리 대응

리 군론에서 리 대응(Lie對應, )은 리 군의 범주에서 실수 리 대수의 범주로 가는 표준적인 함자이다. 즉, 각 리 군에 표준적 실수 리 대수가 대응되며, 리 군의 매끄러운 군 준동형에 실수 리 대수의 준동형이 대응된다.

 정의 
리 군  위에는 각 에 대하여 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다.

 위의 매끄러운 벡터장 가 다음 조건을 만족시키면, 왼쪽 불변 벡터장이라고 한다.

여기서
 는 에 대한 벡터장의 밂이다.
그렇다면, 다음 두 실수 벡터 공간 사이에 표준적인 동형이 존재하며, 이 실수 벡터 공간을 라고 한다.
  위의 왼쪽 불변 벡터장들의 벡터 공간
 의 항등원 에서의 접공간 
또한, 는 (왼쪽 불변 벡터장의) 리 미분

에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서, 이를 부여하면 는 리 대수를 이룬다. 이를 리 대응이라고 한다. 만약 가 복소수 리 군이라면, 는 자연스럽게 복소수 벡터 공간을 이루며, 따라서 복소수 리 대수가 된다.

마찬가지로, 두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형

및  위의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장 에 대하여, 밂 는 의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장을 정의한다. 이는 리 대수의 준동형

를 정의한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 이다.

 성질 
 함자성 
는 리 군의 범주에서 실수 리 대수의 범주로 가는 충실한 함자를 정의한다.

 연산과의 호환 
리 대응은 차원을 보존한다. 즉, 차원 리 군에 대응되는 실수 리 대수는 차원 실수 리 대수이다.

리 대응 아래, 반대군은 리 괄호에 −1을 곱하는 것에 대응한다.

리 대응은 리 군의 직접곱을 리 대수의 직합으로 대응시킨다.

리 대응은 리 군의 (닫힌 부분군에 대한) 짧은 완전열을 실수 리 대수의 짧은 완전열로 대응시킨다.

마찬가지로, 리 대응은 리 군의 닫힌 부분군을 실수 리 대수의 부분 리 대수로 대응시킨다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.)

 전사성 · 단사성 
함자 는 대상의 동형류에 대하여 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.
 단사성은 리 대수가 국소적인 정보만을 담기 때문이다. 예를 들어 SO(3)과 SU(2)는 국소적으로 같으므로 (SU(2)는 SO(3)의 범피복군) 같은 리 대수 를 지닌다.
 전사성의 실패는 무한 차원에서 일어난다. 모든 유한 리 대수에 대하여 대응되는 리 군이 존재하지만, 이는 무한 차원 리 대수에 대해서는 성립하지 않는다. (정의에 따라 모든 매끄러운 다양체는 유한 차원이지만, 무한 차원 다양체의 개념을 도입하여도 이 문제는 쉽게 해결할 수 없다.)

그러나 리 제3 정리(Lie第三定理, )에 따르면, 이 함자를 유한 차원 리 대수 및 (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군에 국한한다면, 이 함자는 (동형을 무시하면) 범주의 동치를 이룬다. 즉, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
 연결 단일 연결 리 군의 동형류
 실수 유한 차원 리 대수의 동형류
이 함수는 구체적으로 이다. 또한, 임의의 두 연결 단일 연결 리 군 , 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

여기서 좌변은 두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형의 집합이며, 우변은 두 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형의 집합이다.

 부분 리 대수에 대응하는 부분군 
리 군 의 부분군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군을 해석적 부분군() 또는 몰입 부분군()이라고 한다.
 에 적절한 위상을 주면 연결 리 군 으로 만들 수 있으며, 이 경우 포함 함수 는 매끄러운 다양체의 매끄러운 몰입을 이룬다.
 에 부분 공간 위상을 주면, 는 경로 연결 공간이다.
그러나 후자를 경로 연결성에서 연결성으로 약화시킬 수 없다. 가 리 군 (즉, 매끄러운 다양체)이 되게 하는 위상과 로부터의 부분 공간 위상은 일반적으로 다르다.

모든 닫힌 부분군은 해석적 부분군이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

만약 가 연결 단일 연결 리 군일 경우, 리 제2 정리(Lie第二定理, )에 따르면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
 의 해석적 부분군들의 집합
 의 리 대수 의 부분 리 대수들의 집합
구체적으로, 의 해석적 부분군 에 대응하는 부분 리 대수는  위에 다른 위상을 주어 리 군 로 만들었을 때, 의 리 대수 이다.

 리 군 표현에 대응하는 리 대수 표현 
리 군에 대응하는 리 대수의 특별한 경우로, 리 군 의 유한 차원 표현

를 생각하자. 여기서 는 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환이다 (즉, 이다).

이 경우, 이에 대응하는 실수 리 대수 준동형

를 정의할 수 있다. 이는 에 대응하는 리 대수의 표현이다.

 예 
차원 아벨 리 군 에 대하여 대응하는 리 대수는 아벨 리 대수 이다.

(0차원 리 군으로 간주한) 이산군에 대응하는 리 대수는 0차원 실수 리 대수 이다.

일 때,  직교 행렬의 리 군 의 리 대수는  반대칭 행렬의 리 대수 이다.

 닫힌집합이 아닌 해석적 부분군 
원환면 리 군 에서, 임의의 실수 에 대하여 부분군 를 정의하자. 그렇다면, 가 유리수일 경우 이는 닫힌집합인 부분군이지만, 아닐 경우 이는 닫힌집합이 아닌 해석적 부분군이다.

 역사 
리 대응 및 리의 제2·제3 정리는 소푸스 리가 도입하였다.

 참고 문헌 

 외부 링크 


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