모듈러 자기 동형

함수해석학에서 모듈러 자기 동형(modular自己同型, )은 힐베르트 공간의 한 단위 벡터로 정의되는, 폰 노이만 대수의 특별한 자기 동형이다. 이를 사용하여 인자 대수 및 폰 노이만 대수를 분류할 수 있다.

 정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 복소수 힐베르트 공간 
  위에 작용하는 폰 노이만 대수 
 다음 두 조건을 만족시키는 단위 벡터 
 는 의 조밀 집합이다.
 , 는 단사 함수이다.
이제, 다음과 같은 실수 선형 변환을 정의하자.

이는 복소수 반선형 변환이다.

정의역 는 의 조밀 집합이다.

의 극분해()가 다음과 같다고 하자.

, 
여기서 스펙트럼 이론을 사용하여, 모든 실수 에 대하여 를 정의할 수 있다.

도미타 정리()에 따르면, 다음이 성립한다.

여기서 는 에서 취한 중심화 부분환이다. 이에 따라,

는 의 자기 동형을 이룬다. 이를 에 대응하는 모듈러 자기 동형()이라고 한다.

 콘 모듈러 군 
임의의 대합환 가 주어졌을 때, 임의의 유니터리 원소  (즉, 인 원소)에 대하여

는 의 자기 동형을 이룬다. 이는 군 준동형

를 정의하며, 따라서 외부 자기 동형군()

을 정의할 수 있다.

폰 노이만 대수  및 위 조건을 만족시키는 두 단위 벡터 에 대하여, 각각 모듈러 자기 동형을 정의할 수 있다.

이 둘은 일반적으로 서로 다르지만, 같은 외부 자기 동형류를 정의한다. 즉, 이들이 정의하는 군 준동형

은 서로 일치한다. 이 군 준동형의 상을 콘 모듈러 군()이라고 하며, 이는 선택한 단위 벡터에 의존하지 않는, 폰 노이만 대수 고유의 불변량이다.

 성질 
콘 준동형을 사용하여 폰 노이만 대수를 분류할 수 있다. 구체적으로, 폰 노이만 대수 의 콘 준동형 를 생각하자. 그 핵 는 의 부분군이다. 만약 가 인자 대수라면, 다음이 성립한다.
 콘 준동형의 핵   인자 대수 의 분류   I종 인자 대수 또는 II종 인자 대수 의 조밀 집합 (그러나  전체가 아님)  III0종 인자 대수 무한 순환군 ,   IIIa종 인자 대수 () 자명군   III1종 인자 대수

 역사 
도미타-다케사키 이론은 도미타 미노루(, 1924~2015)가 1967년에 도입하였다. 그러나 도미타의 논문은 매우 난해하여 별로 주목받지 못했다. 이후 다케사키 마사미치(, 1933~)가 1970년에 도미타의 이론을 개량하여 출판하였으며, 이후 학계에서 주목받게 되었다.

이후 알랭 콘이 콘 모듈러 군을 정의하였다.

 참고 문헌 





 외부 링크 


분류:연산자 이론