보렐-베유-보트 정리

리 군 이론에서, 보렐-베유-보트 정리()는 반단순 리 군의 기약 표현을 어떤 복소수 선다발의 층 코호몰로지 군으로 나타내는 정리이다.

 정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 복소수 반단순 리 군 
 극대 원환면 
 보렐 부분군 
 의 멱일 근기 . 특히 이다.

 의 정수 무게 . 즉, 군 표현 .
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
 사영 사상 을 통한 의 군 표현 
 -주다발 에 대한, 의 연관 벡터 다발 . 이는 복소수 선다발이다.
  계수의 층 코호몰로지 군 . 이는 각 자연수 에 대한 복소수 벡터 공간이다.
 또한, 가  위에 (왼쪽에서) 작용하므로, 는 층 코호몰로지 군  위에 작용한다. 즉, 층 코호몰로지 군들은 군 대수 의 왼쪽 가군을 이룬다.
또한, 다음을 정의할 수 있다.
 가 의 모든 양근들의 합 ×½이라고 하자.
 정수 무게  및 바일 군 의 임의의 원소 에 대하여, 작용 . 이에 따라 바일 군은 정수 무게 격자 위의 왼쪽 군의 작용을 갖는다.
 은 콕서터 군의 원소에 대한 길이 함수이다.
이제, 다음과 같은 두 가지 경우 가운데 하나가 성립한다.
 바일 군 작용에 대한, 의 안정자군은 자명군이 아니다 (). 이는 임의의 에 대하여 가 항상 우세 무게가 아닌 것과 동치이다. 이는 또한 어떤 양근 에 대하여 인 것과 동치이다.
 가 우세 무게가 되는 바일 군 원소 가 유일하게 존재한다. 이를 라고 하자. 또한, 우세 무게 에 대응하는 의 기약 표현이 라고 하자.
그렇다면, 각 경우에 대하여 보렐-베유-보트 정리에 따르면 층 코호몰로지 군 는 다음과 같다.


특히, 이미 가 우세 무게인 경우, 항상 경우 2가 성립하며, 이자 이다. 이 경우를 보렐-베유 정리라고 한다.

 예 
다음과 같은 경우를 생각하자.
  (2×2 복소수 특수 선형군)
  (상삼각 행렬로 구성된 부분군)


  (리만 구)
 정수 무게 . 이는 정수 에 대하여 , 으로 주어진다.
 선다발 는 리만 구의 표준 선다발의 거듭제곱 이다.
 의 근계는 1차원이며, 하나의 양근 2를 갖는다. 즉 이다.
이에 따라, 보렐-베유-보트 정리에 의하면

는 표준 (2차원) 표현의 차 대칭 거듭제곱이다.

 역사 
아르망 보렐과 앙드레 베유가 우세 무게에 대한 경우(즉, 0차 층 코호몰로지에 대응하는 경우)를 증명하였다. 이후 라울 보트가 이를 일반적 정수 무게에 대한 경우(즉, 고차 코호몰로지에 대응하는 경우)로 일반화하였다.

 참고 문헌 


 외부 링크 



분류:표현론
분류:리 군
분류:표현론 정리