자기 동형탑

군론에서, 어떤 군의 자기 동형탑(自己同型塔, )은 자기 동형군을 반복적으로 취하여 만들어지는 군의 열이다.

 정의 
군 의 자기 동형탑 은 다음과 같은 데이터들의 튜플이다.
 순서수 에 대하여, 군 
 인 순서수 에 대하여, 군 준동형 . 또한, 인 경우, 는 항등 함수이다.
이는 초한 재귀를 통해 다음과 같이 정의된다.

 따름 순서수 에 대하여,
 는 의 자기 동형군이다.
 는 임의의 를 그에 대응하는 내부 자기 동형 으로 보내는 자연스러운 군 준동형이다.
 극한 순서수 에 대하여, 는 유향 체계 의 귀납적 극한이다.

군 의 자기 동형탑 높이() 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수이다.
 는 군의 동형이다. 즉, 는 완비군이다.
이 경우, 임의의 순서수 에 대하여 는 군의 동형이다. 즉, 는 자기 동형탑을 만드는 과정이 멈추는 시점이다.

 성질 
 무중심군 

임의의 군 에 대하여, 그 내부 자기 동형군은 자기 동형군의 정규 부분군을 이룬다. 만약 의 중심이 자명군이라면, 그 내부 자기 동형군의 자기 동형군에서의 중심화 부분군은 자명군이다.

특히, 만약 의 중심이 자명군이라면, 의 중심 역시 자명군이다. 자명한 중심을 갖는 조건은 자연스러운 군 준동형 이 단사 함수인 조건과 동치이다. 따라서, 자명한 중심을 갖는 군 의 자기 동형탑

은 점점 커지는 일련의 (정규) 부분군들의 열이다.

자기 동형탑이 유한·가산 시간 내에 멈출 일부 충분조건은 다음과 같다.
 만약 가 자명한 중심을 갖는 유한군이라면, 이다.
 만약 가 자명한 중심을 갖는 체르니코프 군(Černikov群, )이라면, 이다.
 만약 가 자명한 중심을 갖는 다순환군(多循環群, )이라면, 이다.
 만약 가 자명한 중심을 갖는 유한 생성 군이라면, 이다.

임의의 무한 기수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기 의 군 의 자기 동형탑 높이는  미만이며 (여기서, 는 의 따름 기수이다), 이는 선택 공리를 필요로 하지 않는다. 또한, 임의의 순서수 에 대하여, 자기 동형탑 높이가 인, 크기 의 자명한 중심을 갖는 군 가 존재한다. 즉, 에 대하여, 가 다음 조건을 만족시키는 최소의 순서수라고 하자.
 임의의 크기 의 자명한 중심을 갖는 군 에 대하여, 
그렇다면, 위 결론들에 따라 이다. 하지만 크기 의 자명한 중심을 갖는 군은 개이므로, 다음과 같은 더 강한 결론이 성립한다.

즉, 는 크기 의 무중심군의 자기 동형군 높이 에 대한 ‘최적의 근사’가 아니다. 반면, 만약 가 비가산 기수라면, 는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 명제 를 증명 가능한 최소의 순서수이며, 이는 강제법을 사용하여 보일 수 있다. (이러한 일이 가능한 것은 의 값이 모형마다 다를 수 있기 때문이다.)

 일반적인 군 
임의의 군 에 대하여, 의 중심이 자명군인 순서수 가 존재한다. 특히, 모든 군의 자기 동형탑은 결국 멈춘다.

 참고 문헌 

분류:군론