고전적 수반 행렬

선형대수학에서 고전적 수반 행렬(古典的隨伴行列, )은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 기호는 .

 정의 
가환환  위의  정사각 행렬 의 고전적 수반 행렬은 여인자 행렬의 전치 행렬이다.

즉, 의 -성분은 의 번째 행 및 번째 열을 지운 여인자이다.

여기서 는 행렬식이다.

 성질 
가환환  위의  정사각 행렬 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

특히, 만약 가 가역원이라면 (가 체인 경우 이는 이라는 조건과 같다), 의 역행렬은 다음과 같다.

그 밖에 다음 항등식들이 성립한다.

 예제 
 1 × 1 일반 행렬 
0이 아닌 1×1 행렬 (실수 혹은 허수)의 수반행렬은 이고, adj(0) = 0으로 정의한다.

 2 × 2 일반 행렬 
2×2 행렬

의 수반행렬은

이고, 직접 대입으로 다음을 보일 수 있다.

이 경우에는 det(adj(A)) = det(A)이 성립하고, 결국 adj(adj(A)) = A이다.

 3 × 3 일반 행렬 
다음 3×3 행렬은

다음과 같이 여인자_행렬을 구하고

여기서

수반행렬은 이 여인자행렬의 전치 행렬로 다음과 같이 구해진다.

 3 × 3 행렬 수치 계산 예 
다음 행렬의 수반행렬은 아래와 같이 구해진다.

이 수반행렬이 원래 행렬의 역행렬에 행렬식 을 곱한 것과 같다는 것을 쉽게 보일 수 있다.

수반행렬의 두번째 행 세번째 열에 은 다음과 같이 구해진다. 수반행렬의 (2행,3열)값은 여인자행렬의 (3행,2열)값이다. 여인자는 해당 행과 열을 없앤 부분_행렬,

과 (3행,2열)에 해당하는 부호값을 이용하여 다음과 같이 구해진다.

그러므로 수반행렬의 (2행,3열)값은  이다.

 같이 보기 
 케일리-해밀턴 정리
 크라메르 법칙
 각주 

 외부 링크 


분류:행렬론
분류:선형대수학