수축량

기하학에서, 수축량(收縮量, )은 어떤 거리 공간에서, 상수 함수와 호모토픽하지 않는 폐곡선의 최소 길이이다.

 정의 
콤팩트 거리 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  속의 폐곡선

의 길이

를 생각하자.

의 수축량은 다음과 같다.

여기서 은 점을 가진 공간 의 기본군이다. 즉, 기본군에서 자명하지 않은 동치류를 갖는 폐곡선의 길이의 하한이다.

차원 연결 콤팩트 리만 다양체 의 수축량비(收縮量比, )는 다음과 같은 값이다.

(만약 이 단일 연결 공간이라면, 수축량비는 무한대이다.)

 성질 
임의의 리만 다양체 구조가 주어진 2차원 원환면 을 생각하자. 그 위에는 다음과 같은 뢰브너 부등식()이 성립한다.

여기서 는 원환면의 넓이이다.

마찬가지로, 실수 사영 평면  위에는 다음과 같은 푸 부등식([蒲]不等式, )이 성립한다.

각종 곡면에 대하여, 수축량비의 상한은 다음과 같다.
 곡면  수축량비의 상한  수축량비의 상한을 포화하는 리만 계량 구   ∞  (기본군이 자명군) 원환면     정삼각형 격자의 몫 으로 주어지는, 곡률 0의 원환면 실수 사영 평면     대칭 구의 대척점에 대한 몫  클라인 병     

보다 일반적으로, 종수 의 콤팩트 가향 곡면 에 대하여, 일 경우 다음이 성립한다.

사실, 충분히 큰 에 대하여, 다음이 항상 성립하게 되는, 종수에 의존하지 않는 두 상수 가 존재한다.

 그로모프 부등식 
연결 콤팩트 리만 다양체 에서, 다음이 성립한다면, 을 본질적 다양체()라고 하자.
자연스러운 군 준동형  아래, 기본류 의 상이 자명하지 않다. 여기서 는 이 가향 다양체일 때 이며, 아닐 때 이다. 는 에일렌베르크-매클레인 공간이다.

그로모프 부등식()에 따르면, 각 차원 에 대하여, 모든 차원 본질적 다양체들의 수축량비들의 집합은 (차원에만 의존하는) 상한 을 갖는다.

 역사 
수축량의 개념은 카를 뢰브너(, , , 1893~1968)가 도입하였다. “수축량”()이라는 용어는 마르셀 베르제가 1980년에 도입하였다. 이는 원래 생물학에서 심장의 수축을 뜻하는 용어이며, (수축)에서 유래하였다.

 참고 문헌 

분류:리만 기하학