꼬리 시그마 대수

확률론에서 꼬리 사건(꼬리事件, )은 어떤 확률 변수들의 열이 주어졌을 때, 처음 유한 개의 변수들의 값들을 잊더라도 나머지 ‘꼬리’만으로 그 여부를 결정할 수 있는 사건이며, 꼬리 시그마 대수(꼬리σ代數, )는 이러한 사건들로 구성된 시그마 대수이다. 콜모고로프 0-1 법칙(Колмогоров0-1法則, )에 따르면, 모든 꼬리 사건들은 거의 확실하게 발생하거나 거의 확실하게 발생하지 못한다 (즉, 그 확률이 0 또는 1이다).

 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 확률 공간 
  속의 부분 시그마 대수들의 가산 집합 . (이는 유한 집합 또는 가산 무한 집합일 수 있다.)
또한, 가 서로 독립이라고 하자. 즉, 임의의 유한 부분 집합 에 대하여,

이다.

이제, 가측 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 꼬리 사건()이라고 한다.
 임의의 유한 집합 에 대하여, 
꼬리 사건들로 생성되는 시그마 대수를

라고 하며, 의 꼬리 시그마 대수라고 한다.
즉, 풀어 쓴다면, 꼬리 사건은 어떤 확률 변수들(로 정의되는 시그마 대수)의 열이 주어졌을 때, 유한 개의 첫 원소를 제외한 나머지 ‘꼬리’만으로도 그 여부를 결정할 수 있는 사건이다.

 성질 
콜모고로프 0-1 법칙에 따르면, 꼬리 사건의 확률은 0 또는 1이다.
증명:
임의의 유한 부분 집합 에 대하여, 꼬리 시그마 대수 는

이므로, 는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 독립성은 유한 부분 집합에 대하여 정의되므로,

는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 특히, 는

와 독립이다. 그런데

이다. 따라서, 는 스스로와 독립이다. 그 모든 원소 에 대하여

이며, 의 두 해는 0 및 1이다. 따라서, 이다.
이 정리는 만약 가 유한 집합일 경우 자명하게 참이다. (이 경우 는 의 부분 시그마 대수이게 된다.)

 같이 보기 
 보렐-칸텔리 보조정리
 휴잇-새비지 0-1 법칙
 긴 꼬리

 외부 링크 


분류:확률론