준반사

선형대수학과 군론에서 준반사(準反射, )는 유한 차원 벡터 공간 위의, 고정점 공간의 여차원이 1인 멱일 자기 선형 변환이다. 유클리드 공간에서의 반사의 개념을 실수체 대신 임의의 체에 대하여 일반화한 것이다.

 정의 
체  위의 유한 차원 벡터 공간  위의 준반사는 다음과 같은 자기 선형 변환 이다.
 멱일원이다. 즉, 인 양의 정수 이 존재한다.
 고정점 부분 벡터 공간 의 여차원은 1이다.

여기서 이 되는 최소의 양의 정수 는 의 차수()라고 한다. 이는 항상 2 이상의 양의 정수이다 (1일 경우, 여차원이 0이 된다).

 성질 
 차수 
체  위의 유한 차원 벡터 공간  위의 준반사 의 차수 에 대하여, 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다.
 이며, 이다.
 이다.
즉, 특히 실수체 일 경우, 표수 0이며, 1의 거듭제곱근이 ±1 밖에 없으므로, 준반사의 차수는 항상 2이다. 즉, 이 경우 준반사의 개념은 기초 기하학에서의 반사의 개념과 동치이다.

반면, 예를 들어 복소수체의 경우, 준반사의 차수는 2 이상의 임의의 양의 정수가 될 수 있다.

 고윳값 
체  위의 유한 차원 벡터 공간  위의 준반사 의 차수가 이라고 하자. 만약 가 대각화될 수 있다면, 는 다음과 같이 표현된다.

여기서 는 1이 아닌 1의 거듭제곱근이다. 만약 가 대각화될 수 없다면, 는 다음과 같이 표현된다.

대각화될 수 없는 준반사를 이환(移環, )이라고 한다. 이 경우 차수는 항상 2이다.

만약 이라면, 는 항상 대각화될 수 있다.

 준반사로 생성되는 군 
임의의 체  위의 유한 차원 벡터 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환으로 구성된 임의의 유한군

이 주어졌을 때, 다음을 정의할 수 있다.
  값의 변수를 갖는 자유 가환 결합 대수 . 그 위에는 가 와 같이 작용하여, 이는 군환 의 가군을 이룬다.
 에 대한 불변 다항식들의 부분 대수 .
또한, 다음을 가정하자.
 이거나, 또는 
슈발레-셰퍼드-토드 정리(Chevalley-Shepard-Todd定理, )에 따르면, 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 를 생성하는 (유한 개의) 준반사들의 집합 이 존재한다.
 는  위의 자유 결합 가환 대수(다항식환)이다.
 의 모든 소 아이디얼에서의 국소화는 정칙 국소환이다.
 는  위의 자유 가군이다.
 는  위의 사영 가군이다.
이러한 꼴로 표현될 수 있는 유한군을 -준반사군(準反射群, )이라고 한다.

두 -준반사군의 직접곱은 역시 -준반사군이다.
증명:
두 -준반사군

이 주어졌을 때, 자연스럽게

이다.

 역사 
슈발레-셰퍼드-토드 정리는 복소수체의 경우 제프리 콜린 셰퍼드()와 존 아서 토드(, 1908~1994)가 1954년에 증명하였으며, 1955년에 클로드 슈발레가 더 간략한 증명을 발표하였다.

이후 장피에르 세르가 이 정리를 양의 표수에 대하여 일반화하였다.

 각주 



 외부 링크 


분류:선형대수학
분류:군론