마든 정리

수학에서 마든 정리()는 복소수 3차 다항식의 두 임계점이 세 영점이 이루는 삼각형에 세 변의 중점에서 내접하는 타원의 초점이라는 정리이다.

 정의 
주어진 삼각형의 세 변의 중점을 지나는 내접 타원은 항상 유일하게 존재한다. 이를 삼각형의 슈타이너 내접 타원이라고 한다.

복소수 3차 다항식 의 영점을 , 임계점을 라고 하자. 또한, 가 공선점이 아니라고 하자. 그렇다면, 는 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 두 초점이다. 이를 마든 정리라고 한다.

 증명 
편의상 가 일계수 다항식이며, 이라고 하자. 그렇다면, 이며, 와 도함수 는 다음과 같다.

한 변의 중점 와 두 초점  사이의 거리의 합

을 생각하자. 이를 평행사변형 법칙을 사용하여 구하면 다음과 같다.
{|
|
|
|-
|
|
|(평행사변형 법칙 및 )
|-
|
|
|-
|
|
|(평행사변형 법칙)
|-
|
|
|()
|}
즉, 변의 중점과  사이의 거리의 합은 변의 선택과 무관하다. 따라서, 는 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 초점이다.

 역사 
이외르크 지베크()가 증명하였다. 모리스 마든()의 이름을 따 명명되었다.

 같이 보기 
 가우스-뤼카 정리

 각주 

분류:삼각형에 대한 정리
분류:다항식에 대한 정리
분류:원뿔 곡선
분류:복소기하학 정리