세타 표현

수학에서, 세타 표현(θ表現, )은 하이젠베르크 군의, 정칙 함수의 공간 위의 특별한 표현이다. 이 표현에서, 정수 계수 하이젠베르크 군의 작용의 고정점은 야코비 세타 함수이다.

 정의 
임의의 양의 실수 에 대하여, 복소평면 위에, 다음과 같은 측도를 정의하자.

이 측도에 대하여, 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

이 내적에 대한 노름이 유한한 정칙 함수들의 복소수 힐베르트 공간을 라고 하자.

이제, 임의의 에 대하여,  위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.

이들은 다음과 같은 교환 관계를 갖는다.

물론, 는  및 와 교환한다. 특히, 만약 일 때 가 된다.

이에 따라, 집합

는 군을 이룬다.

이 군은 와 미분 동형이며, 그 범피복군은 하이젠베르크 군 이다. 즉, 이는  위의, 하이젠베르크 군의 표현을 정의한다. 이를 세타 표현이라고 한다.

 성질 
임의의 의 값에 대하여, 세타 표현은 하이젠베르크 군의 기약 표현이며, 항상 바일 표현과 유니터리 동치이다.

는 다음과 같은 부분군을 갖는다.

이는 물론 과 으로 생성되는 2차 자유 아벨 군이다.

이는 다음과 같은 가환 그림을 갖는다.

의 작용의 고정점은 1차원 복소수 벡터 공간이며, 그 기저는 야코비 세타 함수

이다.

 역사 
데이비드 멈퍼드가 1983년에 도입하였다.

 같이 보기 
 하디 공간
 각주 

분류:리 군
분류:표현론
분류:타원함수