교환자 (환론)

환론에서 교환자(交換子, )와 반교환자(反交換子, )는 두 원소 사이의 (반)교환 법칙이 실패하는 정도를 측정하는 이항 연산이다. 교환자의 기호는 이며, 반교환자의 기호는 이다.

 정의 
환 의 두 원소 가 주어졌다고 하자. 그 교환자는 다음과 같다.

그 반교환자는 다음과 같다.

만약 의 표수가 2 또는 1이라면 교환자와 반교환자는 일치한다. 만약 교환자와 반교환자를 동등하게 다루어야 하는 경우, 간혹 위 기호 대신

가 사용되기도 한다.

 등급 대수 
가환환  위의 자연수 등급 대수

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 등급 교환자(等級交換子, )를 정의할 수 있다.

이 연산은 간혹 대신 로 표기되기도 한다.

 성질 
교환자는 다음과 같은 성질을 가진다.

정의에 따라, 임의의 환 의 두 원소 에 대하여, 가 성립할 필요 충분 조건은 인 것이다. 마찬가지로, 임의의 두 원소 에 대하여, 가 성립할 필요 충분 조건은 인 것이다.

 선형성 
환  위의 결합 대수  위의 교환자와 반교환자는 -겹선형 변환을 이룬다. 즉, (반)교환자는 다음과 같은 -가군 준동형을 정의한다.

특히, 임의의 에 대하여 -가군 준동형

이 존재한다. 특히, 의 경우 이는 교환자로 정의되는 리 대수 구조의 딸림표현이다.

 리 대수 구조 
교환자는 리 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.


 (야코비 항등식) 
이에 따라, 가환환  위의 -결합 대수가 주어졌을 때, 만약 곱 구조를 잊고 대신 교환자를 부여하면, 이는 -리 대수를 이룬다.

반대로, 임의의 리 대수가 주어졌을 때, 그 리 괄호는 리 대수의 보편 포락 대수의 교환자로 표현된다.

 미분 대수 구조 
교환자는 미분 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
 (곱 규칙) 
 (곱 규칙) 
이에 따라, 임의의 원소 에 대하여  (또는 )를 부여하면 는 미분 대수를 이룬다.

 기타 항등식 
이 밖에도 다음 항등식이 성립한다.




 작용소의 경우 
힐베르트 공간 위의 유계 작용소들의 환에서는 다음과 같은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식이 성립한다.

 응용 
힐베르트 공간에서의 두 연산자에 대한 교환자는 양자역학에서 중요한 개념중의 하나인데, 연산자로 기술되는 두 관측가능량이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이기 때문이다. 불확정성 원리는 이런 교환자에 대한 성질을 물리학적으로 해석한다.

 참고 문헌 
 Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.), Prentice Hall, 
 Liboff, Richard L. (2002), Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 

 외부 링크 






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