납땜 (수학)

미분기하학에서 납땜()은 올다발의 수직 벡터 다발과 올다발의 밑공간의 접다발 사이의 동형 사상이다. 이를 통해, 올다발의 올들이 "수평 방향"으로 붙어 있다고 간주할 수 있다.

 정의 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 매끄러운 올다발 . 또한,  역시 다양체라고 하자.
그렇다면, 의 납땜 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 매끄러운 단면 
 매끄러운 벡터 다발의 동형 . 여기서 는 의 수직 벡터 다발이며, 는 벡터 다발의 당김이다.
이에 따라, 는 다음과 같은, 값의 1차 미분 형식으로 여길 수 있다.

이를 납땜 형식(-形式, )이라고 한다.

만약 가 이미 매끄러운 벡터 다발이라면, 그 위의 납땜을 보통 암묵적으로 가 이 되게 잡는다.

 성질 
다양체  위의 매끄러운 올다발  위에 납땜이 존재할 필요 조건은 인 것이다.

 예 
다양체  위의 접다발 은 자명한 납땜 형식을 갖는다. (이 경우 이다.)

 리만 다양체 
매끄러운 다양체  위의 일반화 리만 계량 은,  공변접다발  위의 납땜  가운데 다음 조건을 만족시키는 것과 사실상 동치인 개념이다.
이며, 임의의  및 에 대하여 
위 조건은 일반화 리만 계량의 대칭성을 나타내며, 일반화 리만 계량의 비퇴화성은 가 벡터 다발의 동형이어야 한다는 것에 해당한다.

구체적으로, 일반화 리만 계량 는 벡터 다발의 동형

을 정의한다. 반대로, 위 조건을 만족시키는 납땜 이 주어졌을 때, 일반화 리만 계량

를 정의할 수 있다.

 심플렉틱 다양체 
심플렉틱 다양체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다발 사상

은 공변접다발  위의 납땜을 정의한다.

 연관 벡터 다발 
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
 매끄러운 다양체 
 리 군 
 -매끄러운 주다발 
 의 매끄러운 유한 차원 실수 표현 
이 경우, 연관 벡터 다발 를 구성할 수 있다. 이 경우,  위의 납땜은 각 에 대하여 동형 사상

로 주어진다.

즉, 이 경우 납땜 형식 는 -등변 값 1차 미분 형식

가운데, 인 것이다. 특히, 는 수평 미분 형식이다.

이 경우, 를  위의 -구조(-構造, )라고 한다.

만약 추가로 가 충실한 표현(즉, 단사 함수)일 경우, 이 경우 는 1차 틀다발 의 부분 주다발이 된다. 구체적으로, 에 대응하는 틀은 다음과 같다.

 주다발 
매끄러운 다양체  위의 매끄러운 주다발 의 납땜 의 개념은 자명하다. 이는 단면 의 존재에 따라 가 대역적으로 자명한 주다발 이 되며, 이므로 이에 따라

가 되기 때문이다. 즉, 접다발  역시 자명한 벡터 다발이 된다.

이 때문에, 보통 "주다발 위의 납땜"은 사실 그 위의 어떤 연관 벡터 다발 위의 납땜을 뜻한다.

 각주 

 외부 링크 






분류:미분 형식
분류:올다발