최고 무게 가군

리 대수의 표현론에서 최고 무게 가군(最高무게加群, )은 리 대수의 표현 가운데 모든 양근으로 소멸되는 어떤 벡터로 생성되는 성질을 갖는 것이다. 반단순 리 대수의 모든 유한 차원 기약 표현은 최고 무게 가군이며, 이에 대응하는 최고 무게는 정수 우세 무게이다.

 정의 
다음이 주어졌다고 하자.
 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 
 카르탕 부분 대수 . 이에 따라 근계 를 정의할 수 있다.
 의 무게 .
 에 대한 양근 집합 . 이에 따라,  위에 부분 순서 를 줄 수 있다.

의 표현 에 대하여, 만약 다음 두 조건이 성립하는 벡터 가 존재한다면,  를 최고 무게 가군이라고 한다.
 모든 양근  및 에 대하여, 
 이다.

 성질 
최고 무게 가군 의 무게의 집합

을 생각하자. 이 경우, 의 무게들의 부분 순서 집합은 항상 유일한 최대 원소를 가지며, 이를 의 최고 무게()라고 한다. 만약 가 유한 차원이라면, 이는 항상 정수 무게이자 우세 무게이다.

복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수 와 그 카르탕 부분 대수  및 양근의 집합 가 주어졌다고 하자. 최고 무게 정리()에 따르면, 다음이 성립한다.
 의 모든 유한 차원 기약 표현은 (위 데이터에 대한) 최고 무게 가군이다.
 의 두 유한 차원 최고 무게 가군 가운데, 같은 최고 무게를 갖는 것은 서로 동형이다.
 임의의 정수 우세 무게에 대하여 이를 최고 무게로 갖는 유한 차원 최고 무게 가군이 존재한다.

이에 따라, 의 카르탕 부분 대수  및 양근 를 골랐을 때, 다음 두 집합 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다.
 의 유한 차원 기약 표현들의 동형류들의 집합
 에 대한 정수 우세 무게 

 예 
 An 
단순 리 대수 의 카르탕 부분 대수는 차원이며, 따라서 총 개의 기본 무게들을 갖는다. 이 경우, 우세 무게

에 대응하는 영 타블로는 길이가 인 열을 개 갖는다. 예를 들어, 대표적인 복소 기약 표현의 최고 무게들은 다음과 같다.
 표현  최고 무게 (기본 무게 기저에 대한 계수)  영 타블로 기본     □ 반기본     □⋮□ 차 대칭 텐서    □…□ 차 반대칭 텐서     □⋮□ 딸림 표현     □□□

 Bn 
단순 리 대수 은 개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, 의 기본 무게들은 다음과 같다.

 ()는 차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. 은 디랙 스피너 표현이다.

 Dn 
단순 리 대수 은 개의 단순근을 갖는다. 정규 직교 기저에 대하여, 의 기본 무게들은 다음과 같다.

 ()는 차 완전 반대칭 텐서 표현에 대응한다. 과 은 바일 스피너 표현이다.

 참고 문헌 


 외부 링크 


분류:리 대수
분류:표현론