분할 리 대수

리 대수 이론에서, 분할 리 대수(分割Lie代數, )는 특별한 형태의 카르탕 부분 대수를 갖춘 리 대수이다. 복소수체 위의 반단순 리 대수는 항상 분할 리 대수의 구조를 갖는다.

 정의 
체  위의 유한 차원 리 대수 의 카르탕 부분 대수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 분할 카르탕 부분 대수라고 한다.
 임의의 에 대하여, 가 삼각 행렬이 되는 의 -기저가 존재한다.
분할 카르탕 부분 대수를 갖는 리 대수를 분할 리 대수라고 한다.

 연산 
유한 개의 분할 리 대수 가 주어졌을 때, 그 직합

역시 분할 리 대수를 이룬다.

 성질 
대수적으로 닫힌 체 위의 모든 반단순 리 대수는 분할 리 대수의 구조를 가질 수 있다. 그러나 이는 대수적으로 닫힌 체가 아닌 체에 대하여 성립하지 않는다.

표수 0의 체  위에서, 보렐 부분 리 대수(즉, 극대 가해 부분 리 대수)를 갖는 리 대수를 준분할 리 대수()라고 한다. 이 경우, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
분할 리 대수 ∪ -반단순 리 대수 ⊆ 준분할 리 대수 ⊆ 반단순 리 대수
(여기서 는 의 대수적 폐포이다.) 만약 가 대수적으로 닫힌 체(예를 들어, 복소수체)라면, 위 포함 관계들은 모두 등호가 된다. 그러나 만약 일 때, 이는 모두 등호가 아니다.

 예 
각 복소수 단순 리 대수는 정확히 하나의 분할 실수 형식을 갖는다. 그러나 이들은 하나 이상의 준분할 실수 형식을 가질 수 있다.

복소수 단순 리 대수들 가운데, 분할이 아닌 준분할 실수 형식을 갖는 것들은 다음과 같다.

 복소수 단순 리 대수  분할 실수 형식  분할이 아닌 준분할 실수 형식               

 같이 보기 
 분할복소수
 외부 링크 



분류:리 대수