등각 다양체

미분기하학에서 등각 다양체(登角多樣體, )는 리만 계량의 (스칼라 함수의 곱에 대한) 동치류가 갖추어진 매끄러운 다양체이다.

 정의 
매끄러운 다양체  위의 두 준 리만 계량 , 에 대하여, 다음과 같은 관계가 존재한다면 서로 동치라고 하자.

위와 같은 준 리만 계량의 동치류를 등각 계량()이라고 하자. 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체를 등각 다양체라고 한다.

 성질 
 곡률 
차원 준 리만 다양체 의 리만 곡률

을 생각하고, 리치 곡률

를 정의하자. 그렇다면,

에 대하여, 리치 곡률은 다음과 같이 변환한다.

즉, 리치 곡률은 일 경우 등각 불변량이 아니며, 등각 다양체에 대하여 정의될 수 없다. (물론 일 경우 모든 곡률은 항상 0이다.)

반면, 일 때, 바일 곡률 텐서

를 정의하면, 이는 등각 변환에 대하여 불변임을 보일 수 있다. 즉, (1,3)차 텐서인 바일 곡률은 등각 다양체에 대하여 잘 정의된다.

 호지 쌍대 
차 미분 형식의 경우, 호지 쌍대 사상은 등각 변환 에 대하여 다음과 같이 변환한다.

다시 말해, 만약 일 경우에만, 호지 쌍대 사상은 등각 불변이다.

 등각 킬링 벡터장 
등각 다양체  위의 등각 킬링 벡터장()은 다음 조건을 만족시키는 벡터장이다.

이는 구체적으로 다음과 같다.

이는 등각 다양체의 대칭을 나타낸다.

 참고 문헌 




 외부 링크 




분류:미분기하학
분류:리만 기하학