파르스발 항등식

함수해석학에서, 파르스발 항등식(Parseval恒等式)은 푸리에 급수의 수렴성에 관한 중요한 결과이다. 수학자 마르크앙투안 파르스발의 이름을 땄다. 기하학적 관점에서 파르스발 항등식은 내적 공간에서의 피타고라스 정리로 볼 수 있다.

가 힐베르트 공간이라 하고, 가 의 정규 직교 기저라 하자. 그러면 임의의 에 대해 다음이 성립한다.

피타고라스 정리에 따르면 벡터의 길이의 제곱은 정규 직교 기저로 나타낸 성분들의 제곱의 합과 같은데, 파르스발 항등식은 이를 일반화한 것이라 할 수 있다.

보다 일반적으로, 파르스발 항등식은 가 내적 공간이고 의 선형생성이 에서 조밀한 경우에도 성립한다. 가 조밀하지 않은 경우 등호가 성립하지 않을 수도 있으며, 대신에 등호를 부등호 ≤로 바꾼 베셀 부등식이 성립한다.

 푸리에 급수 
구체적인 예로, 힐베르트 공간 와 정규 직교 기저 를 생각해 보자. 함수 의 푸리에 계수를

라 하면, 파르스발 항등식에 의해 다음이 성립한다.

 외부 링크 

  Parseval's Theorem 파르스발 항등식에 대한 매스월드 문서.

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