단위구

수학에서 단위구는 고정된 중심점으로부터의 거리가 1인 점들의 집합이다. 일반화된 거리에 대한 개념이 사용된다; 닫힌 단위공은 고정된 중심점에서 거리가 1보다 작거나 같은 점들의 집합이다. 보통 특정한 점은 연구 중인 공간의 원점으로 구별되고 단위구 또는 단위공이 그 점을 중심으로 한다고 이해된다. 따라서 여기서는 항상 "그" 단위구나 "그" 단위공을 이야기 하는 것이다.

예를 들어, 원의 내부과 표면은 이차원 구이지만, 일차원 구는 그 "원"의 표면이다. 비슷하게, 일반적으로 "구"라고 부르는 유클리드 입체의 내부와 표면은 삼차원 구이지만, 이차원 구는 그 구의 표면이다.

단위구는 단순히 반지름이 1인 구이다. 단위구의 중요한 점은 어떤 구도 평행이동과 크기변환만으로 단위구로 변환될 수 있다는 것이다. 이 때문에 구의 특성은 일반적으로 단위구에 대한 연구로 줄일 수 있다.

유클리드 공간에서 단위구와 공

n차원 공간의 유클리드 공간에서, 차원 단위구는 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합 이다:

n차원 열린 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다:

그리고 n차원 닫힌 단위 공은 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합이다:

일반적인 넓이와 부피 공식

단위구의 고전적인 방정식은 반지름이 1이고 x-, y-, 또는 z-축의 교대가 없는 타원체의 방정식이다:

n차원 유클리드 공간의 단위구의 부피와 표면적은 많은 해석학의 중요한 공식에 등장한다. n차원 단위공의 부피 Vn은 감마 함수를 사용해서 표현할 수 있다:

이 때 n!!은 이중 팩토리얼이다.

(n−1)차원 단위구의 초부피 An(즉, n차원 단위공의 표면의 "넓이")은 다음과 같이 표현할 수 있다:

여기서 마지막 등식은 일 때만 성립한다.

일부 값에 따른 표면적과 부피는 다음과 같다:

  (표면적) (부피) 0   0    1 1   2    2 2   6.283    3.141 3   12.57    4.189 4   19.74    4.935 5   26.32    5.264 6   31.01    5.168 7   33.07    4.725 8   32.47    4.059 9   29.69    3.299 10   25.50    2.550
n ≥ 2일 때의 확장된 소숫점 아래는 표시된 정확도로 반올림되었다.

재귀

An값은 재귀를 만족시킨다:

 for .

Vn값도 재귀를 만족시킨다:

 for .

분수 차원

An과 Vn의 공식은 어떤 실수 n ≥ 0에 대해서도 계산할 수 있고, n이 음이아닌 정수일 때 구의 표면적과 공의 부피를 찾을 수 있는 적절한 환경이 있다.


다른 반지름

반지름이 r인 (n–1)차원 구의 표면적은 An rn−1이고, 반지름이 r인 n차원 공의 부피는 Vn rn이다. 예를 들어, 반지름이 r인 삼차원 공의 표면적은 이다. 반지름이 r인 삼차원 공의 부피는 이다.

노름 벡터 공간의 단위공

더 정확하게, 노름이 의 노름 벡터 공간 의 열린 단위구는 다음과 같다:

이것은 (V,||·||)의 닫힌 단위공의 내부이다:

후자는 전자와 그 공통 경계인 단위구의 서로소 연합이고, (V,||·||)의 단위구는 다음과 같다:

단위공의 '모양'은 전적으로 선택된 노름에 의존한다; 이것은 충분히 '모퉁이'를 가질 수도 있고, 예를 들면 Rn의 노름 l∞의 경우에는[−1,1]n처럼 보일 수도 있다. 둥근 공은 일상적인 유클리드 거리의 유한 차원의 경우에 기반하는 힐베르트 공간 노름으로 이해된다; 그 경계는 일반적으로 단위구를 의미하는 것이다. 여기에 다양한 값의 p에 대한 이차원  공간의 단위공의 그림을 그렸다 (단위공은 p < 1일 때는 오목하고 p ≥ 1일 때는 볼록하다):

모든 노름 공간의 단위공은 삼각 부등식에 의해서 반드시 볼록해야 하기 때문에 이것은 조건 p ≥ 1이 의 정의에 중요한지 보여준다.

이 이차원 단위공의 지름 에 대해서 주목하라:

은 최대값이다.
은 최솟값이다.

일반화

측도 공간
위의 세 정의 모두는 선택한 원점에 대하여 직접적으로 거리 공간으로 일반화 된다. 하지만, 위상적 고려사항(내부, 닫힘, 경계)은 같은 방법으로 적용될 필요는 없다(예를 들면, 초거리 공간에서, 이 세 개 전부는 열려있는 동시에 닫힌 집합이다). 그리고 심지어 단위구는 어떤 거리 공간에서 빌 수도 있다.

이차 형식
V가 실이차 형식 F:V → R을 가지는 선형 공간이면 { p ∈ V : F(p) = 1 }은 단위구Takashi Ono (1994) Variations on a Theme of Euler: quadratic forms, elliptic curves, and Hopf maps, chapter 5: Quadratic spherical maps, page 165, Plenum Press, F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, "Generalized Spheres", page 42, Academic Press, 또는 V의 단위 준-구 로 부를 수 도 있다. 예를 들어, 이차 형식 에 대해서 집합이 1과 같을 때, 분할복소수평면에서 "단위원"과 같은 역할을 하는 단위 쌍곡선을 만들어낸다. 비슷하게, 이차 형식 x2는 쌍대수평면의 단위 구인 선의 쌍을 얻는다.

 같이 보기 

 공
 초구
 구 (기하학)
 초타원
 단위원
 단위 디스크
 단위구 묶음
 단위정사각형
 단위정육면체

 각주 

 Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces, page 24, Springer-Verlag.
. Reviewed in Newsletter of the European Mathematical Society 64 (June 2007), p. 57. This book is organized as a list of distances of many types, each with a brief description.

 외부 링크 


분류:함수해석학
분류:1
분류:구 (기하학)