리 대수 아이디얼

리 군론에서 리 대수 아이디얼(Lie代數ideal, )은 몫을 취할 수 있는 리 대수의 부분 리 대수이다. 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념이다.

 정의 
가환환  위의 리 대수 의 부분 리 대수(部分Lie代數, ) 는 리 괄호에 대하여 닫힌 -부분 가군이다. 즉, 이며 이다.

가환환  위의 리 대수 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 리 대수 아이디얼()이라고 한다.
 -부분 가군이며, 이다.
 인 리 대수 준동형 가 존재한다.

리 대수 아이디얼에 대하여, 몫 리 대수() 를 정의할 수 있다.

 리 초대수의 경우 

위의 개념들은 리 초대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환  위의 리 초대수 의 부분 리 초대수(部分Lie初代數, ) 는 리 초괄호에 대하여 닫힌 -부분 가군이다. 즉,

이다.

가환환  위의 리 초대수 의 아이디얼() 는 다음 조건을 만족시키는 -부분 가군이다.

즉, 이라고 할 때,
 는 리 대수 의 아이디얼이다.
 는 의 표현을 이루며 (), 또한 을 만족시킨다.

 L∞-대수의 경우 

위의 개념들은 L∞-대수에 대하여 그대로 일반화될 수 있다.

가환환  위의 L∞-대수 의 부분 L∞-대수(部分L∞-代數, ) 는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차 -부분 가군이다. 즉,

이다. 여기서 은 등급 의 성분을 취하는 사영 함수이다.

가환환  위의 L∞-대수 의 아이디얼() 는 다음 조건을 만족시키는 -부분 가군이다.

특히, 일 때 이 조건은

이다. 즉, 는 의 부분 공사슬 복합체를 이룬다.

 성질 
 함의 관계 
모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 가환환  위의 리 대수 의 부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆ -부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군 ⊆ 부분 집합

 다른 성질과의 관계 
표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수 에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다.
 리 대수의 종류  리 대수 아이디얼을 통한 정의 단순 리 대수  정확히 두 개의 아이디얼 (즉, )을 가지며, 아벨 리 대수가 아님 반단순 리 대수  아벨 아이디얼은  밖에 없음 아벨 리 대수  모든 -부분 가군이 리 대수 아이디얼임   정확히 한 개의 아이디얼을 가짐

 예 
 자명한 리 대수 아이디얼 
모든 리 대수 에 대하여, 과 는 (자명하게) 의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

 직합 성분 
같은 가환환 위의 두 리 대수 , 의 직합 에서, 는 각각 의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

 리 대수 중심 
가환환  위의 리 대수 의 중심(中心, ) 은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.

이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.

 유도 리 대수 
가환환  위의 리 대수 가 주어졌을 때, 부분 공간

는 의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를 의 유도 리 대수()라고 한다.

 리 대수 근기 

리 대수 근기는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.

 외부 링크 




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