근축

기하학에서 근축(根軸, )은 평면에서 동심원이 아닌 두 원에 대한 방멱이 같은 점들의 자취이다. 근축은 두 원의 중심을 잇는 직선의 수선을 이룬다. 서로 다른 두 점에서 만나는 두 원의 근축은 두 교점을 지나는 공통 할선이고, 서로 접하는 두 원의 근축은 접점을 지나는 공통 접선이며, 서로 만나지 않는 두 원의 근축은 두 원의 외부에 있다. 근축의 두 원의 외부에 놓인 부분은 두 원에 대한 접선의 길이가 같은 점들의 자취이자, 두 원 모두에 직교하는 원의 중심들의 자취이다. 어떤 점이 근축의 두 원의 내부에 놓인 부분에 속하는 것은 이 점을 지나는 두 원의 현의 최소 길이가 같은 것과 동치이다. 서로 다른 두 동심원의 근축을 두 원이 놓인 평면 위의 무한원 직선으로 정의하기도 하며, 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.

중심이 공선점이 아닌 세 원에 의한 세 근축은 유일한 교점을 가지며, 이를 근심(根心, )이라고 한다. 중심이 서로 다른 공선점인 세 원에 의한 세 근축은 서로 평행하는데, 이 경우 세 근축이 지나는 유일한 무한원점을 근심으로 삼으면 편리하다. 임의의 두 원의 근축이 같은 원들의 집합을 동축원 다발이라고 한다. 동축원 다발 속 원의 중심들은 공선점을 이루며, 임의의 두 원의 교점은 같다. 즉, 동축원 다발 속에서 어떤 두 원이 두 점에서 만날 경우 모든 두 원은 같은 두 점에서 만나며, 어떤 두 원이 접할 경우 모든 두 원은 같은 점에서 접하며, 어떤 두 원이 만나지 않을 경우 모든 두 원은 만나지 않는다.

근축을 고차원으로 일반화하면 3차원 구의 근평면(根平面, )의 개념과 차원 초구의 근초평면(根超平面, )의 개념을 얻는다.

 정의 
평면 위에서, 중심이 서로 다른 두 점 인 두 원 의 방정식이

라고 하자. 그렇다면, 에 대한 점 의 방멱은 각각 두 방정식의 좌변에 이 점을 대입한 결과와 같다. 따라서, 에 대한 방멱이 같은 점의 자취 의 방정식은

이다. 이는 중심 을 잇는 직선의 수선이다. 이 직선 을 두 원 의 근축이라고 한다.

한 중심 이 다른 중심 에 무한히 가까워질 때, 근축 은 이 놓인 평면 위의 무한원 직선에 수렴한다. 따라서 서로 다른 두 동심원의 근축은 무한원 직선으로 정의된다. 즉, 근축은 사영 직선으로서 모든 서로 다른 두 원에 대하여 정의된다. 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.

위 정의는  가운데 적어도 하나가 점원이거나 허원인 경우에도 적용된다. 즉, 반지름의 제곱 이 0이거나 음수이더라도 근축은 정의된다.

 근심 
평면 위에서, 중심이 공선점이 아닌 세 점 인 세 원 을 생각하자. 그렇다면, 총 세 쌍의 원의 근축 은 각각 삼각형을 이루는 중심선 의 수선이므로, 서로 평행하지 않는다. 다시 말해 임의의 두 근축은 유일한 교점을 갖는다. 또한 근축 의 교점 는 에 대하여 같은 방멱을 가지므로, 근축  위의 점이다. 따라서 세 근축 은 공점선을 이룬다. 이들의 공통점 를 세 원 의 근심이라고 한다.

세 원의 중심 이 공선점이고, 세 쌍의 원의 근축  가운데 적어도 한 쌍이 서로 다르다고 하자. 그렇다면, 이들은 모두 직선 의 수선이므로 서로 평행한다. 즉, 세 근축은 이들 직선의 방향에 대한 무한원점에서 만난다. 이 경우 이 무한원점을 세 원 의 근심으로 삼을 수 있다. 특히, 세 원 가운데 둘이 동심원일 경우, 편의상 이 동심원이고 은 이들과 동심원이 아니라고 하자. 그렇다면, 은 무한원 직선이고 은 평행하므로, 세 근축은 의 방향에 대한 무한원점에서 만난다. 이 경우 마찬가지로 이 무한원점을 세 원 의 근심으로 삼을 수 있다. 즉, 근심은 사영 평면 위의 점으로서 동축원이 아닌 모든 세 원에 대하여 정의된다.

위와 같은 정의는  가운데 적어도 하나가 점원이나 허원인 경우에도 적용된다.

 성질 
동심원이 아닌 두 원의 근축은 두 원의 중심선의 수선이다. 두 원 이 서로 다른 두 점 에서 만날 경우, 의 근축은 공통 할선 이다. 또한, 두 원 이 점 에서 접할 경우, 의 근축은 를 지나는 공통 접선이다.

 원의 중심과의 거리 
중심이 이고 반지름이 인 동심원이 아닌 두 원 의 중심 과 근축  사이의 거리는

이다.

 직교원과의 관계 
동심원이 아닌 두 원 의 공통 직교원의 중심은 의 근축 위의 점이다. 원 의 직교원의 중심이 두 원 의 근축 위의 점이라면, 이는 의 직교원이다. 점 가 동심원이 아닌 두 원 의 근축 위의 점이고, 의 외부점이라면, 중심이 인 의 공통 직교원은 (유일하게) 존재한다. 점 가 동심원이 아닌 두 원 의 근축 위의 점이고, 의 내부점이라면, 중심이 이고 와의 공통 할선과 와의 공통 할선을 두 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재한다.

중심이 공선점이 아닌 세 원 의 근심이 의 외부점이라면,  의 공통 직교원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 의 근심이다. 중심이 공선점이 아닌 세 원 의 근심이 의 내부점이라면, 와의 공통 할선과 와의 공통 할선 그리고 와의 공통 할선을 세 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 의 근심이다.

 동축원 다발 

평면 위에서, 서로 다른 두 점 을 중심으로 갖는 두 원 의 방정식이

이고, 의 근축이 이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 이거나, 와 의 근축은 이다.
 이거나, 와 의 근축은 이다.
 는 와 으로 생성되는 동축원 다발의 원소이다. 즉, 는 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는다.여기서 은 실수이며, 과 을 만족시킨다.
'동축원 다발'이라는 이름은 이러한 사실 때문이다. 동축원 다발 속의 원의 중심들은 공선점이다. 동심원이 아닌 두 원 으로 생성된 동축원 다발을 라고 하면,  속의 임의의 서로 다른 두 원 에 대하여, 으로 생성되는 동축원 다발 역시 이다.

 분류 

동심원이 아닌 두 원으로 생성된 공축 원다발 가 주어졌다고 하자. 의 근축은 의 유일한 직선 원소이다. 적절한 데카르트 좌표계를 취하여 의 중심선을 축으로 삼고 근축을 축으로 삼았을 때, 의 원소는 (근축인 축을 제외하면) 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 구성된다.

여기서 는 고정된 상수이며, 는 매개변수이다. 만약 이라면 를 타원형 동축원 다발이라고 하고, 만약 이라면 를 포물형 동축원 다발이라고 하며, 만약 이라면 를 쌍곡형 동축원 다발이라고 한다.

 직교 동축원 다발 

동심원이 아닌 두 원 의 공통 직교원은 으로 생성된 동축원 다발 속 모든 원의 공통 직교원이다. 동심원이 아닌 두 원으로 생성된 동축원 다발 의 모든 원의 공통 직교원은 중심선이 의 근축이고 근축이 의 중심선인 동축원 다발을 이룬다. 이를 동축원 다발 의 직교 동축원 다발 이라고 한다. 동축원 다발의 직교는 대칭 관계이다. 즉, 가 성립한다. 위와 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진다.

여기서 는 매개변수이다. 특히, 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 각각 쌍곡형·포물형·타원형 동축원 다발이다.

 작도 
적어도 하나의 교점을 갖는 동심원이 아닌 두 원의 근축의 작도는 자명하다.

중심이 서로 다른 두 점 인 교점 없는 두 원 이 주어졌다고 하자. 중심이 직선  위의 점이 아니고, 원 와 두 점 에서 만나고, 원 과 두 점 에서 만나는 원 을 작도하자. 그렇다면, 직선 와 은 평행하지 않는다. 직선 와 의 교점을 라고 하자. 그렇다면, 는 의 근축 위의 점이다. 점 를 지나는 직선 의 수선 을 작도하자. 그렇다면, 직선 은 두 원 의 근축이다.

 고차원의 경우 
 근초평면 
차원 유클리드 공간  위에서, 서로 다른 두 점 을 중심으로 하고, 을 반지름으로 갖는 두 초구 를 생각하자. 그렇다면, 집합

은 중심 를 잇는 직선에 직교하는 초평면을 이룬다. (여기서 등식의 좌변과 우변은 각각 의 에 대한 방멱에 대응하며, 는 의 표준적인 노름을 나타낸다.) 이를 두 초구 의 근초평면이라고 한다. 특히 일 경우 각각 두 원의 근축 또는 두 구의 근평면이라고 부른다.

차원 유클리드 공간  위에서, 같은 초평면 위에 있지 않은 점 을 중심으로 하는 개의 초구 을 생각하자. 그렇다면, 각 쌍의 초구의 근초평면은 유일한 교점을 가진다. 이를 개의 차원 초구 의 근심이라고 한다.

 참고 문헌 

 외부 링크 



분류:원 (기하학)
분류:해석기하학