구조 다양체

미분기하학에서 구조 다양체()는 그 접다발이 어떤 리 군의 작용을 갖춘 매끄러운 다양체이다.

 정의 
리 군  및 의 충실한 유한 차원 실수 표현

이 주어졌다고 하자. -구조 다발은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 와 같은 차원의 매끄러운 벡터 다발 
 의 틀다발 의 부분 다발인 -주다발 
즉, 각 점 에서, 특별한 틀

들의 집합이 존재하며, 이 틀들의 집합에는 추이적 오른쪽 -작용이 존재한다.

이는 사실 와  사이의 벡터 다발 동형 사상과 동치이다.

그 접다발이 -구조를 갖는 매끄러운 다양체를 -구조 다양체라고 한다. 이 경우, -구조는 어떤 1차 미분 형식

에 의하여 주어지는데, 이를 접착 형식()이라고 한다.

 호환 접속 
-구조 벡터 다발 의 호환 접속()은 코쥘 접속

가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
 임의의 폐곡선  ()에 대하여, 에 대한 홀로노미 는 에 속한다.

 위의 -호환 접속들의 공간은

위의 아핀 공간을 이룬다.

이 경우, 접속 의 곡률

은 다음과 같은 2차 미분 형식을 이룬다.

 예 
다음과 같이, 다양한 미분기하학적 구조들은 -구조 다양체의 개념의 특수한 경우이다.

   매끄러운 다양체   유향 다양체   개복소다양체   리만 다양체   유향 리만 다양체   부호수 의 준 리만 다양체   준 심플렉틱 다양체   G₂ 다양체

 참고 문헌 


분류:미분기하학
분류:리만 기하학