요르단 삼항 대수

추상대수학에서 요르단 삼항 대수(Jordan三項代數, )는 어떤 특별한 항등식을 만족시키는 3쌍 선형 연산을 갖춘 대수 구조이다. 모든 요르단 대수와, 특정한 대합을 갖는 등급 리 대수는 표준적으로 요르단 삼항 대수의 구조를 갖는다. 또한, 요르단 3항 대수에 대하여, 그 위의 “등각 변환”으로 구성되는 더 큰 리 대수가 존재한다. 이 구성을 칸토르-쾨허-티츠 구성(Кантор-Koecher-Tits構成, )이라고 하며, 이를 통해 일부 예외 단순 리 대수(E₇, E₆, F₄)를 구성할 수 있다.

 정의 
 요르단 삼항 대수 
표수가 2가 아닌 체  위의 요르단 삼항 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 -벡터 공간 
 -선형 변환 , 
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
 (대칭성) 


 성질 
 요르단 대수 → 요르단 3항 대수 
요르단 대수 가 주어졌을 때

를 정의하면, 이는 요르단 3항 대수를 이룸을 쉽게 확인할 수 있다.

 리 대수 → 요르단 3항 대수 
 위의 리 대수  가  값의 등급을 갖는다고 하자.

또한, -선형 변환 이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
 는 리 대수의 자기 동형을 이룬다.
 (대합) 
 (등급과의 호환) 
그렇다면,

를 정의하면 는 요르단 3항 대수를 이룬다.

 요르단 3항 대수 → 리 대수 
이제, 요르단 3항 대수 가 주어졌을 때, 다항 함수 의 결합 대수

를 생각하자. 이는 함수의 합성에 의하여 자연수 등급의 등급 대수를 이루며, 대수의 연산을 리 괄호 만 남기고 잊으면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

이제, 다음과 같은 세 -벡터 공간을 정의하자.

이는  위의 상수 함수 · 선형 함수 · 2차 함수로 구성된다.

이는 일반적으로 의 함수의 합성에 대하여 닫혀 있지 않지만, 대신 리 괄호에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다.
즉, 이는 -리 대수를 이루며, 또한  값의 등급을 갖는다. 또한, 이 구조에는

와 같은 대합이 주어진다.

이를 에 대응되는 칸토르-쾨허-티츠 구성이라고 하며, 로 표기한다. 또한, 그 등급 0의 부분 리 대수를 로 표기한다.

만약 가 항등원을 갖는 요르단 대수를 이룬다면, 리 대수 준동형

이 존재한다. (여기서 정의역은 아벨 리 대수이다.) 또한, 그 치역은 리 대수의 중심의 부분이므로 리 대수 아이디얼을 이루어, 이에 대한 몫을 취할 수 있다. 이 대수를

로 표기하자. 사실, 의 모든 원소는

와 같이 대각합과 무대각합 성분으로 표준적으로 분해되므로, 이는 표준적으로 직합

을 이룬다.

또한, 가 요르단 대수일 때, 그 이항 연산 을 보존하는 미분 리 대수 가 존재하며, 이는 의 부분 대수를 이룬다.

 예 
요르단 대수에 대응되는 리 대수의 예는 다음과 같다.

 요르단 대수       0 0      (앨버트 대수)  (E₇ 리 대수)  (E₆ 리 대수)  (콤팩트 F₄ 리 대수)            
여기서
 는  계수의  에르미트 행렬로 구성된 요르단 대수이다.
 는 실수체 (), 복소수체 (), 사원수 대수 (), 팔원수 대수 () 가운데 하나이다.
 의  등급 및 대합은 등각 대칭군으로서 주어진다. 즉, 우변을 차원 민코프스키 공간 위의 등각 변환들의 군으로 여긴다.

 역사 
칸토어-쾨허-티츠 구성은 자크 티츠 · 이사이 리보비치 칸토르(, 1936~2006) · 막스 쾨허(, 1924~1990)가 1960년대에 도입하였다.

 참고 문헌 

분류:리 대수
분류:비결합대수