무중심군

군론에서, 무중심군(無中心群, )은 그 중심이 자명군인 군이다. 완비군(完備群, )은 내부 자기 동형만을 갖는 무중심군이다.

 정의 
군 의 중심 이 자명군이라면, 를 무중심군이라고 한다. 군 가 무중심군이며, 모든 자기 동형이 내부 자기 동형이라면, 를 완비군이라고 한다.

 성질 
군 에 대하여, 그 자기 동형군으로의 자연스러운 군 준동형

을 생각하자. 이 군 준동형의 핵은 중심 이며, 상은 내부 자기 동형군 이다. 따라서, 무중심군은 위 군 준동형이 단사 함수가 되어, 가 그 자기 동형군의 부분군과 자연스럽게 동형인 조건과 같다. 완비군은 위 군 준동형이 전단사 함수가 되어, 가 그 자기 동형군과 자연스럽게 동형인 조건과 같다. (내부 자기 동형에 의하지 않은 동형이 존재할 수 있으므로, 전자는 자기 동형군의 부분군과 동형인 것보다 강한 조건이며, 후자는 자기 동형군과 동형인 조건보다 더 강하다.)

 자기 동형탑 

임의의 무중심군 의 자기 동형군 는 무중심군이다. 따라서, 의 자기 동형탑

은 일련의 (정규) 부분군들의 열이다. 임의의 무중심 유한군의 자기 동형탑은 어떤 유한한 시점부터 커지는 것을 멈춘다. 이는 헬무트 빌란트()가 1939년에 증명하였다. 무한 기수 가 주어졌을 때, 임의의 크기 의 무중심군의 자기 동형탑은  미만의 어떤 시점부터 커지는 것을 멈춘다.

 위상수학적 성질 
임의의 무중심군 의 자기 동형군 는 유일한 폴란드 군 구조를 갖는다.

 예 
차 대칭군 이 완비군일 필요충분조건은 이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 


분류:군론