뉴턴 다각형

대수적 수론에서 뉴턴 다각형(Newton多角形, )은 국소체 계수의 다항식의 성질을 나타내는 다각형이며, 각 계수의 값매김으로 정의되는 점들의 볼록 껍질이다.

 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 완비 이산 값매김환 . 의 분수체를 로 표기하자.
 다항식 
 위의 이산 값매김을

로 표기하자. 편의상

로 놓자.

그렇다면, 확장된 실수 평면 속의 다음과 같은 점들을 생각하자.

이 점들을 포함하는 볼록 껍질을 의 뉴턴 다각형이라고 한다.

 성질 
다항식  및 대수적 폐포 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이산 값매김을 에 다음과 같이 확장할 수 있다.

의 뉴턴 다각형의 변의 수가 이며, 각 변의 기울기가

이며, 각 변의 x축에 사영하였을 때의 길이가

라고 하자. 그렇다면, 의 에서의 근

가운데, 값매김이 인 것의 수는 개이다.

 예 
5진 정수의 이산 값매김환  계수의 6차 다항식

을 생각하자. 그렇다면, 뉴턴 다항식을 정의하는 점들은 다음과 같다.

따라서, 그 볼록 껍질인 뉴턴 다각형은 다음과 같이 주어진다.
파일:Newton-polygon.gif
이 뉴턴 다각형은 세 개의 변으로 구성되며, 이들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 시작점 || 끝점 || x축 사영 길이 || 기울기
|-
| (0,0) || (2,−1) || 2 || −½
|-
| (2,−1) || (5,2) || 3 || 1
|-
| (5,2) || (6,4) || 1 || 2
|}

따라서, 이 다항식의 6개의 근 가운데, 5진 값매김이 ½인 것은 2개이며, −1인 것은 3개이며, −2인 것은 1개이다.

 역사 
아이작 뉴턴이 하인리히 올덴부르크(, )에게 1676년에 보낸 편지에서 최초로 사용하였다.

 같이 보기 
 아이젠슈타인 판정법
 외부 링크 


분류:대수적 수론
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