단순 리 초대수

리 초대수 이론에서, 단순 리 초대수(單純Lie超代數, )는 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수이다.

 정의 
가환환  위의 리 초대수 의 아이디얼은 의 부분 리 초대수  가운데

인 것이다.

표수 0의 체 위의 리 초대수 가 정확히 두 개의 리 초대수 아이디얼을 가질 경우, 이를 단순 리 초대수라고 한다. (이 경우, 아이디얼은 과  전체이다. 인 경우는 아이디얼이 1개이므로 해당되지 않으며, 이는 1을 소수로 간주하지 않는 것과 마찬가지다.)

표수 0의 체 위의 단순 리 초대수 가 다음 조건을 만족시킬 경우, 고전 리 초대수(古典Lie超代數, )라고 한다.
 의,  위의  리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다.

고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수를 카르탕형 대수(Cartan型代數, ) 또는 초고전적 대수(超古典的代數, )라고 하며, , , , 이 있다.

 분류 
 복소수 단순 리 초대수 
표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수들은 모두 분류되었으며, 그 목록은 다음과 같다.
 이름  기호  조건  보손 부분 대수  보손 차원  페르미온 표현  페르미온 차원 특수 선형              사영 특수 선형             직교-심플렉틱    ,         이상한             페리플렉틱             예외        9    8 예외      24    16 예외       17   14 카르탕형      (복잡함)    (복잡함)   카르탕형 특수      (복집함)    (복잡함)   카르탕형 특수      (복잡함)    (복잡함)   해밀턴형      (복잡함)    (복잡함)   
위 표에서 는 의 대칭 성분이고, 는 의 반대칭 성분이다.

이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.

이 밖에 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.

 실수체 위의 고전 단순 리 초대수 
실수체 위의 고전 리 초대수 역시 분류되었다.

 복소화  실수 형태  조건  보손 부분 대수          ,      , ,                    (이름 없음)                                     (이름 없음)    (이름 없음)                             

 예 
 일반·특수 선형 초대수 
 초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.

여기서 는 이고, 는 이다.  초행렬의 모임을 일반 선형 리 초대수(一般線型Lie超代數, ) 이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, )은 다음과 같다.

특수 선형 리 초대수(特殊線型Lie超代數, ) 는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.

단위 행렬 의 경우 이므로, 일 필요 충분 조건은 이다. 이 경우, 사영 특수 선형 리 초대수(射影特殊線型Lie超代數, ) 는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다.

 직교-심플렉틱 초대수  
직교-심플렉틱 리 초대수(直交symplectic Lie超代數, ) 는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.

여기서

이다.

 페리플렉틱 초대수와 이상한 초대수 
페리플렉틱 리 초대수(periplectic Lie超代數, ) 는 다음과 같다.

를 다음과 같이 정의하자.

이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 이상한 리 초대수(異常한Lie超代數, ) 이라고 한다.

 𝔬𝔰𝔭(4|2;α) 
 또는 는 구체적으로 다음과 같다. 이 리 초대수의 보손 리 대수는 이며, 이에 대한 페르미온 표현은 이다. 이에 따라, 지표
 (의 정의 표현의 지표)
 ( 지표)
 (의 정의 표현의 지표)
를 사용하면, 보손 생성원  및 페르미온 생성원 에 대한 리 초괄호는 다음과 같다.

이다. 여기서 는 파울리 행렬이며,

는 3차원 스피너의 전하 켤레 행렬이다.

페르미온-페르미온 리 초괄호에 등장하는 세 개의 복소수 계수 는 야코비 항등식에 의하여

을 만족시켜야 하며, 또한

이다. 즉, 은 3차원 복소수 사영 평면 의 동차 좌표를 이루며, 그 속에서 가능한 값은

으로 정의되는 사영 직선의 에 대한 몫 오비폴드이다.

이에 따라,

로 좌표를 잡으면, 그 위의 대칭군 의 작용은 다음과 같다.

이 경우, 인 점은 에 해당한다.

실수 계수의 경우, 가능한 보손 리 대수는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 보손 리 대수 !! 대칭 !! 의 조건 !! 의 동치 관계 !! 의 표준 영역
|-
|  ||  ||  ||  || 
|-
|  ||  ||  || (없음) || 
|-
|  ||  ||  ||  || 
|}

이 경우, 복소수 계수 의 가능한 값은 실수 조건을 통해 제한되며, 그  대칭 또한 위와 같이 깨지게 된다. 이 경우, 가능한 의 동치 관계는 위 표와 같으며, 이 동치 관계의 동치류들은 위 표준 영역의 원소와 일대일 대응한다.

 카르탕형 리 초대수 
체  위의 벡터 공간  위의 외대수  위의 -등급 미분들, 즉 -선형 변환

가운데

를 만족시키는 것들의 벡터 공간을 라고 하자. 의 기저 를 잡았을 때, 는 다음과 같이 표현될 수 있다.

의 -등급으로부터, 이는  위에 -등급을 정의한다. 그 위의 리 초괄호는 단순히

이며, 여기서 ± 부호는  등급에 의하여 결정된다.

만약 가 2 이상의 유한 차원 벡터 공간이라면, 이는 단순 리 초대수를 이룬다. 이를 로 표기한다.

특수 카르탕형 리 초대수() 과  및 해밀턴형 리 초대수() 은 모두 의 부분 리 초대수이다.

 역사 
단순 리 초대수의 분류는 빅토르 카츠가 1975년에 완성하였다.

 각주 







 외부 링크 



분류:초대칭
분류:리 대수