6차원 회전군

리 군론에서 6차원 회전군(六次元回轉群, )은 6차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(6) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 복소수의 4×4 특수 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.

 정의 
6차원 회전군은 6차원 실수 계수 직교군 이다. 그 딘킨 도표는

이다.

6차원 스핀 군은 4차원 특수 유니터리 군 SU(4)와 동형이다.

즉, 는 이다.

그 실수 형태는 다음 다섯 가지가 있다.

 킬링 형식의 부호수  기호  직교군 기호  유니터리·선형군 기호  사타케 도표  보건 도표  비고 (0,15)   Spin(6)  SU(4)      콤팩트 형태 (5,10)  A₃Ⅱ, D₃Ⅱ  Spin(1,5)       (8,7)  A₃Ⅲ, D₃Ⅱ  Spin(2,4)  SU(2,2)     (9,6)  A₃Ⅰ, D₃Ⅰ  Spin(3,3)        분할 형태 (10,5)  A₃Ⅲ, D₃Ⅲ  SO*(6)  SU(3,1)    

사타케 도표에서, 중괄호 ()는 화살표()를 나타낸다.

 성질 
 콤팩트 형태 
Spin(6)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 8차원 마요라나 스피너이다. 이 표현은 SU(4)의 정의(定義) 표현  및 그 복소수 켤레 에 해당한다.

마찬가지로, SO(6)의 정의(定義) 표현인 6차원 실수 표현 은 실수 조건을 가한 SU(4)의 반대칭 2차 텐서에 해당한다.

Spin(6)의 군의 중심은 크기 4의 순환군이다. 에서, 이는

에 해당한다. 이 중심은 몫군 에서 크기 2의 부분군이 되며, 이는 마찬가지로 에 해당한다.

 분할 형태 
Spin(3,3)의 군의 중심은 크기 2의 순환군이다. 에서, 이는

에 해당한다.

Spin(3,3)의 최소 스피너는 4차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 의 정의 표현 및 그 쌍대 표현에 해당한다. SO(3,3)의 6차원 정의 표현은 의 반대칭 2차 텐서 표현에 해당한다.

{| class=wikitable
! 실수 차원 !! Spin(3,3) 묘사 !!  묘사 !!  영 타블로
|-
| 4 || 오른쪽 마요라나-바일 스피너 || 벡터 (정의 표현)
| style="line-height:1" | □
|-
| 4′ || 왼쪽 마요라나-바일 스피너 || (0,1)-텐서 (쌍대 벡터)
| style="line-height:1"| □□□
|-
| 6 || 벡터 (정의 표현) || 반대칭 2-텐서
| style="line-height:1"| □□
|-
| 10 || 자기 쌍대 3-텐서 || 대칭 (2,0)-텐서
| style="line-height:1"| □□
|-
| 10′ || 자기 반쌍대 3-텐서 || 대칭 (0,2)-텐서
| style="line-height:1"| □□□□□□
|-
| 15 || 반대칭 2-텐서 (딸림표현) || 무대각합 (1,1)-텐서 (딸림표현)
| style="line-height:1"| □□□□
|-
| 20 || 대칭 무대각합 2-텐서 || 대칭-반대칭 4-텐서
| style="line-height:1"| □□□□
|-
| 20′ || 오른손 벡터-스피너 || 대칭-반대칭 (3,0)-텐서
| style="line-height:1"| □□□
|-
| 20″ || 왼손 벡터-스피너 || 대칭-반대칭 (0,3)-텐서
| style="line-height:1"| □□□□□
|-
| 20‴ || 자기 쌍대 3-텐서-스피너 || 완전 대칭 (3,0)-텐서
| style="line-height:1" | □□□
|-
| 20⁗ || 자기 반쌍대 3-텐서-스피너 || 완전 대칭 (0,3)-텐서
| style="line-height:1" | □□□□□□□□□
|}

이들의 텐서곱은 다음과 같다.

 SO(1,5) 
Spin(1,5)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이며, 마요라나 스피너는 존재하지 않는다. 이는 의 사원수 2차원 정의 표현 (또는 의 4차원 복소수 정의 표현)에 해당한다.

Spin(1,5)의 6차원 실수 정의 표현은 에서 사원수 2-텐서 가운데, 어떤 복소수 기저에서도 반대칭 2-텐서가 되는 것들의 표현이다. (사원수는 비가환이므로, 복소수 기저를 고르지 않고서는 (반)대칭성을 논할 수 없다.)

 SO(2,4) 
Spin(2,4)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 및 마요라나 스피너이다. 이는 의 4차원 정의 표현 및 그 복소수 켤레에 해당한다.

 SU(1,3) 
은 실수 6차원 정의 표현을 갖는다. 이는 의 반대칭 2-텐서 표현이다.

또한, 의 복소수 4차원 정의 표현 및 그 켤레는 의 왼쪽과 오른쪽 “바일 스피너”에 해당한다.

 참고 문헌 


 외부 링크 


분류:리 군