리 대수 근기

리 군론에서 리 대수 근기(Lie代數根基, )는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.

 정의 
가환환  위의 리 대수 를 생각하자. 그렇다면, 그 아이디얼()은 부분 리 대수  가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

만약 의 아이디얼 가운데, 가해 리 대수를 이루는 것들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합이 최대 원소를 갖는다면, 이를 의 근기라고 하며,

로 표기한다.

 성질 
 존재 
정의에 따라, 리 대수의 근기는 만약 존재한다면 유일하다.

만약 가 -뇌터 가군일 경우, 의 근기가 존재한다.
증명:
다음 두 조건을 증명하면, 모든 가해 아이디얼들의 합이 근기가 되므로, 근기가 (자명하게) 존재하게 된다.
 ㈎ 의 두 가해 아이디얼의 합은 가해 아이디얼이다.
 ㈏ 의 임의의 부분 가군들의 족 에 대하여, 가 되는 유한 집합 가 존재한다.

㈎의 증명:
의 두 가해 아이디얼이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 는 역시 의 아이디얼이다.

또한, 가해 리 대수의 몫과, 가해 리 대수의 가해 리 대수에 대한 확대는 역시 가해 리 대수이다.
짧은 완전열

에 의하여, 는 가해 리 대수 의 몫 의, 가해 리 대수 에 대한 확대이므로, 역시 가해 리 대수이다.

㈏의 증명:
의 -부분 가군들의 족

이 주어졌다고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 유한 부분 집합

에 대하여

라고 가정하자.

그렇다면, 선택 공리를 사용하여, 의 원소들의 열 을 다음과 같이 재귀적으로 고르자.
임의의 에 대하여, 귀류법 가정에 따라 이므로, 이다. 선택 공리를 사용하여, 를 임의로 고른다.
그렇다면, 구성에 따라

이다. 이는 가 뇌터 가군이라는 가정에 모순된다.
특히, 체 위의 유한 차원 리 대수는 항상 근기를 갖는다.

 관련 개념과의 관계 
체  위의 유한 차원 리 대수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 의 근기가 0이다.
 는 반단순 리 대수이다.

체  위의 유한 차원 리 대수에 대하여, 만약

라면, 를 가약 리 대수(可約Lie代數, )라고 한다.

 예 
가환환  위의 가해 리 대수 의 근기는 (항상 존재하며)  전체이다.

 각주 

분류:리 대수