스하우턴-네이엔하위스 괄호

미분기하학에서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호()는 완전 반대칭 텐서장에 대하여 정의되는 이항 쌍선형 연산이다. 이를 통해, 완전 반대칭 텐서장들은 거스틴해버 대수를 이룬다.

 정의 
매끄러운 다양체  위의 완전 반대칭 차 텐서장의 공간

을 생각하자. 이 위에는 올별 쐐기곱

이 존재하며, 이에 따라서 는 등급 가환 대수를 이룬다.

이 위의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같은 연산이다.

이는 공리적으로 다음과 같이 정의된다.

이에 따라,

는 쐐기곱과 스하우턴-네이엔하위스 괄호를 통해 거스틴해버 대수를 이룬다.

 성질 
거스틴해버 대수의 성질에 따라, 초벡터 공간

위에서 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 리 초대수를 정의한다. (※원소의 홀짝성이 등급과 반대이다.) 즉, 다음과 같은 초 야코비 항등식이 성립한다.

 푸아송 다양체 

푸아송 다양체 의 경우, 정의에 따라 이다. 이에 따라서 는 멱영 연산을 이루며, 이 공사슬 복합체의 코호몰로지를 푸아송 코호몰로지라고 한다.

 예 
구체적으로, 낮은 차수의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같다.
 차수   대칭성  스하우턴-네이엔하위스 괄호   비고 (0,0)  대칭    상수 함수 (0,1)  반대칭    스칼라장의 벡터장 방향 미분 (1,1)  반대칭    벡터장의 리 미분 (0,2)  대칭    스칼라장의 기울기와의 내부곱 (1,2)  반대칭    텐서장의 리 미분 (2,2)  대칭   

 역사 
얀 아르놀뒤스 스하우턴()과 알버르트 네이엔하위스()가 도입하였다.

 참고 문헌 

 외부 링크 



분류:미분기하학
분류:이항연산