구간의 분할

수학에서, 실직선 위의 구간 의 분할(分割, )이란 다음의

관계에 있는 실수 로 구성된 유한 수열이다.

섬네일|300px|리만 합에서 사용하는 구간의 태그된 분할. 분할 자체는 아래의 회색 선으로 표시하였고, 그 중 한 부분구간을 빨간색으로 나타내었다.

다르게 말하면, 콤팩트 구간 의 분할이란 의 시작점에서 끝점까지 순증가하는 수들로 구성된 수열이다. 각 구간 을 분할의 부분구간이라 한다.

 분할의 세분 
구간 [a,b]의 분할 와 에 대해, 가 의 모든 점을 포함할 때 를 의 세분()이라 하고 가 보다 섬세하다고 한다. 또 두 분할 와에 대하여 두 분할의 모든 점들로 구성된 분할을 공통세분이라 하고 라 쓴다. 어떤 분할이 다른 분할의 세분일 때, 더 섬세한 분할이 더 크다고 순서 관계를 정의하면 이는 부분 순서가 된다.

 분할의 노름 
아래처럼 주어진 분할

의 노름() 또는 메시()란 각 부분구간들의 길이의 최댓값
{{math|maxxi − xi−1}} : i  1, ... , n 
이다.

 태그된 분할 
주어진 구간에 대해 태그된 분할()이란 각 에 대해 다음 조건

을 만족하는 수들로 구성된 유한 수열 을 가지는 분할이다.
다시 말해 태그된 분할이란 각 부분구간들에서 점을 한 개씩 선택한 분할로, 기존 분할과 동일하게 노름을 정의한다. 태그된 분할 와 에 대해 가 의 분할 위의 모든 점들과 함께 모든 태그들, 즉 각 부분구간에서 선택한 점들을 모두 포함할 때 가 의 세분이라 한다.

 리만 합 
구간의 분할은 리만 적분과 리만-스틸체스 적분에서 사용된다. 주어진 구간의 분할이 더 섬세할수록 분할의 노름은 0에 가까워지고, 따라서 리만 합은 리만 적분값에 수렴한다.

 같이 보기 
 리만 합
 리만 적분
 집합의 분할

 각주 

 참고 문헌 


분류:실해석학