무한곱

해석학에서 무한곱(無限-, )은 무한 수열의 부분 유한곱의 극한이다.

 정의 
복소수 수열 의 무한곱

은 다음과 같은 극한이다.

임의의 에 대하여, 은 무한곱의 번째 부분곱(部分-, )이다. 즉, 무한곱은 부분곱의 극한이다. 만약 인 이 존재한다면, 부분곱은 번째 이후부터 0이며, 따라서 무한곱을 정의하는 극한은 0이다. 만약 이라면, 부분곱은 마찬가지로 0으로 수렴한다. 더 흥미로운 경우에 집중하기 위하여, 무한곱의 수렴성은 부분곱이 0이 아닌 수로 수렴할 것을 요구한다. 즉, 만약 부분곱의 극한이 존재하며, 0이 아니라면, 무한곱 이 수렴한다고 한다. 반대로 만약 부분곱의 극한이 0이거나 존재하지 않는다면, 무한곱 이 발산한다고 한다.

 성질 
만약 무한곱 이 수렴한다면, 이다.

복소수 수열 에 대하여, 만약 임의의 에 대하여 이라면, 다음 두 조건이 서로 동치다.
 무한곱 은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
 급수 는 수렴한다.

복소수 수열 에 대하여, 임의의 에 대하여 이며, 또한 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다고 하자.
 (양의 실수의 수열) 임의의 에 대하여, 
 (르베그 2-수렴) 
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 무한곱 은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
 급수 는 수렴한다.
일반적으로, 무한곱 이 수렴하더라도 급수 는 발산할 수 있다.

 예 
 월리스 곱 
다음과 같은 무한곱을 월리스 곱()이라고 한다.

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 다음과 같은 적분 공식을 사용하자.

임의의  및 에 대하여 이므로, 다음이 성립한다.

여기에 위와 같은 공식을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

다음과 같은 부등식에 따라 양 끝의 식은 로 수렴하므로, 월리스 공식이 증명된다.

 리만 제타 함수 

리만 제타 함수의 에서의 값은 다음과 같은 수렴하는 급수와 같다.

여기에 를 곱하면 홀수에 대한 합이 남는다.

다시 를 곱하면 2나 3의 배수가 아닌 정수에 대한 합만 남는다.

이를 모든 소수 에 대하여 반복하면 우변은 결국 1이 된다.

즉, 에서의 리만 제타 함수 값은 무한곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 같이 보기 
 삼각 함수 항등식
 연분수
 급수 (수학)
 오일러의 오각수 정리

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:수열
분류:해석학 (수학)