사다리꼴 공식 (미분방정식)

수치해석학과 계산과학에서 사다리꼴 법칙은 적분을 계산하기 위한 사다리꼴 공식에서 파생된 상미분방정식의 수치해석적 방법이다. 사다리꼴 공식은 룽게-쿠타 방법과 선형 다단계 방법 모두로 생각할 수 있는 암시적 이차 방법이다.

 방법 
아래의 미분방정식을 푼다고 가정하자.

사다리꼴 공식은 다음 공식으로 주어진다

이때 는 단계 크기이다.; 

이것은 암시적 방법이다: 값 은 등식의 양 변에 나타나고, 실제로 계산하려면 대체로 비선형인 방정식을 풀어야 한다. 방정식을 푸는 가능한 방법은 뉴턴 방법이 있다. 뉴턴 방법으로 얻은 초기 추측을 사용하여서 오일러 방법으로 해를 충분히 가깝게 근사할 수 있다.

 동기 
미분방정식을 에서 까지 적분하면 다음을 얻을 수 있다:

사다리꼴 공식을 통해서 오른쪽의 적분은 다음과 같이 근사할 수 있다:

이제 두 공식을 결합하고 과 을 사용하면, 상미분방정식을 풀기 위한 사다리꼴 공식을 얻는다.; 

 오차 해석 
미분방정식을 풀기 위한 사다리꼴 공식의 지역 절단 오차 가 다음과 같이 유계를 가질 수 있다는 것은 구적법의 사다리꼴 공식의 오차 해석을 따른다:

따라서 사다리꼴 공식은 이 차 방법이다. 이 결과는 단계 크기 h가 0으로 갈 때 전역 오차가 라는 것을 보일 때 쓰일  수 있다(자세한 부분은 점근 표기법 참조).; 

 안정성 
섬네일|핑크색 영역은 사다리꼴 방법의 안정성 영역이다.
사다리꼴 공식의 절대 안정 영역은 다음과 같다:

이것은 복소평면의 왼쪽 절반을 포함하기 때문에 사다리꼴 공식은 A-안정적이다. 이차 Dahlquist 장벽은 사다리꼴 공식은 A-안정 선형 다단계 방법 중에 가장 정확한 방법이라는 것을 설명한다. 더 정확히는 A-안정한 선형 다단계 방법은 최대 이차까지만 가질 수 있고, 이차 A-안정 선형 다단계 방법의 오차 상수는 사다리꼴 공식의 오차상수보다 나을 수 없다.

사실 사다리꼴 공식의 절대안정 영역은 정확히 평면의 왼쪽 절반이다. 이것은 사다리꼴 공식을 선형 테스트 방정식 y' = λy에 적용하면 정확한 해가 0이 되는 경우에만 수치해가 0으로 감소한다는 것을 의미한다.

 각주 

 참고 문헌 
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 같이 보기 
 크랭크-니콜슨 방법

분류:룽게-쿠타 방법