중간점 방법

응용수학의 분야인 수치 해석에서, 중간점 방법은 수치적으로 다음의 미분 방정식을 푸는 한 단계 크기의 방법이다.
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명시적인 중간점 방법은 다음의 식으로 주어진다.

암시적인 중간점 방법은 다음과 같다.

단계 이고, 는 단계 크기라고 불리는 작은 양수이다. 이고, 은 이다. 명시적 중간점 방법은 수정된 오일러 방법으로도 알려져 있으며, 암시적인 방법은 가장 간단한 배열 방법이고, 해밀턴 역학과, 사교 적분자에도 적용된다.

이 방법의 이름은 솔루션의 기울기를 위의 식에서 함수가 의 알고 있는 값인 과 우리가 찾아야 하는 의 값인 의 중점인 에서 계산하는 것에서 지어졌다.

중간점 방법의 각 단계에서의 지역 오차는 이며,전체 오차는 로 나타난다. 따라서, 오일러의 방법보다는 더욱 계산이 많은 반면에, 방법의 중간점 방법의 오차는 일반적으로 일 때, 오일러의 방법보다 더욱 빠르게 감소한다.

이 방법은 룽게-쿠타 방법이라는 높은 차수의 방법의 예시 중 하나이다.

 중간점 방법의 유도 
오른쪽|섬네일|그림은 식의 수치적분 을 나타낸 것이다. 파란색: 오일러 방법, 녹색:중간점 방법, 빨간색: 정확한 의 솔루션이다. 단계 크기는 이다.
오른쪽|섬네일|같은 수치해석의 그림이나 단계크기는 이다. 중간점 방법은 오일러 방법보다 더 빠르게 수럼한다는것을 볼 수 있다.
중간점 방법은 다음의 오일러 방법의 구체화이다.

그리고 중간점 방법은 같은 방식으로 도출된다. 오일러 방법을 유도하는 핵심은 근사적으로 같은 것이다.

이것은 기울기의 수식에서 얻은 것이다.

인 것을 기억하자.

중간점 방법의 경우, (3)이 더욱 정확하게 된다.

(2)를 대신 할 때, 우리는 다음을 찾는다.

에서 의 값을 모르는 경우에는 이 방법을 사용해서 를 구할 수 없다. 이 솔루션은 오일러 방법을 사용하여 을 구할 때처럼 테일러 급수를 사용한다:

(4)에 적용할 때, 다음과 명시적 중간점 방법 (1e)를 얻을 수 있다.

내재적 방법 (1i)은 에서 까지의 선분의 중간점으로 반 단계인 에서의 값을 근사해서 얻을 수 있다.

따라서

에 를 대입한 결과는 암시적 룽게-쿠타 방법이 된다.

첫번째 부분에서 단계 크기  암시적 오일러 방법이 포함된다.

암시적인 방법의 시간대칭성 때문에 지역 오차의 짝수 차수 항이 지워지기 때문에 자동적으로 지역오차는 이다. 명시적 오일러 방법이 암시적 방법으로 대체되면 명시적인 중간점 방법에서 k의 결과를 재결정한다.

 같이 보기 
 사각형 방법
 호인의 방법
 도약 적분과 베렛 적분

 각주 

 참조 


분류:수치미분방정식
분류:룽게-쿠타 방법