균형 집합

선형대수학 및 함수해석학에서, 균형 집합(均衡集合, ) 또는 원형 집합(圓形集合, ) 또는 원판()은 스스로의 임의의 “축소판”을 포함하는, 실수 벡터 공간 또는 복소수 벡터 공간의 부분 집합이다.

 정의 
가 실수체 또는 복소수체라고 하자. -벡터 공간 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 균형 집합이라고 한다.
 임의의 스칼라 에 대하여, 만약 이라면 
여기서

이다.

 균형 폐포와 균형핵 
-벡터 공간 의 임의의 부분 집합 가 주어졌을 때, 를 포함하는 가장 작은 균형 집합이 존재하며, 이를 의 균형 폐포()라고 한다. 이는 를 포함하는 모든 균형 집합의 교집합으로 만들 수 있다. 더 구체적으로, 의 균형 폐포는

이다.

마찬가지로, -벡터 공간 의 임의의 부분 집합 가 주어졌을 때, 에 포함되는 가장 큰 균형 집합이 존재하며, 이를 의 균형핵()이라고 한다. 이는 에 포함되는 모든 균형 집합의 합집합이며, 또한 다음과 같다.

 성질 
균형 집합은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.
 균형 집합들의 합집합과 교집합은 균형 집합이다.
 균형 집합의 폐포는 균형 집합이다.
 균형 집합의 내부와 의 합집합은 균형 집합이다.
 균형 집합의 선형 변환에 대한 상·원상은 균형 집합이다.

어떤 집합이 볼록하고 균형이면 그 집합은 절대 볼록 집합이다.

-위상 벡터 공간에서, 0의 모든 근방은 균형 근방을 포함하며, 0의 모든 볼록 근방은 균형 볼록 근방을 포함한다. 즉, 임의의 -위상 벡터 공간의 영벡터는 균형 집합들로 구성된 국소 기저를 가지며, 임의의 -국소 볼록 공간의 영벡터는 균형 볼록 집합들로 구성된 국소 기저를 갖는다.

-위상 벡터 공간  및 근방 이 주어졌다고 하자. 위상 벡터 공간의 정의에 따라, 스칼라배

는 연속 함수이며, 특히 에서 연속이다. 따라서

인  및 근방 이 존재한다. 이 경우,

은 0의 근방이며, 균형 집합이다.

이제, 이 볼록 집합이라고 추가로 가정하자. 임의의 , 에 대하여, 이 균형 집합이므로

이다. 따라서

은 0의 근방이다. 은 볼록 집합 들의 교집합이므로 볼록 집합이다. 이제 의 균형성을 보이는 일만 남았다. 사실, 임의의 , 에 대하여,

이다 (은 이 0을 원소로 하는 볼록 집합이므로, 이기 때문이다).

 예 
반노름 공간 에서, 0을 중심으로 하는 열린 공·닫힌 공

은 균형 집합이다 ().

실수 벡터 공간 또는 복소수 벡터 공간의 모든 부분 공간은 균형 집합이다.

-벡터 공간  ()들의 균형 집합 들의 곱집합 은 벡터 공간들의 직접곱 에서 균형 집합이다.

복소수체 를 1차원 복소수 벡터 공간으로 생각하자. 그 균형 집합은 정확히 다음과 같다.
  자체
 공집합
 0을 중심으로 하는 열린 원판 
 0을 중심으로 하는 닫힌 원판 
이와 달리, 를 2차원 실수 벡터 공간(즉, 유클리드 공간 )으로 여기면 더 많은 균형 집합이 존재하게 된다. 위의 집합들뿐 아니라, 원점을 중심으로 하는 모든 열린/닫힌 선분도 균형 집합을 이룬다. 따라서, 와 의 벡터 공간 구조는 전적으로 다르다.

 같이 보기 
 별모양 집합

 각주 




분류:선형대수학
분류:함수해석학