보흐너 적분

함수해석학에서 보흐너 적분(Bochner積分, )은 바나흐 공간 값의 함수에 대하여 정의되는, 르베그 적분의 일반화이다.

 정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.

 -바나흐 공간 
 측도 공간 
그렇다면,  단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 이다.

(여기서 는 지시 함수이다.)

단순 함수의 보흐너 적분은 다음과 같다.

임의의 함수 에 대하여, 만약 (다음 좌변이 존재하며) 다음 등식이 성립하는 단순 함수열 이 존재한다면, 를 보흐너 적분 가능 함수라고 한다.

여기서 좌변의 적분은 실수 값의 르베그 적분이다.

이 경우, 보흐너 적분 가능 함수 의 보흐너 적분은 다음과 같다.

여기서 우변의 극한은 노름 거리 위상에 대한 것이다.

 보흐너 공간 
 보흐너 적분 가능 함수들의 -벡터 공간을 라고 하자. 그 위에 반노름

을 줄 수 있다. 이 반노름이 0인 원소들의 부분 벡터 공간에 대한 몫

을 1-보흐너 공간()이라고 한다.

 예 
만약 일 경우, 값의 보흐너 적분은 르베그 적분과 같다.

 역사 
잘로몬 보흐너가 도입하였다.

 각주 

 외부 링크 


분류:함수해석학
분류:적분