등각 벡터장

리만 기하학에서 등각 벡터장(等角vector場, )은 킬링 벡터장의 일반화이다.

 정의 
일반화 리만 다양체  위의 닮음 벡터장() 는 다음을 만족시키는, 벡터장 과 실수 의 순서쌍이다.

만약 인 경우는 는 킬링 벡터장이므로, 닮음 벡터장은 킬링 벡터장을 일반화한 것이다.

등각 벡터장() 는 다음을 만족시키는, 벡터장 과 스칼라장 의 순서쌍이다.

스칼라장 는 등각 인자(等角因子, )라고 불린다. 만약 가 상수 함수인 경우는 는 닮음 벡터장이므로, 등각 킬링 벡터장은 킬링 벡터장과 닮음 벡터장을 일반화한 것이다.

 성질 
다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
{| style="text-align: center"
! 개념
| 킬링 벡터장 || ⇒ || 닮음 킬링 벡터장 || ⇒ || 등각 벡터장 || ⇒ || 벡터장
|-
! 등각 킬링 인자가 …
| 0 || || 상수 함수 || || 임의의 스칼라 함수 || || (없음)
|}

 등각 인자의 조건 
차원 일반화 리만 다양체에서 어떤 스칼라장 가 등각 인자가 될 필요 충분 조건은 다음과 같다.

위 조건을 로 축약시키면, 모든 차원에서 등각 인자들은 라플라스-벨트라미 연산자 에 대한 조화 함수인 것을 알 수 있다. 인 경우, 이 조건은 필요 충분 조건이다. 즉, 등각 인자일 조건은 조화 함수인 조건과 동치이다.

 각주 

분류:리만 기하학
분류:일반 상대성이론