3차원 특수 유니터리 군

리 군론에서 3차원 특수 유니터리 군 SU(3)는 행렬식이 1인 3×3 유니터리 행렬들의 리 군이다.

 정의 
단순 리 군의 분류에서, 형의 딘킨 도표는 콤팩트 리 군  또는 에 대응한다.

이는 다음과 같은 실수 형식을 갖는다.
 기호  설명  기본군  중심  극대 콤팩트 부분군  사타케 도표  보건 도표 SU(3)  단일 연결 콤팩트 형식  0  Cyc(3)  SU(3)   PSU(3)  무중심 콤팩트 형식  Cyc(3)  0  PSU(3) SL(3;ℝ)  분할 형식  0  Cyc(2)  SO(3;ℝ)     분할 형식 Cyc(2)  0  Spin(3) SU(1,2)   Cyc(∞)  Cyc(3)  U(2)   PSU(1,2)   Cyc(∞)⊕Cyc(3)  0  PU(2)   0  Cyc(∞)⊕Cyc(3)  

 성질 
 위상수학적 성질 
는 8차원 연결 단일 연결 콤팩트 매끄러운 다양체이다.

 표현론 
SU(3)은 정의 표현  및 그 복소수 켤레  및 딸림표현 을 갖는다. 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

여기서 는 복소수 대칭 행렬에 해당한다.

SU(3)의 모든 표현은 두 자연수 로 유일하게 결정되며, 이는  속의 최고 무게 표현이다. 차 표현의 차원은

이다. 개의 길이 1의 열과 개의 길이 2의 열로 구성된 영 타블로에 대응된다. 이 가운데 인 표현은 실수 표현이며, 아닌 경우는 복소수 표현이다. 복소수 표현의 켤레 표현은 와 를 맞바꾸는 것에 해당한다.

낮은 차원의 표현은 다음과 같다.
 기호  (p,q'')  설명  영 타블로 1  (0,0)  자명한 표현   3  (1,0)  정의(定義) 표현 □   (0,1)  반정의(反定義) 표현 □□ 6  (2,0)  □□   (0,2)  □□□□ 8  (1,1)  딸림표현 □□□ 10  (3,0)  □□□   (0,3)  □□□□□□ 15  (2,1)   □□□□   (1,2)   □□□□□ 15′  (4,0)   □□□□   (0,4)   □□□□□□□□ 21  (5,0)  □□□□□   (0,5)  □□□□□□□□□□ 24  (3,1)  □□□□□   (1,3)  □□□□□□□ 27  (2,2)  □□□□

 리 대수의 기저 
겔만 행렬(Gell-Mann行列, )은 특수 유니터리 리 대수 의 기본 표현의 표준 기저를 이루는, 8개의 3×3 에르미트 행렬이다. (이는 파울리 행렬이 의 표준적인 생성원인 것과 같다.) 이들은 다음과 같다.

{| 
|
|
|
|-
|
|
|
|-
|
|
|
|}
이들은

를 만족시키며, 이 경우, 구조 상수

는 다음과 같다.

나머지 구조 상수들은 0이다. (즉, 개의 구조 상수 가운데 9개만이 0이 아니다.) 특히, 구조 상수가 0이 아닐 필요 조건은 3개의 지표가 {2,5,7}의 원소를 홀수 개 (즉, 1개 또는 3개) 포함해야 한다는 것이다.

 역사 
겔만 행렬은 쿼크 모형을 개발하기 위하여 머리 겔만이 도입하였다.

 응용 
SU(3)은 3개의 맛깔의 쿼크(u, d, s)에 대한 맛깔 대칭의 리 군으로서 이론물리학에 등장하며, 강입자들은 그 유한 차원 표현을 이룬다.

 각주 

 외부 링크 


분류:리 군