비 해석적 매끄러운 함수

수학에서, 매끄러운 함수(무한히 미분가능한 함수)와 해석함수 는 가장 중요한 함수의 유형이다. 어떠한 실수 인자를 가지는 해석함수는 매끄럽다는것은 쉽게 증명된다. 아래의 반례와 같이 그 역은 참이 아니다

콤팩트 지지 매끄러운 함수 의 중요한 적용 중 하나는 로랑 슈바르츠의 분포이론과 같은 일반화 함수이론에서 중요한 소위 말하는 완화자의 생성의 역할을 하는 것이다.

매끄럽지만 비 해석적인 함수의 존재는 미분기하학과 해석 기하학의 핵심적인 차이점을 나타낸다. 층 이론에서, 이 차이점은 다음과 같이 설명할 수 있다: 해석적인 경우와 비교해서 미분가능한 다양체에서 미분가능한 함수의 층은 단사층이다.

다음 함수는 보통 미분가능한 다양체에서 단위 분할을 만들 때 사용된다.

 함수의 예시 

 함수의 정의 
오른쪽|프레임|문서에서 다뤄지는 비 해석적 매끄러운 함수이다.
다음의 모든 실수 x에서 정의된 함수를 생각해보자:


 이 함수는 매끄럽다 
함수 f는 실선의 모든 점 x에서 모든 차수의 연속적인 미분이 존재한다:

여기서 pn(x)은 p1(x) = 1과 다음 수식에서 재귀적으로 주어진 n − 1차 다항식이다:


 증명의 개요 
증명은 음이 아닌 정수 m에 대한 다음의 사실로부터 전개된다:

이것은 모든 f (n) 은 연속이고 x = 0에서 미분가능하다는것을 다음의 이유로 내포한다:


 상세 증명 
지수 함수의 멱급수 표현에 의해, 우리는 0을 포함한 모든 자연수 m에 대하여 다음과 같은 식을 얻는다:

왜냐하면 n ≠ m + 1인 모든 양의 항들이 더해지기 때문이다. 따라서 지수 함수의 함수식을 이용하면 다음과 같다:

이제 수학적 귀납법으로 f 의 n차 미분에 대한 공식을 증명한다..연쇄 법칙과 역함수의 미분 법칙, 지수함수의 도함수가 다시 도함수인 성질을 이용해서 x > 0이고, p1(x)가 0차 다항식일 때 f의 일계도함수의 식이 성립함을 볼 수 있다. 당연히 f의 일계도함수는 x < 0에서 0이다. x = 0에서 f의 우측 편미분이 0인 것을 보이면 된다. 위의 극한을 사용하면 다음을 알 수 있다:

n에서 n + 1으로 가는 과정은 유사하다. x > 0일 때 우리는 다음 도함수를 얻을 수 있다:

여기서 pn+1(x)은 n = (n + 1) − 1차 다항식이다. 물론 x < 일 때, f의 (n + 1)계도함수는 0이다. x = 0일 때 f (n)의 우미분계수는 다음과 같다:


 이 함수는 비 해석적이다 
앞에서 봤듯이 함수 f는 매끄럽고 원점에서 모든 미분계수는 0이다. 따라서 원점에서 f의 테일러 급수는 항상 0이다.

그리고 테일러 급수는 x > 0에서 f(x)와 같지 않다. 따라서 f는 원점에서 해석적이지 않다. 이 과정은 실수가 아닌 복소수를 변수로 가지는 미분 가능한 복소함수에서는 일어나지 않는다. 사실 모든 정칙함수의 해석성이기 때문에 f가 무한히 미분가능함에도 불구하고 해석적이지 않다는 점은 실해석학과 복소해석학의 가장 큰 차이점을 나타낸다.

함수 f가 실수 선에서 모든 차수의 도함수를 가지고 있지만, 양의 실수 절반 x > 0에서부터 다음의 함수와 같은 복소평면에서 f의 해석적 연속성을 보라.

이 함수는 본질적 특이점을 가지고 있다. 따라서 연속적이지도 않으며, 덜 해석적이다. 피카르의 정리에 의해서 이것은 원점 주변에서 무한히 자주 0을 제외한 모든 복소수를 얻는다.

 매끄러운 전이 함수 
오른쪽|프레임|여기서 정의한 0에서 1까지의 매끄러운 전이함수 g를 나타낸 그래프이다.


이 함수는 엄밀히 실수 전체에서 양수이기 때문에 g는 매끄럽다. 게다가 x ≤ 0에서 g(x) = 0이고 x ≥ 1에서 g(x) = 1이다. 따라서 따라서 이 함수는 단위 구간 [0,1]에서 0에서 1까지 매끄러운 전이를 제공한다. a < b인 실수 구간 [a,b]에서 매끄러운 전이를 갖기 위해서는 다음의 함수를 보자

실수 에서, 다음의 매끄러운 함수

는 닫힌 구간 [b,c]에서 1이며 구간 (a,d) 외부에서 0이된다.

 어떤 점도 해석적이지 않은 매끄러운 함수 
오른쪽|섬네일|여기서 나오는 모든 점에서 매끄럽지만 어떤 점에서도 해석적이지 않는 함수의 근사이다. 이 부분합은 k=20에서 2500까지를 취한다.
무한히 미분 가능하지만 어떤 점에서도 비 해석적인 더 과정적인 예는 다음과 같이 푸리에 급수의 평균을 이용하여 만들 수 있다. A := { 2n : n ∈ N }를 2의 모든 거듭제곱의 집합이라고 하자, 그리고 모든 x ∈ R 에서 정의하자

여기서  급수  는 모든 n ∈ N에서 수렴하며, 이 함수는 바이어슈트라스 M-판정법의 표준 유도 응용에 의해 쉽게 C∞의 원소라는 것을 알 수 있어서 각 급수의 도함수의 균등수렴을 증명할 수 있다. 게다가 π의 어떠한 이진 유리수배에 대해서, 즉 p ∈ N이고 q ∈ A 이며, n ≥ 4 이고 n > q인 모든 n ∈ A 차수의 도함수 에서인 ,  모든 x := π· p/q에서 다음을 얻을 수 있다.

여기서 우리는 모든 k > q에서 cos(kx) = 1이라는 사실을 사용했다. 결과적으로 그러한 어떤 x ∈ R에서

코시-아다마르 정리에 의해서 x에서 F의 수렴반경은 0이 된다. 함수의 해석성의 집합은 열린집합이고 이진 유리수들은 밀도가 높기 때문에 F는 R의 어떠한 점에서도 해석적이지 않다는 결론을 내릴 수 있다.

 테일러 급수의 적용 
실수 또는 복소수의 모든 수열 α0, α1, α2, . . . 에 대해서, 다음은 이 수들을 수직선의 원점에서 미분계수로 가지는 매끄러운 함수 F가 존재함을 나타낸다.Exercise 12 on page 418 in Walter Rudin, Real and Complex Analysis. 특히 모든 수열의 숫자는 매끄러운 함수의 테일러 급수의 계수로 나타날 수 있다. 이 결과는 에밀 보렐 이후 보렐의 보조정리로 알려져 있다.

위에서 정의한 매끄러운 전이 함수 g를 사용하여 정의 하면ː

이 함수 h역시 매끄럽다; 이 함수는 닫힌 구간 [−1,1]에서는 1이고 열린 구간 (−2,2)의 외부에서는 사라진다. h를 사용하여 0을 포함한 모든 자연수에 대하여 매끄러운 함수를 정의한다ː

이는 구간 [−1,1]에서 단항식 xn과 일치하고 구간 (−2,2) 외부에서는 사라진다. 따라서 원점에서 ψn의 k차 미분계수는 다음을 만족한다

그리고 최대 최소 정리는 ψn과 ψn의 모든 도함수들이 유계함수라는 것을 내포한다. 따라서 상수

of ψn의 균등 수렴 위상과 그것의 첫번째 n 도함수를 포함해서 잘 정의된 실수이다. 크기를 조절한 함수를 정의한다ː

연쇄 법칙을 반복적으로 적용한다

이전에 계산한 0에서 ψn의 k차 미분계수를 사용하면

우리가 구하고자 하는 함수는 다음과 같다ː

이것은 잘 정의되어 있고, 순차적으로 무한히 미분할 수 있다.See e.g. 이를 위해 모든 k에 대해서 보자

남은 무한급수는 비판정법에 의해 수렴한다

 고 차원으로 적용 
오른쪽|섬네일|280x280픽셀|일차원에서의 함수 Ψ1(x)를 나타낸 것이다 
모든 반경 r > 0에 대하여,

유클리드 노름 ||x||과 함께 n차원 유클리드 공간에서 반경이 r인 공을 지지집합으로 가지는 매끄러운 함수를 정의하지만 .

 같이 보기 
 범프 함수
 파비우스 함수
 플랫 함수
 완화자

 출처 

 외부 링크 


분류:매끄러운 함수