코시 곱

미적분학에서, 두 급수의 코시 곱()은 두 급수의 곱으로 수렴하는 급수의 하나다. 두 급수의 합성곱을 항으로 한다.

 정의 
두 복소수 항 급수  및 의 코시 곱은 다음과 같은 급수다.

두 급수의 항의 곱을 무한한 행렬

위에 배열하였을 때, 코시 곱의 번째 항은 (오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 향하는) 번째 대각선 성분들의 합이다.

 성질 
 합 
만약 두 급수 , 와 코시 곱 이 모두 수렴한다면, 코시 곱은 두 급수의 곱이다.

이는 아벨 극한 정리를 통해 보일 수 있으며, 닐스 헨리크 아벨이 처음 증명하였다.

 수렴할 충분조건 
메르텐스 정리()에 따르면, 임의의 두 수렴급수 , 에 대하여, 만약 적어도 하나가 절대 수렴한다면, 코시 곱은 수렴한다.

편의상 급수 이 절대 수렴한다고 가정하자. 다음과 같이 쓰자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

정리의 가정에 의하여, 다음과 같이 정의한 은 유한한 수이다.

임의의 을 취하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 이 존재한다.
 모든 에 대하여, 
 모든 에 대하여, 
따라서, 모든 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 은 로 수렴하며, 정리의 결론이 성립한다.

 절대 수렴할 충분조건 
임의의 두 절대 수렴 급수 ,  및 임의의 전단사 함수 에 대하여, 급수

는 절대 수렴하며,

이다. 특히, 두 절대 수렴 급수의 코시 곱은 절대 수렴한다.

 예 
두 복소수 계수 멱급수  및 의 코시 곱

은 통상적인 곱과 일치한다.

 코시 곱이 발산하는 두 수렴급수 
급수

는 교대급수 판정법에 따라 수렴한다. 이 급수의 스스로와의 코시 곱

을 생각하자. 임의의 에 대하여,

이므로

이다. 따라서, 코시 곱은 발산한다.

 역사 
프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름을 땄다.

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:급수
분류:미적분학
분류:오귀스탱 루이 코시