아이디얼 몫

가환대수학에서 아이디얼 몫()은 같은 가환환 속의 두 아이디얼에 대하여 정의되는 이항 연산이다. 이는 아이디얼에 대한, 나눗셈의 일반화이다. 대수기하학에서, 이는 두 부분 대수다양체의 ‘차집합’에 해당한다. (대수기하학에서 아이디얼의 곱셈은 대략 부분 대수다양체의 ‘합집합’에 해당하며, 이는 그 역연산에 ‘가장 가까운’ 연산이다.)

 정의 
가환환 의 아이디얼 가 주어졌다고 하자. 그 몫 아이디얼은 다음과 같은 부분 집합이다.

이는 의 아이디얼을 이룬다.
증명:
다음 조건들을 모두 증명하면 족하다.
 가 덧셈에 대하여 가환 모노이드를 이룸:
 만약 라면, 
 가 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룸:
 만약 라면, 
 가 의 가군을 이룸:
 만약 이며 라면, 

 성질 
다음이 성립한다.

 (아이디얼의 소멸자)

보다 일반적으로, 만약 라면, 다음이 성립한다.

기하학적으로, 이는 만약 일 때 임에 해당한다.

아이디얼 몫은 다음과 같은 ‘분배 법칙’을 따른다.

대수기하학적으로, 아이디얼의 합은 대략 부분 대수다양체의 교집합에 해당하며, 아이디얼의 교집합은 대략 부분 대수다양체의 합집합에 해당한다. 따라서 이는 집합론적 항등식

에 해당한다.

 예 
 대수다양체 
대수적으로 닫힌 체  위의 다항식환 의 두 아이디얼 이 주어졌다고 하자. 또한, 라고 하자 (즉, 는 스스로의 소근기와 일치한다). 그렇다면, 다음이 성립한다.

여기서
 은 자리스키 위상에서 부분 집합의 폐포이다.
 는 의 소 아이디얼  가운데 인 것이다. 즉, 이는 에 대응하는 부분 대수다양체의 점들이다.

예를 들어,  (복소수 3차원 아핀 공간) 속의 아이디얼  (평면· 평면 · 평면의 합집합)와 (평면과 평면의 합집합)를 생각하자. 이 경우

이다.

 정수 
정수환 은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 이 경우 아이디얼 몫은 다음과 같다.

여기서 는 최대공약수이다. 또한,

로 간주한다. 즉, 풀어 쓴다면

이다.

특히, 만약 이 의 배수일 경우

이 된다. 반면, 만약 과 이 서로소인 경우

이다.

 외부 링크 



분류:가환대수학
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