퇴플리츠 연산자

연산자 이론에서 퇴플리츠 연산자(Toeplitz operator)는 하디 공간에 대한 원 위의 곱셈 연산자의 압축이다.

자세한 내용
을 복소 평면의 단위 원으로, 표준 르베그 측도를 가지며, 을 복소수 값 제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간이라고 하자.  위의 유계 가측 복소수 값 함수 는 에 대한 곱셈 연산자 를 정의한다. 를 에서 하디 공간 로의 투영이라고 하자. 심볼 를 가진 퇴플리츠 연산자는 다음과 같이 정의된다.

여기서 " | "는 제한을 의미한다.

 위의 유계 연산자는 기저 에서 행렬 표현이 상수 대각선을 갖는 경우에만 퇴플리츠 연산자이다.

정리
 정리: 만약 가 연속이면, 는 가 집합 에 속하지 않는 경우에만 프레드홀름이다. 만약 프레드홀름이라면, 그 지수는 원점에 대한 가 그리는 곡선의 회전 수의 음수이다.

증명은 를 참조하라. 그는 이 정리를 마르크 크레인, 해럴드 위덤, 앨런 데비나츠에게 돌린다. 이것은 아티야-싱어 지수 정리의 중요한 특별한 경우로 간주될 수 있다.

 액슬러-장성룽-새러슨 정리: 연산자 는 인 경우에만 콤팩트이다.

여기서 는 의 해석 함수(음의 푸리에 계수가 0인 함수)의 닫힌 부분 대수, 는 와 에 의해 생성된 의 닫힌 부분 대수, 은 원 위의 연속 함수 공간(대수적 집합으로서)을 나타낸다. 을 참조하라.

 같이 보기 
 퇴플리츠 행렬

 각주 


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 . Reprinted by Dover Publications, 1997, .

분류:연산자 이론
분류:선형 연산자