체흐 신경

범주론과 대수적 위상수학에서 체흐 신경(Čech神經, )은 (충분한 올곱을 갖는) 범주에서, 어떤 사상을 통해 정의되는 단체 대상이다. 기하학적으로, 이 사상은 대략 어떤 “덮개”로 해석된다. 체흐 코호몰로지를 구성하는 데 사용된다.

 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 범주 
  속의 사상 
그렇다면, (만약 모든 올곱들이 존재한다면) 다음과 같은 단체 대상

을 정의할 수 있다.
 자연수 에 대하여,

 면 사상은 다음과 같다. (즉, 번째 성분만을 제외한, 올곱의 표준적 사영 사상이다.)

 퇴화 단체 사상은 다음과 같다.

이를 의 체흐 신경이라고 한다.

 예 
 열린 덮개 
매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 에서, 매끄러운 다양체 의 열린 덮개 가 주어졌다고 하자. (대신 위상 공간의 범주를 사용할 수도 있다.) 그렇다면,

를 정의하면, 표준적인 사영 사상

이 존재하며, 이에 대한 체흐 신경을 구성할 수 있다. 즉, 이 경우 구체적으로
 0차 단체는 인 순서쌍 이다. 0차 단체의 공간은 이다.
 1차 단체는 인 순서쌍 이다. 2차 단체의 공간은 이다.
 1차 단체 의 두 면(끝점)은  및 이다.
 0차 단체 에 대응하는 퇴화 1차 단체는 이다.
 2차 단체는 인 순서쌍 이다. 2차 단체의 공간은 이다.
 2차 단체 의 세 면(변)은 , , 이다.
 1차 단체 에 대응하는 퇴화 2차 단체는 , 이다.

체흐 코호몰로지는 이 단체 대상에 대한 코호몰로지 이론이다.

 분류 공간 

위상군 가 주어졌다고 하자. 이제, 자명군으로 가는 (유일한) 군 준동형

을 생각하자. 이에 대한 체흐 신경은 다음과 같다.
 0차 단체는 이다. 0차 단체의 공간은 이다.
 1차 단체는 이다. 1차 단체의 공간은 이다.
 0차 단체의 퇴화 단체는 의 꼴이다.
 1차 단체의 면은 , 이다.
 2차 단체는 이다. 2차 단체의 공간은 이다.

이와 같이, 단체군 를 정의할 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 의 오른쪽 군 작용이 존재한다.

이 오른쪽 군 작용은 추이적 작용이며, 기하학적 실현을 취하면 이는 -주다발

을 이룬다. 이는 위상군 의 분류 공간이며, 만약 가 이산군이라면 에일렌베르크-매클레인 공간 을 이룬다.

 역사 
이러한 “단체”는 위상 공간의 범주에서 에두아르트 체흐가 도입하였다.

 참고 문헌 


 Samuel Eilenberg and Norman Steenrod: Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, 1952, p. 234.

 외부 링크 




분류:대수적 위상수학
분류:범주론