매케이 화살집

군 표현론에서, 매케이 화살집()은 유한군의 표현에 대하여 대응되는 유한 화살집이다. SL(2;ℂ)의 유한 부분군의 경우 이는 ADE형의 딘킨 도표이다.

 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 유한군 
 체 . 또한, 라고 하자.
그렇다면, 마슈케 정리()에 의하여 모든 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 유일하게 분해된다.
이제, 의 계수 기약 표현들이

라고 하자. 그렇다면, 의 임의의 유한 차원 표현 에 대하여

라고 하자 ().

그렇다면, 에 대응되는 매케이 화살집 는 다음과 같은 화살집이다.
 . 즉, 의 꼭짓점은 의 기약 표현이다.
 에 대하여, 만약 라면  변이 존재하며, 그 변의 수는 이다.

 성질 
유한군 의 표현 의 쌍대 표현 의 매케이 화살집은 의 매케이 화살집의 반대 화살집(즉, 변의 방항을 모두 뒤집은 화살집)이다. 특히, 만약 가 스스로의 쌍대 표현과 동형이라면, 그 매케이 화살집은 스스로의 반대 화살집과 동형이다.

 예 
 자명한 표현의 메케이 화살집 
의 자명한 표현 에 대한 매케이 화살집은 모든 꼭짓점에 각각 고리()가 하나씩 달리며 다른 변은 존재하지 않는 화살집이다.

 SU(2)의 부분군 
특히, 만약 가 의 유한 부분군이라고 하고, 가 2차원 복소수 정의(定義) 표현이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
 이며, 이다. 즉, 이 경우 매케이 화살집은 단순히 그래프이며, 이 경우를 매케이 그래프라고 한다.
 이 그래프는 ADE형의 확장 딘킨 도표의 하나이다.

이들은 다음과 같다.
 ADE 표기  이름  SO(3) 부분군  SO(3) 부분군의 콕서터 군 기호  크기  다면체  기약 표현의 수  매케이 그래프 An  순환군  (없음)  n+1  정각뿔   
(원 그래프) Dn  쌍순환군   정이면체군  (2,2,n−2)  4(n−2)  정각형     E6  이진 정사면체군  정사면체군  (2,3,3)  24  정사면체  7  E7  이진 정팔면체군  정팔면체군  (2,3,4)  48  정육면체 · 정팔면체 8   E8  이진 정이십면체군  정이십면체군  (2,3,5)  120  정십이면체 · 정이십면체 9  
매케이 그래프에서, 각 꼭짓점에 붙어 있는 정수는 해당 표현의 크기이다.

 SU(3)의 부분군 
SU(3)의 정의 표현 3을 사용하여 SU(3)의 유한 부분군에 대하여도 마찬가지로 매케이 화살집을 정의할 수 있다. G2의 부분군의 경우에도 매케이 화살집들이 분류되었다.

 응용 
유한군으로 정의된 오비폴드에 D-막을 배치하면, 그 위에는 화살집 게이지 이론이 존재하며, 이 경우 사용되는 화살집은 유한군의 매케이 화살집이다. 이 경우 사용되는 표현은 (각 초다중항에 대하여) R대칭의 표현이다.

 역사 
존 매케이()가 도입하였다.

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:그래프
분류:표현론