강압 쌍선형 형식

함수해석학에서 강제 쌍선형 형식(強壓雙線型形式, )은 그 대각 성분들이 양의 하한을 갖는, 실수 힐베르트 공간 위의 유계 쌍선형 형식이다.

 정의 
실수 힐베르트 공간  위의 연속 쌍선형 형식

가 다음 조건들을 만족시킨다면 강제 쌍선형 형식이라고 한다.

(일반적으로 노름 공간 는 완비 거리 공간이 아니어서 힐베르트 공간이 아닐 수 있다.)

여기서, 두 노름 공간 사이의 선형 변환의 경우 연속성은 유계 작용소인 것과 동치이므로, 연속성 조건은 다음과 같이 적을 수 있다.

 성질 
다음이 주어졌다고 하자.
 실수 힐베르트 공간 
 강제 연속 쌍선형 형식 
럭스-밀그램 정리(Lax-Milgram定理, )에 따르면, 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가 유일하게 존재한다.

또한, 다음이 성립한다.

증명:
리스 표현 정리에 따른 표준적인 동형

를 생각하자. (여기서 은 의 연속 쌍대 공간이다.)

임의의 에 대하여,

는 유계 작용소이다. 따라서

를 정의할 수 있다. 이는 함수

를 정의한다. 이는 실수 선형 변환임을 쉽게 확인할 수 있으며, 또한

이므로

이며,  역시 유계 작용소이다. (여기서 는  작용소 노름이다.)

또한,임의의 에 대하여, 강제성에 의해 어떤 양의 실수 에 대하여

이므로, 특히

이다. 이에 따라 이며, 는 단사 함수이며, 또한 의 치역은 닫힌집합이다.

이제, 가 전사 함수임을 보이면 족하다. 의 치역이 닫힌집합이므로, 임의의 임을 보이면 족하다. 임의의 에 대하여,

이므로 이다.

 역사 
럭스-밀그램 정리는 럭스 페테르와 아서 노턴 밀그램(, 1912~1961)이 1954년에 증명하였다.

 각주 

 외부 링크 







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