직교 리 대수

리 군론에서 직교 리 대수(直交Lie代數, )는 직교군에 대응되는 리 대수이다. 어떤 대칭 쌍선형 형식에 대하여 반대칭 행렬을 이루는 선형 변환들로 구성된다.

 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 가환환 
 -가군 
  위의 대칭 쌍선형 형식 
그렇다면, 의 자기 준동형으로 구성된 -리 대수

를 생각할 수 있다. 이 속에서, 다음과 같은 -부분 가군은 -부분 리 대수를 이루며, 이를 의 에 대한 직교 리 대수라고 한다.

증명:
우선, 임의의 에 대하여

이다. 따라서, 임의의 에 대하여

이다. 즉,

이다.

만약 가환환 에서 2가 가역원이라면, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.


그러나 만약 2가 가역원이 아니라면 일반적으로 전자가 후자보다 더 강한 조건이다.
증명:
조건 1 ⇒ 조건 2:

2가 가역원일 때, 조건 2 ⇒ 조건 1:
이므로, 

만약 추가로 가 표수가 2가 아닌 체이며, 가 유한 차원 벡터 공간이며, 가 비퇴화 쌍선형 형식이라면, 이는 와 쌍대 공간  사이의 동형을 정의하며, 이 경우 직교 리 대수는 를 통하여 행렬로 표기하였을 때 반대칭 행렬이 되는 선형 변환들로 구성된다. 즉, 아인슈타인 표기법으로,

로 적으면,

이다.

 성질 
가환환  위의 가군  위의 이차 형식 에 대응되는 대칭 쌍선형 형식이

라고 하자. 그렇다면, 리 대수 는 직교군 의 리 대수이다.

대수군의 경우와 달리, 리 대수는 이차 형식에 직접적으로 의존하지 않으며, 오직 그 연관 대칭 쌍선형 형식에만 의존한다. 이는 직교군의 정의가

인데, 이를 “무한소화”하면

가 된다. 그런데

이므로, 이는 오직 에만 의존하게 된다.

 예 
만약 일 때, 정의에 따라 자명하게 이다.

 특수 직교 리 대수 
만약 가 유한 생성 자유 가군일 경우, 대각합이 0인 가군 준동형들로 구성된 특수 선형 리 대수

를 정의할 수 있다. 이 경우, 특수 직교 리 대수()

를 정의할 수 있다.

만약 가 체이며, 가 비퇴화 쌍선형 형식일 경우, 이다. 그러나 예를 들어 만약 일 때, 홀수 차원 -벡터 공간 위에서, 비특이 이차 형식에 대응되는 대칭 쌍선형 형식은 퇴화 대칭 쌍선형 형식이며, 이 경우 직교 리 대수는 특수 선형 리 대수에 포함되지 않는다. 예를 들어, 표수가 2인 체 위에서,

이지만, 가 (이차 형식에 대응되는) 교대 대칭 쌍선형 형식이라면

이므로 항상 이다.

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