기둥 집합

함수해석학과 측도론에서, 기둥 집합은 유한 개의 연속 범함수만으로 정의될 수 있는, 위상 벡터 공간의 부분 집합이다.

 정의 
위상 벡터 공간 의 기둥 집합 은 다음과 같은 꼴로 표현되는 부분 집합 이다.

여기서
 은 어떤 전사 연속 선형 변환이다.
 는 보렐 집합이다.
즉, 어떤 에 대하여

가 된다. (여기서 는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

의 기둥 집합들의 족을 라고 표기하자.

 성질 
기둥 집합은 이는 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 특히, 공집합(0개의 집합들의 합집합)과  전체(0개의 집합들의 교집합)는 의 기둥 집합이다.

정의에 따라, 모든 기둥 집합은 보렐 집합이다.

기둥 집합은 일반적으로 가산 무한 합집합 또는 교집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, 따라서 시그마 대수를 이루지 못한다. 그러나 로 생성되는 시그마 대수 를 생각할 수 있다. 만약 가 분해 가능 바나흐 공간이라면, 기둥 집합의 족으로 생성되는 시그마 대수는 의 보렐 시그마 대수와 일치한다. 그러나 이는 분해 불가능 바나흐 공간에 대하여 성립하지 않는다.

 예 
임의의 집합 에 대하여, 이를 정규 직교 기저로 갖는 힐베르트 공간

을 생각하자. 이 공간이 분해 가능 공간일 필요 충분 조건은 가 가산 집합인 것이다.

이제, 어떤 기수 에 대하여, 다음과 같은 집합족을 생각하자.

여기서
 는 자연스러운 사영 사상이다.
 은 보렐 시그마 대수이다.
그렇다면,
 정의에 따라 이다.
 이다.
 자명하게 이다. 여기서 는  바로 다음의 기수이다.
특히, 유한 차원 힐베르트 공간(=유클리드 공간, )의 경우

이며, 분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간()의 경우

이지만, 분해 불가능 힐베르트 공간의 경우

이다.

 참고 문헌 

분류:측도론
분류:함수해석학