슈발레-에일렌베르크 대수

추상대수학에서 슈발레-에일렌베르크 대수(Chevalley-Eilenberg代數, )는 리 대수에 대하여 대응되는 미분 등급 대수이다. 이는 코쥘 쌍대성의 특수한 경우이다.

 정의 
체  위의 리 대수 가 주어졌다고 하자. 또한, 가 유한 차원 -벡터 공간이라고 하자.

그렇다면, 그 쌍대 공간 으로 생성되는 자유 외대수

위에 다음과 같은 미분을 다음과 같이 곱 규칙을 통해 정의할 수 있다.

이 연산이 멱영 연산인 것()은 야코비 항등식과 동치이다. 만약 지표를 쓴다면, 의 기저를 , 의 쌍대 기저를 라고 하고, 구조 상수가

라고 할 때,

이다.

그렇다면, 는  위의 자연수 등급 미분 등급 대수를 이룬다. 이를 의 슈발레-에일렌베르크 대수 라고 한다.

보다 일반적으로, 이 구성은 임의의 L∞-대수에 대하여 일반화될 수 있다.

 성질 
체  위의 유한 차원 리 대수 의 리 대수 코호몰로지는 의 슈발레-에일렌베르크 대수의 (곱셈을 잊은) 공사슬 복합체의 코호몰로지와 같다.

 예 
 아벨 리 대수 
체  위의 유한 차원 벡터 공간 에 항상 0인 리 괄호를 주자. 그렇다면, 그 슈발레-에일렌베르크 대수는 자명한 미분 이 주어진 등급 벡터 공간인 외대수

이다.

 𝔰𝔲(2) 
파울리 행렬로 생성되는 실수 리 대수

의 경우, 그 쌍대 기저

에 대하여 미분 연산은 다음과 같다.

유리수 호모토피 이론에 따라 이에 대응하는 공간은 3차원 초구인데, 이는 리 군 SU(2)가 매끄러운 다양체로서 3차원 초구와 미분 동형이기 때문이다.

 드람 코호몰로지 

매끄러운 다양체 이 주어졌을 때, 그 위의 벡터장 은 리 미분을 통해 리 대수의 층을 이룬다.

이 경우, 층의 각 단면 공간에 대하여 슈발레-에일렌베르크 대수를 구성할 수 있으며, 이 역시 층을 이룬다. 이 미분 등급 대수의 층은 미분 형식의 층

이며, 그 코호몰로지는 드람 코호몰로지이다.

 역사 
클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크의 이름을 땄다.

 외부 링크 


분류:리 대수