 링크 




분류:삼각 기하학