뒤틀린 드람 코호몰로지

미분기하학과 대수적 위상수학과 이론물리학에서 뒤틀린 드람 코호몰로지(뒤틀린de Rham cohomology, )는 홀수 차수 드람 코호몰로지류를 갖춘 매끄러운 다양체 위에 정의되는 코호몰로지이다. 정수 등급을 갖는 (뒤틀리지 않은) 드람 코호몰로지와 달리, 뒤틀린 드람 코호몰로지의 등급은 오직 0 또는 1 밖에 없다.

 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 그 위에 미분 형식의 공간 을 정의할 수 있다.
 짝수 차수 미분 형식의 공간 과 홀수 차수 미분 형식의 공간 을 정의할 수 있다.
 매끄러운 벡터 다발 
 이에 따라 벡터 값 미분 형식의 공간 을 정의할 수 있다.
 평탄 벡터 다발 접속 
 이에 따라 벡터 값 미분 형식의 외미분 을 정의할 수 있으며, 이다.
 홀수 차수 닫힌 미분 형식 
그렇다면,

을 정의할 수 있다. 이 경우

이므로, 완전열

을 정의할 수 있다. 그 코호몰로지

를 뒤틀린 드람 코호몰로지라고 한다.

 성질 
뒤틀린 드람 코호몰로지는 사실 드람 코호몰로지류에만 의존한다. 즉, 임의의

에 대하여, 항상 표준적으로

이다.
증명:
이다.

홀수 차수 미분 형식

으로 정의된 뒤틀린 드람 코호몰로지에서, 은 매끄러운 벡터 다발 의 접속으로 흡수할 수 있다. 즉, 의 벡터 다발 접속 를

로 재정의하면,

이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 로 놓을 수 있다.

 동차성 
홀수 차수 미분 형식

으로 정의된 뒤틀린 드람 코호몰로지가 주어졌다고 하자. 다음을 정의하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

구체적으로,

를 정의하면,

이다.

이 변환에서, 1차 성분 은 에 의하여 변하지 않는다. 만약 1차 성분을 재정의할 경우 코호몰로지 차원이 바뀔 수 있다.

 형식적 다양체 
가 3차 미분 형식이며, 가 자명한 접속을 갖는 자명한 벡터 다발인 경우를 생각하자. 이 경우, 만약 이 형식적 공간이라면, 뒤틀린 드람 코호몰로지는 (뒤틀리지 않은) 드람 코호몰로지와 동형이다.

 응용 
끈 이론에서, 뒤틀린 드람 코호몰로지는 라몽-라몽 장의 장세기를 나타낸다. 특히, 위상 T-이중성은 서로 T-이중성으로 관련된 두 공간 사이의 뒤틀린 드람 코호몰로지의 동형을 정의한다. 이 경우, 0 또는 1인 등급이 서로 뒤바뀌게 되는데, 이 두 등급은 각각 ⅡA 및 ⅡB형 초끈 이론에 해당한다.

 각주 

 외부 링크 


분류:호몰로지 대수학
분류:미분기하학
분류:대수적 위상수학
분류:끈 이론