심플렉틱 리 대수

리 군론에서 심플렉틱 리 대수(symplectic Lie代數, )는 심플렉틱 군에 대응되는 리 대수이다.

 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 -가군 
  위의 교대 쌍선형 형식 , 
그렇다면,  위의 자기 준동형들로 구성된 -리 대수

의 다음과 같은 -부분 가군은 부분 리 대수를 이룬다.

증명:
이므로,

이다.

이를  위의, 에 대한 심플렉틱 리 대수라고 한다.

 성질 
만약 가 표수가 2가 아닌 체이며, 가 유한 차원 -벡터 공간이며, 가 비퇴화 교대 쌍선형 형식이라고 하자. 이 경우, 는 항상 짝수 차원이며,

이다.

만약 이며, 가 유한 차원 -벡터 공간일 때, 는 심플렉틱 군 의 리 대수이다.

 표수 2 
만약 의 표수가 2라면, 교대 쌍선형 형식은 자동적으로 대칭 쌍선형 형식이 되며, 이에 따라 에 대한 직교 리 대수를 정의할 수 있다. 그런데 직교 리 대수의 조건은 이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

 예 
만약 일 때, 이다.

 외부 링크 


분류:리 대수