삼진 골레 부호

군론과 컴퓨터 과학에서 삼진 골레 부호(三進Golay符號, )는 마티외 군을 자기 동형군으로 갖는 삼진 선형 부호이다.

 정의 
표준형 생성 행렬

으로 정의되는,  속의 삼진 선형 부호

를 (확장) 삼진 골레 부호() 라고 한다.

확장 삼진 골레 부호에서, 임의의 한 성분을 삭제하면, 완전 삼진 골레 부호() 를 얻는다.

 성질 
확장 삼진 골레 부호는 [12,6,6]3-선형 부호이다. 즉,
 만약 각 블록마다 3개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 교정할 수 있다.
 만약 각 블록마다 5개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 발견할 수 있다.

완전 삼진 골레 부호는 [11,6,5]3-선형 부호이며, 완전 블록 부호이다. 즉,
 만약 각 블록마다 2개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 교정할 수 있다.
 만약 각 블록마다 4개 이하의 오류가 발생한다고 가정하면, 모든 오류를 발견할 수 있다.
 해밍 상계를 포화시킨다.

 부호어 
확장 삼진 골레 부호는 개의 부호어를 가지며, 그 부호어의 해밍 무게는 의 원소이다. 각 해밍 무게를 갖는 부호어의 수는 다음과 같다. 
{| class=wikitable
|+ 확장 삼진 골레 부호의 부호어
|-
! 해밍 무게 !! 부호어의 수 !! 부호어에서 값이 +1인 성분의 수
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 6 || 264 || 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
|-
| 9 || 440 || 2, 3, 4, 5, 6, 7
|-
| 12 || 24 || 1, 5, 7, 11
|}
예를 들어, 해밍 무게가 12인 부호어에서, 값이 0인 성분은 개이며, 값이 1인 성분은 1개 또는 5개 또는 7개 또는 11개이며, 값이 2인 성분은 개 또는 개 또는 개 또는 개이다.

마찬가지로, 완전 삼진 골레 부호는 개의 부호어를 가지며, 그 부호어의 해밍 무게는 의 원소이다. 각 해밍 무게를 갖는 부호어의 수는 다음과 같다. 
{| class=wikitable
|+ 완전 삼진 골레 부호의 부호어
! 해밍 무게 !! 부호어의 수 !! 부호어에서 값이 +1인 성분의 수
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 5 || 132 || 0, 1, 2, 3, 4, 5
|-
| 6 || 132 || 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
|-
| 8 || 330 || 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
|-
| 9 || 110 || 2, 3, 4, 5, 6, 7
|-
| 11 || 24 || 1, 4, 5, 6, 7, 10
|}

 대칭 
확장 삼진 골레 부호의 자기 동형군

은 마티외 군 의 2차 중심 확대이다. 즉, 다음과 같은 군 짧은 완전열이 존재한다.

또한 이다.

완전 삼진 골레 부호의 자기 동형군은 다음과 같은 마티외 군이다.

 역사 
삼진 골레 부호는 이미 1947년에 핀란드의 축구 애호가 유나히 비르타칼리오(, 필명 )가 토토칼초를 짜기 위하여 한 토토칼초 잡지 《베이카야》()에 기고한 글에 수록되었다.
 이 글에서 비르타칼리오는 다음과 같이 적었다.

이후 스위스의 수학자 마르셀 쥘 에두아르 골레(, 1902~1989)가 1949년에 1쪽도 채 되지 않는 “논문”에서 이진 골레 부호와 함께 삼진 골레 부호를 재발견하였다.

 같이 보기 
 이진 골레 부호
 각주 

 외부 링크 



분류:부호 이론
분류:군론
분류:유한체