결합 도식

조합론에서 결합 도식(結合圖式, ) 또는 일관 구조(一貫構造, )는 어떤 특별한 조건을 만족시키는 일련의 이항 관계들이 주어진 유한 집합이며, 변 색칠이 주어진 완전 그래프로도 간주될 수 있다. 주어진 결합 도식으로부터 그 구조를 나타내는 결합 대수인 보스-메스너 대수(बसु-Mesner代數, )가 존재한다.

 정의 
결합 도식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

 조합론적 정의 
결합 도식 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 유한 집합 
 의, 개의 부분 집합들 , 
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
 ㉠ 는 의 분할을 이룬다. 즉, 이며 이라면 이며, 또한 이다.
 ㉡ 인 부분 집합 가 존재한다.
 ㉢ 
 ㉣ 임의의 에 대하여, 
 ㉤ 임의의  및 에 대하여, 는 에 의존하지 않는다.
여기서
 에 대하여, 는 를 뜻한다.
 는 의 반대 이항 관계이다.

흔히, 의 원소는 으로 표기되며, 이 경우 이다. 또한,

는 결합 도식의 구조 상수(構造常數, )라고 한다.

 행렬을 통한 정의 
결합 도식 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 유한 집합 
 자연수 
 개의, 모든 성분이 0 또는 1인  정사각 행렬들의 족 .
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
 ㉠ 는 모든 성분이 1인  정사각 행렬이다.
 ㉡ 인 가 존재한다.
 ㉢ .
 ㉣ 임의의 에 대하여, 
 ㉤ 임의의 에 대하여, 그 곱 는 의 원소들의 자연수 계수 선형 결합이다. 즉, 각 에 대하여, 인 자연수 가 존재한다.

이 두 정의는 서로 동치이다. 즉, 두 정의 사이를 번역하려면, 각 이항 관계 를 대신 정사각 행렬

로 치환하면 된다.

 기하학적 정의 
결합 도식의 개념은 거리 공간과 유사하게 정의될 수도 있다.

결합 도식 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 유한 집합 
 유한 집합 
 함수 . 이는 거리 함수(距離函數, )라고 한다.
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
 ㉡ 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이다.
 ㉢ 은 전사 함수이다.
 ㉣ 임의의 에 대하여, 라면 
 ㉤ 임의의 에 대하여, 만약 라면, 이자 가 되는 전단사 함수 가 존재한다.

이 정의 역시 나머지 두 정의와 서로 동치이다. 즉, 각 에 대하여 이항 관계

를 대응시키면 된다.

 부분 결합 도식 
같은 집합  위의 두 결합 도식  및 에 대하여, 만약 이라면, 를 의 부분 결합 도식(部分結合圖式, )이라고 한다.

 결합 도식 준동형 
다음이 주어졌다고 하자.
 유한 집합  위의 결합 도식 
 유한 집합  위의 결합 도식 
그렇다면, 결합 도식 사상() 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 함수 
 함수 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
임의의  및 에 대하여, 만약 라면, 이다.

이는 사실 이항 관계가 주어진 구조 사이의 준동형의 특수한 경우이다.

 종류 
결합 도식 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 대칭 결합 도식(對稱結合圖式, )이라고 한다.
 조합론적 정의 에서, 의 모든 원소는 대칭 관계이다. 즉, 만약 라면, 이다.
 행렬을 통한 정의 에서, 모든 는 대칭 행렬이다.
 기하학적 정의 에서, 임의의 에 대하여 이다.
결합 도식 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 가환 결합 도식(可換結合圖式,)이라고 한다.
 그 보스-메스너 대수가 가환환이다.
 조합론적 정의에서, 임의의  및 에 대하여, 
 행렬을 통한 정의 에서, 임의의 에 대하여 이다.
 기하학적 정의 에서, 임의의 에 대하여, 가 되는 자기 전단사 함수 가 존재한다.

결합 도식 이 다음 조건을 만족시킨다면, 균등 결합 도식(均等結合圖式, )이라고 한다.
 조합론적 정의 에서, 이다.
 행렬을 통한 정의 에서, 이다.
 기하학적 정의 에서, 이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
대칭 결합 도식 ⊊ 가환 결합 도식 ⊊ 균등 결합 도식 ⊊ 결합 도식

 연산 
 올 
결합 도식 이 주어졌을 때,  위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

이 동치 관계에 대한 동치류를 의 올()이라고 하자. 올들로 구성된 집합의 분할을 로 표기할 때, 다음이 성립한다.

증명:
임의의 가 주어졌으며, 귀류법을 사용하여

이라고 가정하자. 그렇다면,

이므로, 이는 결합 도식의 정의와 모순된다.
이에 따라, 결합 도식 의 임의의 올 이 주어졌을 때,

는 균등 결합 도식을 이룬다.

 직접곱 
유한 개의 결합 도식

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합

위에 이항 관계

를 줄 수 있다. 그렇다면, 는 결합 도식을 이루며, 이를 의 직접곱(直接곱, )이라고 한다.

이는 군의 직접곱의 개념의 일반화이다.

 성질 
 구조 상수 
임의의 결합 도식 의 구조 상수들 은 다음을 만족시킨다.

만약

일 때, 다음이 성립한다.

균등 결합 도식 의 구조 상수들 은 다음을 만족시킨다.

(여기서 는 크로네커 델타이다.)

 대칭 결합 도식에 대응되는 변 색칠 
대칭 결합 도식 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 원소를 꼭짓점들로 하는 완전 그래프  위에, 의 원소를 색으로 하는 변 색칠 을 정의할 수 있다.

이에 따라, 대칭 결합 도식은 특별한 변 색칠이 주어진 유한 완전 그래프로 여겨질 수 있다.

 보스-메스너 대수 
(행렬을 통한 정의의) 결합 도식 이 주어졌을 때, 의 선형 생성

은 정수 계수 결합 대수를 이룬다. 이를 에 대응하는 보스-메스너 대수라고 한다 (흔히, 정수 계수 대신 실수나 복소수 계수가 사용된다).

에르미트 수반에 대하여 닫혀 있는 복소수 행렬 결합 대수이므로, 복소수 계수 보스-메스너 대수는 항상 반단순 대수이다.

아르틴-웨더번 정리에 따라서, 복소수 계수 보스-메스너 계수는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현된다.

이에 따라, 위 분해에 등장하는 멱등원

들을 정의할 수 있으며, 이들은

를 만족시킨다 (는 크로네커 델타). 또한, 편의상

로 놓는다. 여기서 는 모든 성분이 1인  정사각 행렬(즉, 아다마르 곱의 항등원)이다. 이는 결합 도식의 공리에 따라 보스-메스너 대수의 원소이며, 0이 아닌 고윳값이 1개 밖에 없는 멱영원이므로 위 분해에 항상 등장한다.

특히, 를 로 전개하였을 때의 계수

를 정의할 수 있다.

 가환 결합 도식의 쌍대성 
가환 결합 도식 의 경우, 최소 멱등원의 수는 와 같으며, 멱영원들 은 보스-메스너 대수 의 기저를 이룬다. 이에 따라, 다음을 정의할 수 있다.

또한, 들은 모두 아다마르 곱에 대하여 닫혀 있으므로, 들의 아다마르 곱에 대한 구조 상수

를 정의할 수 있다. (아다마르 곱은 교환 법칙을 따르므로 이다.)

이에 따라, 다음과 같은 쌍대성이 존재한다.
 이항 연산 아다마르 곱   행렬의 곱 기저    기저의 직교성    멱등원 조건 의 모든 성분은 0 또는 1 (아다마르 곱의 멱등원)  의 모든 고윳값은 0 또는 1 (행렬곱의 멱등원) 항등원    기저 원소의 쌍대성    (각 성분의 복소켤레) 기저의 합    차수    차수의 합   구조 상수   기저 변환  
이 표에서, 배경색이 노란 칸은 가환 결합 도식일 경우에만 정의되는 것이다.

이에 따라, 만약 두 결합 도식 , 의 복소수 계수 보스-메스너 대수 , 가 각각

라면, 서로 쌍대()라고 한다. 즉, 반선형 변환()

를 만족시킬 경우, 이들이 서로 쌍대라고 한다.

아다마르 곱은 항상 교환 법칙을 따르므로, 쌍대성은 오직 두 가환 결합 도식 사이에만 존재할 수 있다.

특히, 해밍 결합 도식은 스스로의 쌍대이다.

 예 
다음은 인 대칭 결합 도식의 한 예이다. 여기서 이다.
{| class=wikitable
|-
! !! A !! B !! C !! D !! E !! F
|-
! A
| 0 || 1 || 1 || 2 || 3 || 3
|-
! B
| 1 || 0 || 1 || 3 || 2 || 3
|-
! C
| 1 || 1 || 0 || 3 || 3 || 2
|-
! D
| 2 || 3 || 3 || 0 || 1 || 1
|-
! E
| 3 || 2 || 3 || 1 || 0 || 1
|-
! F
| 3 || 3 || 2 || 1 || 1 || 0
|}

그 구조 상수는 다음과 같다.

여기서 가 수록되었다면 는 생략하였으며, 수록되지 않은 구조 상수는 모두 0이다.

 자명한 결합 도식 
크기가 2 이상인 임의의 유한 집합  위에

을 정의하면, 는 결합 도식을 이루며, 이를 자명한 결합 도식(自明-結合圖式, )이라고 한다. 그 구조 상수는 다음과 같다.

이는 사실 인 해밍 결합 도식과 같다.

 이산 결합 도식 
임의의 유한 집합  위에,

를 정의하면,  역시 결합 도식을 이룬다. 이를 이산 결합 도식(離散結合圖式, )이라고 한다. 그러나 일 경우 이는 균등 결합 도식이 아니다.

 작은 결합 도식 
크기 1의 결합 도식은 유일하며, 이는 대칭 결합 도식이다.
  A A 0
크기 2의 결합 도식은 다음 두 가지가 있다.
+ (가)  A  B A 0  1 B 1  0
+ (나)  A  B A 0  2 B 3  1
(가)는 자명한 결합 도식이며, (나)는 이산 결합 도식이다. (가)는 대칭 결합 도식이지만, (나)는 균등 결합 도식이 아니다.

주어진 집합  위의, 특별한 조건을 만족시키는 결합 도식의 수는 다음과 같다.
   균등 결합 도식의 수  대칭 결합 도식의 수 1 1  1 2 1  1 3 2  1 4 4  3 5 3  2 6 8  4 7 4  2 8 21  10 9 12  6 10 13  8 11 4  2 12 59  21

 해밍 결합 도식과 존슨 결합 도식 

임의의 곱집합  위에, 두 벡터 사이의 해밍 거리가 인 것을 각각 이항 관계로 삼으면, 이는 결합 도식을 이룬다. 이를 해밍 결합 도식이라고 한다.

특히, 일 때, 주어진 해밍 무게의 벡터들만을 취한 부분 결합 도식을 존슨 결합 도식이라고 한다.

 정추이적 작용 
유한군 의, 유한 집합  위의 왼쪽 정추이적 작용이 주어졌다고 하자. (특히, 이다.) 그렇다면,

를 정의하면, 는 결합 도식을 이루며, 그 구조 상수는

이다.

이에 대응하는 보스-메스너 대수는 군환

과 동형이다.

또한, 에 대응하는 결합 도식이 가환 결합 도식일 필요 충분 조건은 가 아벨 군인 것이다.

 일반적 군 작용 
유한군 의, 유한 집합  위의 왼쪽 작용이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는  위에 다음과 같이 작용한다.

그렇다면, 의 작용에 대한 궤도들은 의 분할 을 정의한다.

이 경우, 는 결합 도식을 이룬다. 또한, 이 결합 도식이 각종 조건을 만족시킬 필요 충분 조건은 다음과 같다.
 결합 도식  군의 작용 올   위의 -작용의 궤도 균등 결합 도식  가 추이적 작용 대칭 결합 도식  임의의 에 대하여, 가 되는 가 존재 자명 결합 도식  가 2-추이적 작용 이산 결합 도식  가 자명한 작용 (즉, )

 역사 
1952년에 라지 찬드라 보스와 시마모토(T. Shimamoto)가 블록 설계의 이론에 대한 응용을 위해 결합 도식의 개념 및 용어를 도입하였다. 보스와 시마모토의 논문에서, “결합 도식”()이라는 용어는 대칭 결합 대수를 뜻했다.

1959년에 라지 찬드라 보스와 데일 마시 메스너()는 보스-메스너 대수를 도입하였다.

이후 도널드 고든 히그먼(, 1928~2006)이 1970년에 군론에서의 응용을 위하여 본 문서의 결합 도식과 동치인 개념을 도입하였으며, 히그먼은 이 개념을 “일관 구조”()라고 불렀다.

 같이 보기 
 블록 설계
 각주 

 외부 링크 





분류:분산 분석
분류:실험 설계
분류:대수적 조합론