교대급수

미적분학에서 교대급수(交代級數, )는 양과 음의 항이 번갈아 가며 나타나는 실수 항 급수다. 교대급수 판정법(交代級數判定法, )에 따르면, 만약 교대급수의 항의 절댓값이 0으로 수렴하는 단조수열이라면, 이 급수는 수렴한다. 교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다.

 정의 
 교대급수 
음이 아닌 실수의 수열  ()에 대한 교대급수는 다음 두 급수 가운데 하나를 뜻한다.

 교대급수 판정법 
음이 아닌 실수의 수열  ()에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다고 하자.
 감소수열이다. 즉, 

그렇다면, 교대급수

는 수렴한다. 또한, 다음 부등식이 성립한다.

이를 교대급수 판정법이라고 한다.

교대급수 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우다. 디리클레 판정법에 따르면, 유계 부분합을 갖는 급수의 항과 0으로 수렴하는 단조수열을 곱한 급수는 수렴한다. 급수

는 발산하지만, 이 급수의 부분합은 유계 수열이다. 따라서 디리클레 판정법을 적용할 수 있다.

교대급수의 부분합

을 생각하자.

이므로, 이 홀수일 때 이며, 이 짝수일 때 이다. 즉, 는 증가수열이며, 은 감소수열이다. 또한,

이므로,

이다. 특히, 과 은 수열 의 하계와 상계이다. 따라서 과 은 모두 유계 수열이다. 모든 단조 유계 수열은 수렴하므로, 두 수열은 수렴한다.

라고 하자. 그렇다면,

이다. 즉, 두 수열의 극한은 같다. 따라서, 교대급수의 부분합 은 (으로) 수렴한다. 항상

이므로,

이다. 수열 을 수열 로 대체하면 부등식

을 얻는다.

 예 
모든 수렴하는 양의 실수 항 급수에 대하여, 이에 대응하는 교대급수는 절대 수렴하며, 특히 수렴한다.

교대급수

를 생각하자. 수열 은 감소수열이며, 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다. 이 교대급수에 대응하는 양의 실수 항 급수는 조화급수이며, 이는 발산한다. 즉, 이 교대급수는 오직 조건 수렴한다. 사실, 이 급수의 합은

이다. 이는 아벨 극한 정리를 통하여 보일 수 있다.

보다 일반적으로, 교대급수

를 생각하자.
 만약 이거나 , 이라면, 이 급수는 절대 수렴한다. 이는 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.
 만약 , 이거나 이거나 , 이라면, 적분 판정법에 따라 이 급수는 절대 수렴하지 않는다. 그러나, 충분히 큰 에 대하여 이므로, 은 최종적으로 감소 수열이다. 또한 은 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 조건 수렴한다.
 만약 , 이거나 이라면, 은 0으로 수렴하지 않는다. 따라서 이 급수는 발산한다.

 참고 문헌 

 외부 링크 







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분류:급수
분류:실해석학