르베그-스틸티어스 측도

측도론에서 르베그-스틸티어스 측도(Lebesgue-Stieltjes測度, )는 어떤 함수의 ‘도함수’에 해당하는 측도이다. 이를 사용한 적분을 르베그-스틸티어스 적분(Lebesgue-Stieltjes積分, )이라고 한다.

 정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 증가 함수 
그렇다면, 다음과 같은 외측도 를 정의할 수 있다.

여기서

는 실수 반(半)열린구간들의 집합족이며,

는  속의 가산 개의 반(半)열린구간들의 집합족들의 모임이며,

이다.
로 생성되는 시그마 대수 는 실수선의 보렐 시그마 대수이다. 카라테오도리 확장 정리에 의하여, 이는 보렐 시그마 대수에 제한될 경우 측도를 이루며, 이를 의 르베그-스틸티어스 측도라고 한다. 르베그-스틸티어스 측도에 대한 적분은 흔히 다음과 같이 표기한다.

 고차원 르베그-스틸티어스 측도 
우선, 임의의 집합 에 대하여, 정수 계수 형식적 합의 공간

을 생각하자. 임의의 함수 를 위 공간으로 다음과 같이 확장할 수 있다.

이 위에 다음과 같은 -선형 연산자를 정의하자.

이제, 임의의 에 대하여 다음과 같은 -선형 연산자를 정의하자.

함수

가 임의의 에 대하여 () 다음 두 조건을 만족시킨다면, 분포 함수()라고 하자.

이 경우, 위와 같은 에 대하여 다음과 같은 (외)측도를 정의할 수 있다.

이를 통해 마찬가지로 보렐 시그마 대수  위에 르베그-스틸티어스 측도

를 정의할 수 있다.

 예 
항등 함수 , 의 르베그-스틸티어스 측도는 르베그 측도라고 한다.

함수

를 생각하자. 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.

함수

를 생각하자 (). 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.

여기서 는 르베그 측도이다.

 성질 
정의에 따라, 임의의 유계 집합의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다.

 역사 
앙리 르베그와 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 땄다.

 각주 

 외부 링크 




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