동축원 다발

기하학에서 동축원 다발(同軸圓-, )은 같은 근축을 공유하는 원들의 족이다.

 정의 
평면  위에서 서로 다른 두 원 의 방정식이

이라고 하자. 여기서 와 은 실수 동차 좌표이다. (이 두 원은 각각 일반적인 실원이거나, 점원 또는 허원이거나, 유한 직선이거나, 무한원 직선이다.) 두 원 으로 생성된 동축원 다발은 방정식이

인 원

들의 족 이다. 여기서 은 실수 동차 좌표이다.

 분류 
평면  위에서 서로 다른 두 원 으로 생성되는 동축원 다발 는 적어도 하나의 실원 또는 유한 직선을 포함한다. 편의상 가 실원을 포함할 경우 가 실원이라고 가정하고, 그렇지 않을 경우 가 유한 직선이라고 가정하자. 임의의 실수 동차 좌표 에 대하여,

와 같이 표기하자. 이는 에 대한 실수 이차 형식이다. 이 직선이 아닐 경우 이는 의 반지름의 제곱에 비례한다. 특히, 만약 이 직선이 아니고 이 양수·0·음수일 경우, 은 각각 실원·점원·허원이다. 이 이차 형식 의 행렬식은 다음과 같다.

동축원 다발 는 이차 형식 의 성질에 따라 다음과 같이 분류된다.

 타원형 동축원 다발 
만약 이라면, 은 양의 정부호 이차 형식이며,  속 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 와 은 서로 다른 두 교점 에서 만난다. 보다 일반적으로 는 와 를 지나는 모든 원들의 족이며, 특히 의 근축은 직선 이다. 이 경우 를 타원형 동축원 다발(楕圓型同軸圓-, ) 또는 교차 동축원 다발(交叉同軸圓-, )이라고 하고, 두 공통 교점 를 의 기저점(基底點, )이라고 한다.

만약 두 교점 가운데 하나가 확장 복소평면의 무한대 일 경우, 는 교점이 인 공점선 다발이다.

 포물형 동축원 다발 
만약 이라면,

은 완전 제곱의 꼴이고, 는 유일한 점원 를 가지며, 이를 제외한 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 와 은 어떤 점 에서 서로 접한다. 보다 일반적으로  속 임의의 두 원은 에서 접하며, 특히 의 근축은 에서의 공통 접선이다. 이 경우 를 포물형 동축원 다발(抛物型同軸圓-, ) 또는 접동축원 다발(接同軸圓-, )이라고 한다.

만약 일 경우, 는 평행선 다발이다.

 쌍곡형 동축원 다발 
만약 이라면, 은 부정부호 이차 형식이며, 의 비직선 원소는 실원과 허원 그리고 2개의 점원 로 이루어진다. 또한 와 은 서로 만나지 않는다. 보다 일반적으로  속 임의의 서로 다른 두 원은 서로 만나지 않으며, 특히 근축과 교점을 갖지 않는다. 이 경우 를 쌍곡형 동축원 다발(雙曲型同軸圓-, ) 또는 비교차 동축원 다발(非交叉同軸圓-, )이라고 하고, 두 점원 를 의 극한점(極限點, )이라고 한다.

만약 일 경우, 는 중심이 인 동심원 다발이다.

 성질 
동축원 다발 는 2차원 부분 사영 공간이므로, 서로 다른 임의의 두 원소는 를 생성한다.

 중심선과 근축 
동축원 다발  속 원의 중심들은 공선점을 이룬다. 동축원 다발  속 임의의 두 원 의 근축은 같다. 이를 동축원 다발 의 근축(根軸, )이라고 한다. 동축원 다발 의 근축은 중심선의 수선이며, 또한 의 한 원소이다. 즉,  속의 두 원의 방정식으로부터 2차항을 소거하면 근축의 방정식을 얻는다. 동축원 다발  속 임의의 비직선 원소에 대한 의 근축 위의 주어진 점의 방멱은 같다.

동축원 다발 의 중심선을 축으로 삼고 근축을 축으로 삼았을 경우 의 비직선 원소들은 다음과 같은 방정식을 갖는 원들로 이루어진다.

여기서 는  속 임의의 비직선 원소에 대한 의 중심(=중심선과 근축의 교점)의 방멱이고, 는 매개변수이다. 만약 이라면, 는 기저점이 인 타원형 동축원 다발이며, 위 방정식은 모든 에 대하여 실원을 나타낸다. 만약 이라면, 는 포물형 동축원 다발이며, 위 방정식은 에 대하여 실원을 나타내고, 에 대하여 점원을 나타낸다. 만약 이라면, 는 극한점이 인 쌍곡형 동축원 다발이며, 위 방정식은 에 대하여 실원을 나타내고, 에 대하여 점원을, 에 대하여 허원을 나타낸다.

 직교 동축원 다발 
임의의 동축원 다발 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 동축원 다발 가 존재하며, 이를 의 직교 동축원 다발(直交同軸圓-, )이라고 한다.
 임의의  및 에 대하여, 와 은 서로 직교한다. (즉, (실수) 교점을 가지고, 교점에서의 두 접선은 서로 수직이다.)
자명하게 가 성립한다. 의 직교 동축원 다발 의 중심선과 근축은 각각 의 근축과 중심선이다. 만약 가 기저점이 인 타원형 동축원 다발이라면, 는 극한점이 인 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히, 만약 가 교점이 인 공점선 다발이라면, 는 중심이 인 동심원 다발이다. 만약 가 포물형 동축원 다발이라면, 는 역시 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 가 평행선 다발이라면,  역시 평행선 다발이다. 만약 가 극한점이 인 쌍곡형 동축원 다발이라면, 는 기저점이 인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 가 중심이 인 동심원 다발이라면, 는 교점이 인 공점선 다발이다.

 반전에 대한 상 
원에 대한 반전에 대한 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 상은 역시 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발이다. 타원형 동축원 다발의 중심이 한 기저점인 원에 대한 반전을 가하면 교점이 다른 한 기저점의 상인 공점선 다발을 얻는다. 포물형 동축원 다발에 중심이 다발의 중심인 원에 대한 반전을 가하면 다발의 근축에 평행하는 평행선 다발을 얻는다. 쌍곡형 동축원 다발에 중심이 한 극한점을 중심으로 하는 원에 대한 반전을 가하면 중심이 다른 한 극한점의 상인 동심원 다발을 얻는다. 동축원 다발 속 임의의 원은 직교 동축원 다발 속 임의의 원에 대한 반전에 대하여 불변이며, 특히 이러한 반전에 대한 동축원 다발의 상은 자기 자신이다.

 입체 사영에 대한 상 
동축원 다발은 입체 사영을 통해 공선면 다발과 일대일 대응한다. 구체적으로, 공간  속 단위구

와 평면  사이의, 북극 에 대한 입체 사영

를 생각하자. 평면  속 두 원 의 원상 은 다음과 같은 방정식을 갖는 평면이다.

이 두 평면 은 단위구 와 원을 교선으로 갖거나, 접하거나, 만나지 않을 수 있다. 즉, 만약 가 실원 또는 유한 직선이라면 는 의 실원이고, 점원 또는 무한원 직선이라면 는 점원이며, 허원이라면  역시  허원이다. 특히 만약 가 단위 허원이라면 는 무한원 평면이다. 마찬가지로 만약 이 실원 또는 유한 직선, 점원 또는 무한원 직선, 허원이라면 은 각각 의 실원·점원·허원이며, 특히 만약 단위 허원이라면 은 무한원 평면이다.

동축원 다발 은 교선이 인 공선면 다발 

과 일대일 대응한다. 만약 의 교선이 단위구 와 서로 다른 두 점 에서 만난다면, 는 기저점이 인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 한 교점이 북극 이라면, 는 교점이 인 공점선 다발이다. 만약 의 교선이 단위구 에 점 에서 접한다면, 는 중심이 이고 근축이 의 교선과 평면 의 교점과 를 잇는 직선인 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 접점이 북극 이라면, 는 의 교선에 평행하는 평행선 다발이다. 만약 의 교선이 단위구 와 만나지 않는다면, 는 의 단위구 에 접하는 두 원소의 두 접점 에 대한 원상 를 극한점으로 하는 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히 만약 두 접점 가운데 하나가 북극 이라면, 는 중심이 인 동심원 다발이다.

서로 직교하는 두 동축원 다발 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 원소들의 극은 모두 의 교선 위의 점이며, 의 원소들의 극은 모두 의 교선 위의 점이다. 특히, 만약 가 쌍곡형 동축원 다발일 경우, 의 교선은 의 원소와 의 두 접점을 잇는 직선이다. 또한 만약 가 포물형 동축원 다발일 경우 의 교선은 의 교선과 같은 접점에서 이와 수직인 접선이다.

 같이 보기 
 근축#동축원 다발

 각주 

 외부 링크 


분류:원 (기하학)
분류:해석기하학
분류:반전기하학