리 쌍대대수

리 대수 이론에서, 리 쌍대대수(Lie雙對代數, )는 리 대수의 정의를 쌍대화하여 얻어지는 쌍대대수이다.

 정의 
가환환  위의 리 쌍대대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 -가군 
 -가군 준동형 
여기서

는 외대수의 2차 성분이다. 이를 외대수  위에 다음과 같은 곱 규칙을 따르는 미분으로 유일하게 확장할 수 있다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 는 공사슬 복합체를 이룬다. 즉, 이어야 한다.

 리 괄호를 통한 정의 
만약 가 표수 2 또는 표수 3이 아닌 체이며, 가 유한 차원 -벡터 공간이라고 할 때, 다음 두 데이터가 서로 동치이다.
  위의 리 쌍대대수 구조 
  위의 리 대수 구조 
구체적으로, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

여기서 은 와 그 등급별 쌍대 공간 사이의 내적이다.

 리 준쌍대대수 
리 준쌍대대수(Lie準雙對代數, )는 다음과 같다.
 매끄러운 다양체 
 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 
  위의 미분을 정의하는 벡터 다발 사상 . 이는  위의 공사슬 복합체 구조를 정의하여야 한다.
이는 쌍대화를 통하여  위의 리 준대수 구조와 동치이다.

 예 
매끄러운 다양체  위의 공변접다발 은 리 준쌍대대수를 이루며, 그 쌍대괄호는 1차 미분 형식의 외미분이다. 이는 미분 형식들의 공사슬 복합체

를 정의한다.

 참고 문헌 

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