프라티니 부분군

군론에서 프라티니 부분군(Frattini部分群, )은 어떤 군의, “매우 작은” 원소들만으로 구성된 정규 부분군이다. 구체적으로, “너무 작아서” 군을 생성할 때 불가결할 경우가 절대 없으며, 또한 모든 극대 진부분군에 속하는 원소들만으로 구성된다.

 정의 
군 의 부분군들의 족을

라고 하자. 이는 부분 집합 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이루며, 이는 사실 완비 격자를 이룬다. 이 완비 격자에서, 하한은 교집합이다. (그러나 상한은 합집합이 아니다.) 그 최대 원소는 물론 이다.

이제, 의 극대 원소들의 집합

을 생각하자. (이는 공집합일 수 있다.)

군 의 원소 가 다음 조건을 만족시킨다면, 비생성원(非生成元, )라고 하자.
 만약 부분 집합 가 를 생성하며, 라면,  역시 를 생성한다.

이제, 다음 두 부분 집합이 일치하며, 이를 의 프라티니 부분군이라고 하고, 로 표기한다.
  (즉, 의 모든 극대 진부분군들의 교집합)
 의 비생성원들의 집합
(여기서, 이다. 즉, 만약 극대 진부분군이 없다면, 프라티니 부분군은  전체이다.)
증명 (비생성원 ⇒ 모든 극대 진부분군에 속함):
가 비생성원이라고 하고, 가 의 극대 진부분군이라고 하자. 이제, 이라면, 로 생성되는 부분군을 생각하자. 이 극대 진부분군이므로, 이는 이다. 그런데 은 의 생성 집합이지만 은 의 생성 집합이 아니다. 따라서 이는 모순이다.
증명 (비생성원이 아님 ⇒ 속하지 않는 극대 진부분군이 존재):
어떤 원소  및 부분 집합 에 대하여, 만약 가 를 생성하지만, 는 를 생성하지 않는다고 하자.

이제, 를 포함하며, 를 포함하지 않는 모든 부분군들의 족

을 생각하자. 초른 보조정리에 따라, 이는 적어도 하나의 극대 원소 를 갖는다. 이제, 이 부분군이 의 극대 진부분군임을 보이면 족하다.

을 포함하는 임의의 부분군 를 생각하자. 이제, 이 의 극대 원소이므로, 이다. 그러므로, 이다. 따라서, 은 를 포함하지 않는, 의 극대 진부분군이다.

 성질 
군 의 프라티니 부분군은 항상 의 정규 부분군이다.
증명:
의 프라티니 부분군은 의 부분군들의 완비 격자에 의하여 결정된다. 의 극대 진부분군의 집합은 의 모든 자기 동형 사상 아래 불변이며, 따라서 그 교집합인 프라티니 부분군 역시 마찬가지다. 특히, 켤레 사상은 군의 자기 동형 사상이므로, 프라티니 부분군은 정규 부분군이다.
만약 가 유한군이라면, 그 프라티니 부분군은 멱영군이다.
증명:
유한군이 멱영군일 필요충분조건은 모든 쉴로브 부분군이 정규 부분군인 것이므로, 임의의 소수  및 의 쉴로브 -부분군 에 대하여, 가 의 정규 부분군임을 보이는 것으로 족하다. 이므로, 프라티니 논증에 따라

이다. 이는 를 함의한다. 사실, 만약 가 의 진부분군이라면, 가 유한군이므로, 를 포함하는 의 극대 진부분군이 존재한다. 그런데 이 극대 진부분군은  역시 포함하므로,  전체이다. 이는 모순이다. 따라서 이다. 즉, 는 의 정규 부분군이며, 특히 의 정규 부분군이다.
임의의 군  및 유한 정규 부분군 에 대하여,

이다.
증명:
을 포함하지 않는 극대 진부분군 가 존재한다고 가정하자. 이며 이 의 특성 부분군이므로, 이다. 따라서, 으로 생성되는 부분군은 이다. 이 극대 진부분군이므로, 이며,

이다. 은 을 포함하지 않으므로,  역시 포함하지 않으며, 은 의 진부분군이다. 이 유한군이므로, 을 포함하는 의 극대 진부분군이 존재한다. 그런데 이 극대 진부분군은  역시 포함하므로,  전체이다. 이는 모순이다.
임의의 두 유한군 , 에 대하여,

이다.

 p-군 
번사이드 기저 정리()에 따르면, 임의의 유한 p-군 에 대하여, 다음이 성립한다.
 . 여기서 는 의 원소의 제곱들로 생성된 의 부분군이며, 는 의 교환자 부분군이다. 따라서, 는 가 유한 개의 크기 의 순환군의 직접곱이 되게 만드는, 의 최소의 정규 부분군이다.
 라고 하자. 그렇다면, 만약 가 의 생성 집합이라면, 이며, 크기가 인 의 생성 집합 이 존재한다. 특히, 의 임의의 극소 생성 집합의 크기는 이다. 특히, 가 순환군일 필요충분조건은 가 순환군인 것이다.

번사이드 기저 정리는 유한 p-군의 이론에서 여러 응용이 있다. 예를 들어, 임의의 유한 p-군 의 극대 진부분군의 수는

이다.

 예 
크기 8의 정이면체군 의 부분군들의 하세 도표는 다음과 같다.
400px
이 경우, 극대 진부분군들은 위에서 둘째 줄의 세 부분군들이다. 의 프라티니 부분군은 이들의 교집합(하한)인, 셋째 줄의 가운데에 있는 부분군 {F, Ⅎ}이다.

초특별군의 프라티니 부분군은 그 중심과 일치하며, 소수 크기의 순환군이다.

 극대 진부분군이 없는 군 
유리수체의 덧셈군 을 생각하자. 이는 극대 진부분군을 갖지 않으며, 따라서 그 프라티니 부분군은  전체이다.

마찬가지로, 자명군은 극대 진부분군을 갖지 않으며, 그 진부분군은 자명군이다.

 역사 
섬네일|right|프라티니 (1900년대 촬영 사진)
조반니 프라티니(, 1852~1925)가 1885년에 도입하였다. 이 논문에서 프라티니는 프라티니 부분군의 두 정의가 서로 동치임을 증명하였다.

 같이 보기 
 프라티니 논증

 참고 문헌 

 외부 링크 








분류:군론