에르미트 항등식

에르미트 항등식이란 샤를 에르미트가 만든 항등식으로 임의의 실수 와 양의 정수 에 대하여 항상 성립하는 항등식이다. 이는 다음과 같다.

(단, 는 가우스 기호이다. 이는 를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

 증명 
[증명 1-대수(해석)적 증명법]

라고 가정하자.

그러므로, 임을 증명하면 된다.

를 대입해 주면,

가 된다.

즉, 은 주기가 인 주기함수가 된다.

(추가로 일 때 는 주기가 인 함수이다.)

그러므로 인 에 대하여 임을 증명하면 되는 것이다.

.

.

.

위의 식을 다 더하면 .

따라서 에르미트 항등식은 성립한다.

[증명2-정수적 증명(바닥함수의 정의 이용)]

라고 가정하자. (단, 은 정수, 이다.)

임을 알 수 있다.

이때, ,

이 성립한다고 가정하면,

가 성립한다. (는 자연수)

또한, 두 부등식 , 을 연립하여 정리하면,

이 되고 양변에 를 더해 주면,

이 되고,  이므로,

이다.

따라서 이므로,

이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.

분류:항등식