쌍대뿔

기하학에서, 쌍대뿔(雙對뿔, )은 주어진 벡터 집합의 모든 원소와의 내적이 음수가 아닌 벡터들로 구성된 부분 집합이다.

 정의 
실수 내적 공간 가 주어졌다고 하자. 의 임의의 부분 집합 의 쌍대뿔은 다음과 같은 부분 집합이다.

 성질 
실수 벡터 공간  속의 뿔은 다음 두 연산에 대하여 닫혀 있는 부분 집합 이다.
 임의의  및 에 대하여, 
 는 덧셈에 대한 모노이드이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다. (인 것은 첫째 조건에 대하여 항상 성립한다.)

실수 내적 공간  속의 임의의 부분 집합 의 쌍대뿔 은 항상 뿔이며, 볼록 집합이며, 닫힌집합이다.
증명:
 스칼라곱에 대한 닫힘: 임의의  및  및 에 대하여, 
 덧셈에 대한 닫힘: 임의의  및 에 대하여, 
 볼록성: 임의의  및 에 대하여, 이므로 
 닫힌집합:  속의 임의의 점렬 이 로 수렴한다면, 임의의 에 대하여 

실수 내적 공간  속의 임의의 부분 집합 에 대하여,

이다.
증명:
임의의 에 대하여, 일 필요 충분 조건은

인 것이다. 그런데, 이므로, 위 조건은 의 정의에 따라 자동적으로 충족된다.

실수 내적 공간  속의 임의의 두 부분 집합 에 대하여, 만약 라면,
이다.

 예 
실수 내적 공간 가 주어졌다고 하자.
 공집합 의 쌍대뿔은 이다.
 의 쌍대뿔은 이다.
 보다 일반적으로, 임의의 부분 벡터 공간 의 쌍대뿔은  (폐포)이다.
 의 쌍대뿔은 이다.

분류:선형대수학
분류:유클리드 기하학
분류:볼록기하학
분류:볼록 해석