버거스 방정식

섬네일|300px|의 초기 조건에서 시작하는 버거스 방정식의 N파 유형 해.
버거스 방정식(Burgers' equation) 또는 베이트먼-버거스 방정식은 다양한 응용수학 분야, 예를 들어 유체역학,압력항이 제거된 나비에-스토크스 운동량 방정식과 관련됨 : 여기에서 변수는 유속 y=u임 비선형 음향학,순전히 전방으로 전파되는 파동을 가정하고 지연된 시간 프레임으로 좌표 변환을 사용하여 웨스터벨트 방정식에서 파생됨: 여기서 변수는 압력임 기체 역학 및 교통 흐름에서 나타나는 근본적인 편미분 방정식 및 대류-확산 방정식이다. 이 방정식은 1915년 해리 베이트먼에 의해 처음 소개되었고Whitham, G. B. (2011). Linear and nonlinear waves (Vol. 42). John Wiley & Sons. 나중에 1948년 얀 버거스에 의해 연구되었다. 주어진 필드 와 확산 계수 (또는 원래 유체 역학적 문맥에서처럼 동점성 계수) 에 대해 1차원 공간에서 버거스 방정식의 일반 형태 (점성 버거스 방정식으로도 알려져 있음)는 다음과 같은 소산 시스템이다.

항 는 로도 다시 쓸 수 있다. 확산 항이 없을 때 (즉, ), 버거스 방정식은 비점성 버거스 방정식이 된다.

이것은 보존 방정식의 원형으로서 불연속성 ( 충격파 )을 발생시킬 수 있다.

의 작은 값에서 날카로운 경사가 형성되는 이유는 방정식의 좌변을 검토할 때 직관적으로 명확해진다. 항 는 명백히 속도 로 양의  방향으로 전파되는 파동을 설명하는 파동 연산자이다. 파동 속도는 이므로, 의 큰 값을 나타내는 영역은 의 작은 값을 나타내는 영역보다 더 빨리 오른쪽으로 전파될 것이다. 다시 말해, 가 처음에  방향으로 감소하면 뒤쪽에 있는 더 큰 는 앞쪽에 있는 더 작은 를 따라잡을 것이다. 우변의 확산 항의 역할은 본질적으로 경사가 무한대가 되는 것을 막는 것이다.

 비점성 버거스 방정식 

비점성 버거스 방정식은 보존 방정식이며, 더 일반적으로 1차 준선형 쌍곡 방정식이다. 이 방정식의 해와 초기 조건

은 특성곡선법에 의해 구성될 수 있다. 를 - 평면에서 주어진 특성을 특징짓는 매개변수라고 하자. 그러면 특성 방정식은 다음과 같다.

두 번째 방정식을 적분하면 특성을 따라 가 일정하다는 것을 알 수 있으며, 첫 번째 방정식을 적분하면 특성이 직선이라는 것을 알 수 있다.

여기서 는 특성 곡선이 그려지는 x축 ( = 0)의 x-t 평면상의 점 (또는 매개변수)이다. 는 x축에서 초기 조건으로부터 알려져 있으며, 각 점 에서 출발하는 특성을 따라 이동할 때 가 변하지 않는다는 사실 때문에 각 특성에서 로 쓴다. 따라서 에 의해 매개변수화된 특성 궤적의 패밀리는 다음과 같다.

따라서 해는 다음과 같다.

이것은 특성이 교차하지 않는 한 비점성 버거스 방정식의 해를 결정하는 암묵적인 관계이다. 특성이 교차하면 PDE에 대한 고전적인 해는 존재하지 않으며 충격파가 형성된다. 특성이 교차할 수 있는지 여부는 초기 조건에 따라 달라진다. 실제로 충격파가 형성되기 전의 파괴 시간은 다음과 같다.

 비점성 버거스 방정식의 완전 적분 

위에서 설명된 임의 함수 를 포함하는 암묵적인 해는 일반 적분이라고 한다. 그러나 비점성 버거스 방정식은 1차 편미분 방정식이므로 두 개의 임의 상수 (두 개의 독립 변수에 대해)를 포함하는 완전 적분도 갖는다. 수브라마니안 찬드라세카르는 1943년에 완전 적분을 제공했으며, 이는 다음과 같다.

여기서 와 는 임의 상수이다. 완전 적분은 선형 초기 조건, 즉 를 만족한다. 위의 완전 적분을 사용하여 일반 적분도 구성할 수 있다.

 점성 버거스 방정식 

점성 버거스 방정식은 콜-홉프 변환에 의해 선형 방정식으로 변환될 수 있다.

이는 방정식을 다음으로 바꾼다.

이는 에 대해 적분하여 다음을 얻을 수 있다.

여기서 는 시간의 임의 함수이다. 변환  (이는 함수 에 영향을 미치지 않음)를 도입하면 요구되는 방정식은 열 방정식Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (2013). Fluid mechanics: Landau And Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6 (Vol. 6). Elsevier. Page 352-354.으로 축소된다.

확산 방정식은 풀 수 있다. 즉, 이면 다음과 같다.

초기 함수 는 초기 함수 와 다음과 같이 관련된다.

여기서 하한은 임의로 선택된다. 콜-홉프 변환을 역변환하면 다음과 같다.

이는 로그의 인자에서 시간에 따라 변하는 앞에 붙는 인자를 제거함으로써 간단해진다.

이 해는 에서 0으로 감소하는 의 열 방정식 해로부터 파생되었다. 에 대한 다른 해는 다른 경계 조건을 만족하는 의 해로부터 얻을 수 있다.

 점성 버거스 방정식의 몇 가지 명시적 해 
점성 버거스 방정식의 명시적 표현이 가능하다. 물리적으로 관련된 몇 가지 해는 다음과 같다.Salih, A. "Burgers’ Equation." Indian Institute of Space Science and Technology, Thiruvananthapuram (2016).

 꾸준히 전파되는 이동 파동 
만약 가 와 를 만족하고 이라면, (일정한 속도 를 가진) 이동 파동 해는 다음과 같다.

1915년 해리 베이트먼에 의해 원래 도출된 이 해는 약한 충격파를 가로지르는 압력 변화를 설명하는 데 사용된다. 이고 일 때, 이는 다음과 같이 간단해진다.

이다.

 초기 조건으로 델타 함수 
만약 이고,  (레이놀즈 수라고 하자)가 상수이면 다음과 같다.Whitham, Gerald Beresford. Linear and nonlinear waves. John Wiley & Sons, 2011.

 극한에서, 극한 거동은 소스의 확산 확산이며 따라서 다음과 같다.

반면에,  극한에서, 해는 앞서 언급된 수브라마니안 찬드라세카르의 비점성 버거스 방정식 충격파 해에 접근하며 다음과 같다.

충격파 위치와 그 속도는 각각  및 에 의해 주어진다.

 N파 해 
N파 해는 압축파 뒤에 희석파가 오는 것으로 구성된다. 이러한 유형의 해는 다음과 같다.

여기서 는 시간 에서의 초기 레이놀즈 수로 간주될 수 있으며,  (여기서 )는 시간에 따라 변하는 레이놀즈 수로 간주될 수 있다.

 다른 형태 

 다차원 버거스 방정식 
2차원 이상에서 버거스 방정식은 다음과 같다.

벡터 필드 에 대해 방정식을 확장할 수도 있다.

 일반화된 버거스 방정식 

일반화된 버거스 방정식은 준선형 대류 항을 더 일반화된 형태로 확장한다.

여기서 는 u에 대한 임의의 함수이다. 비점성  방정식은 일 때 여전히 준선형 쌍곡 방정식이며 그 해는 이전처럼 특성곡선법을 사용하여 구성할 수 있다.Courant, R., & Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics. Vol. II.

 확률 버거스 방정식 

공간-시간 노이즈  (여기서 는  위너 확률 과정)가 추가되면 확률 버거스 방정식이 형성된다.

이 확률 편미분 방정식은 를 대입했을 때 필드 에서 카르다르-파리시-장 방정식의 1차원 버전이다.

 같이 보기 
 차플리긴 방정식
 보존 방정식
 오일러-트리코미 방정식
 포커르-플랑크 방정식
 KdV-버거스 방정식

 각주 

 외부 링크 
 Burgers' Equation (EqWorld: The World of Mathematical Equations).
 Burgers' Equation (NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia).

분류:유체동역학
분류:유체역학 방정식