이토 확률 과정

확률론에서 이토 확률 과정([伊藤]確率過程, )은 위너 과정의 이토 적분으로 정의되는 확률 과정이다.

 정의 
확률 공간  위의 위너 확률 과정

이 주어졌다고 하자. 위와 여과 확률 공간

이 의 자연 여과 확률 공간의 오른쪽 연속 완비화라고 하자.

에 대한 이토 확률 과정은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정

이다.

여기서
 는 이토 적분 가능 확률 과정이다.
 는 에 대한 순응 확률 과정이다.
 는 와 독립인 확률 변수이다.
 는 이토 적분이다.

흔히, 이토 확률 과정의 분해는 상수항 을 생략하고

와 같이 표기된다.

 다양체 위의 이토 확률 과정 
보다 일반적으로, 매끄러운 다양체 위의 이토 과정을 생각할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자.
 확률 공간 
 위너 확률 과정 
 매끄러운 다양체 . 이를 보렐 가측 공간으로 간주하자.
그렇다면,  값의 이토 확률 과정은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정

이다. (미분 기하학에서 첨자를 널리 사용하므로, 편의상 시간을 첨자 대신 괄호로 표기하였다.)

여기서
 는 이토 적분 가능 확률 과정이다.
 는 에 대한 순응 확률 과정이다.
 은 와 독립인,  값의 확률 변수이다.
 은  위의 개의 벡터장이다. 즉, 이다.
 매끄러운 다양체의 접다발의 지표는 로, 유클리드 공간의 지표는 로 표기하였다.

 성질 
 이토 보조 정리 
이토 적분에서, 변수의 변환은 일반적으로 추가 항을 갖는다. 즉, 통상적인 연쇄법칙이 성립하지 않으며, 위너 확률 과정의 스스로와의 상관 현상에 의한 추가 항이 등장한다. 이를 이토 보조 정리([伊藤]補助定理, ) 또는 이토-되블린 정리()라고 한다.

다음이 주어졌다고 하자.
 확률 공간 
  위의 위너 확률 과정 
 에 대한 이토 확률 과정 
 함수 , . 또한, 이 함수가 첫째 변수에 대하여  (연속 미분 가능) 함수이며, 둘째 변수에 대하여  (2차 연속 미분 가능) 함수라고 하자.
그렇다면, 이토 보조 정리에 따르면,

는 역시 이토 확률 과정을 이루며, 또한 그 분해는 다음과 같다.

미분 표기법으로는 이토 보조 정리는 다음과 같이 표기된다.

여기서 마지막 항은 비(非)확률 미적분학의 연쇄법칙에 등장하지 않는 것이다.

특히, 만약 이며, 가 에 직접 의존하지 않는다면, 이토 보조 정리는 다음과 같이 된다.

 무한소 생성원 
유클리드 공간 위의 이토 과정

의, 시간 에서의 무한소 생성원은 다음과 같은 2차 미분 연산자의 족 이다.

이는 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.

이 경우,

와 같은 편미분 방정식을 포커르-플랑크 방정식이라고 한다. 이토 과정의 확률 분포 함수

는 이 편미분 방정식을 따른다.

 외부 링크 




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