가쿠타니 사상

수학과 경제학에서 가쿠타니 사상([角谷]寫像, )은 고정점을 가지게 되는 특별한 성질을 갖는, 정의역의 멱집합을 공역으로 갖는 함수이다.

 정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 실수 하우스도르프 위상 벡터 공간 
 의 부분 집합 
함수

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 가쿠타니 사상이라고 한다. (여기서 는 멱집합을 뜻한다.)
 각 에 대하여, 는 공집합이 아니며, 콤팩트 집합이며, 볼록 집합이다.
 각 열린집합 에 대하여, 는 의 열린집합이다.
가쿠타니 사상 의 고정점은 (만약 존재한다면) 가 성립하는 점 이다.

 성질 
가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리([角谷]-Glicksberg-[樊]固定點定理, )에 의하면, 다음이 성립한다.
실수 하우스도르프 국소 볼록 공간  속의, 공집합이 아닌, 콤팩트 볼록 집합  위의 임의의 가쿠타니 사상 은 고정점을 갖는다.

샤우데르 고정점 정리()에 의하면, 다음이 성립한다.
실수 노름 공간  속의, 공집합이 아닌, 볼록 집합  위의 임의의 가쿠타니 사상 이 주어졌다고 하자. 만약 가 콤팩트 집합이라면, 는 고정점을 갖는다.
(이 경우, 정의역이 콤팩트 집합일 필요가 없다.)

 예 
임의의 실수 하우스도르프 위상 벡터 공간 의 부분 집합  위의 연속 자기 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

를 정의하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 가 가쿠타니 사상이다.
 가 연속 함수이다.
특히, 만약 가 추가로 실수 하우스도르프 국소 볼록 공간이며 가 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합일 때, 가쿠타니-글릭스버그-판 고정점 정리에 의하여, 만약 가 연속 함수라면 인 가 존재한다. 이 특수한 경우를 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리(Brouwer-Schauder-Тихонов固定點定理, )라고 한다.

 반례 
섬네일|오른쪽|원소의 상이 볼록 집합이 아닐 때, 가쿠타니 고정점 정리의 반례. 함수 의 그래프는 검은 선으로 표시되었다. 그래프가 대각선(붉은 점선)과 교차하지 않으므로, 이는 고정점을 갖지 않는다.
가쿠타니-글릭스버그-판 고정점 정리에서, 모든 원소의 상이 볼록 집합이어야 한다는 조건을 생략한다면 이 정리는 성립하지 않는다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 생각하자.

이는 에서 는 닫힌집합이지만 볼록 집합이 아니며, 고정점을 갖지 않는다.

 응용 
가쿠타니 고정점 정리는 수리 경제학과 게임 이론에 응용된다. 특히, 내시 평형의 존재를 가쿠타니 고정점 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

 역사 
1904년에 피에르스 볼(, 1865~1921)이 3차원 유클리드 공간에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 증명하였다. 1910년에 라위트전 브라우어르와 자크 아다마르는 독자적으로 임의의 유한 차원에 대한 브라우어르-샤우데르-티호노프 정리를 증명하였다.

1930년에 율리우시 샤우데르가 브라우어르-샤우데르-티호노프 고정점 정리를 임의의 실수 바나흐 공간의 경우에 대하여 일반화하였으며, 1935년에 안드레이 티호노프가 이를 임의의 국소 볼록 공간에 대하여 추가로 일반화하였다.

가쿠타니 시즈오가 1941년에 유한 차원의 경우에 대한 가쿠타니(-글릭스버그-판) 고정점 정리를 증명하였다. 이후 어빙 레너드 글릭스버그()와 판지(, , 1914~2010)가 이를 임의의 국소 볼록 공간에 대하여 일반화하였다.

켄 빈모어()는 다음과 같은 일화를 저서에 수록하였다.

 각주 

 외부 링크 







분류:함수해석학
분류:볼록기하학 정리
분류:위상수학 정리
분류:고정점 정리