횡단성

미분기하학에서, 횡단성(橫斷性, )은 두 부분 다양체 또는 (보다 일반적으로) 같은 공역을 갖는 두 함수 사이에 정의되는 대칭 관계이다. 횡단성은 작은 호모토피에 대하여 불변이며(안정성), 거의 모든 함수에 대하여 성립한다(일반성). 서로 횡단적인 두 부분 다양체의 교집합은 부분 다양체를 이룬다.

 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 , , 
 매끄러운 함수 , 
만약 다음 조건이 성립한다면, 와 가 서로 횡단적이라고 하며, 로 표기한다.
 임의의  및 에 대하여, 만약 라면, 이다.

부분 다양체 는 포함 사상 으로 여길 수 있다. 두 부분 다양체(또는 부분 다양체와 매끄러운 함수)가 서로 횡단적이라는 것은 이 포함 사상에 대한 것이다.

 성질 
매끄러운 다양체 의 부분 다양체  및 매끄러운 함수 가 주어졌다고 하자. 만약 라면,

는 의 부분 다양체이며, 그 여차원은 의 여차원과 같다.

특히, 만약  역시 매장이라고 하자. 즉, 두 부분 다양체 가 주어졌다고 하고, 라고 하자. 그렇다면,  역시 부분 다양체이며,

이다. 즉,

이다.

 안정성 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 함수 
 매끄러운 호모토피 , 
그렇다면, 만약 이라면,

이다. 즉, 어떤 에 대하여, 모든 에 대하여 이게 된다.

 일반성 
다음이 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 경계다양체 
 매끄러운 함수 
 매끄러운 함수 , 
또한,


라고 하자. 톰 횡단 정리()에 따르면, 다음이 성립한다.
 거의 모든 에 대하여, 이다.
 거의 모든 에 대하여, 이다.
여기서 “거의 모든”은  또는 의 르베그 측도에 대한 것이다. 즉, 이 조건이 실패하는 의 집합은 영집합이다.

 역사 
톰 횡단 정리는 르네 톰이 증명하였다.

 외부 링크 





분류:미분기하학
분류:변분법