에피사이클로이드

기하학에서 에피사이클로이드()는 주어진 원에 외접하는 임의의 한 원이 주어진 원의 곡면을 따라 회전할 때, 외접원 위의 임의의 한 점이 그리는 자취이다.

주어진 원을 기초원, 외접하는 원을 구름원이라고 한다.

 성질 
만약 작은 원의 반지름을 r, 그리고 큰 원의 반지름을 R(=kr)이라고 했을 때, 에피사이클로이드 곡선을 매개방정식으로 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

또는 다음과 같이 쓸 수 있다.

이는 복소평면을 이용하면 더 간단한 형태로 변형될 수 있다. 좌표평면에서 (x,y)를  의 꼴로 나타낼 때

위의 매개변수 방정식을 대입한 후 오일러 공식  을 이용하면

여기서

구름원의 반지름 

기초원의 반지름 

 일 때

k가 정수이면, 곡선은 닫힌 곡선이 되며, k 개의 뾰족점을 가진다.

k가 유리수인 경우, k = p/q 꼴로 단순화시킬수 있다면, p 개의 뾰족점을 가진다.

k가 무리수이면, 곡선은 닫히지 않으며, 큰 원과 반지름 R + 2r인 원 사이의 공간의 조밀 집합을 형성한다.

 길이와 넓이 
초기 점이 기초원 위에 있다고 가정하자.

가 양수일 때 에피사이클로이드의 면적은 다음과 같다.

에피사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식

를 대입하여 계산하면

로 정리할 수 있다.

에피사이클로이드의 길이는 다음과 같다.

이 식에 에피사이클로이드 곡선의 매개변수방정식을 대입하여 계산하면

 증명 
섬네일
구름원 위의 임의의 점 P의 자취를 구하고자 한다.

 를 접선 점에서 이동하는 점 P까지의 각도, 를 시작점에서 접선 점까지의 각도라고 하자.

큰 원을 기준으로 작은 원이 움직일 때, 미끄러짐이 없으므로, 다음과 같은 관계를 가진다.

각도의 정의 (호의 길이와 반지름의 비율)에 따라 ,  가 성립한다.

따라서 이라는 관계식이 성립하며, 이를 정리하면 의 형태로 기술될 수 있다.

도형에서, 구름원 위의 점 p의 위치를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 같이 보기 
 사이클로이드
 하이포사이클로이드
 에피트로코이드
 하이포트로코이드
 스피로그래프
 대원과 주전원
 유성 기어

 참고 문헌 


분류:대수 곡선