쿠라토프스키 모노이드

일반위상수학에서 쿠라토프스키 모노이드()는 주어진 위상 공간의 부분 집합 위의 폐포 · 내부 · 여집합 연산들로 구성된 모노이드이다.

 정의 
위상 공간 가 주어졌다고 하자. 이제, 문자 로 생성되는 자유 모노이드(클레이니 스타) 가 멱집합  위에 다음과 같이 작용한다고 하자.

즉, 는 폐포 연산이며, 는 여집합 연산이다.

이제,  위에 똑같이 작용하는 연산들을 서로 동치로 간주하자.

이는 합동 관계를 이루며, 이에 대한 몫 모노이드 를 의 쿠라토프스키 모노이드()라고 한다.

 분류 
 가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드 
가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드는 14개의 원소를 가지며, 다음과 같은 세 항등식으로 정의된다. (은 길이 0의 문자열이다.)
 (폐포의 멱등성) 
 (여집합의 대합성) 
 (폐포의 내부의 정칙성) 
 편의상, 내부 연산 를 정의하면, 이는 와 나머지 두 항등식으로부터 함의된다. 즉, 이는 폐포의 내부가 항상 정칙 열린집합임을 나타낸다.
이 사실을 쿠라토프스키 14개 집합 정리(Kuratowski十四個集合定理, )라고 한다. 이 모노이드를 라고 표기하자. 즉, 쿠라토프스키 14개 집합 정리에 등장하는 14개의 집합들은 다음과 같다.
 문자열  설명   위의 작용 문자열  설명   위의 작용   원래 집합     여집합     폐포     폐포의 여집합     내부     내부의 여집합     내부의 폐포     내부의 폐포의 여집합      폐포의 내부     폐포의 내부의 여집합     내부의 폐포의 내부     내부의 폐포의 내부의 여집합     폐포의 내부의 폐포      폐포의 내부의 폐포의 여집합  

그렇다면, 임의의 위상 공간의 임의의 부분 집합의 쿠라토프스키 모노이드는 의 몫 모노이드이다.

이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.

 위상 공간의 가능한 쿠라토프스키 모노이드 
임의의 위상 공간의 쿠라토프스키 모노이드는 다음 7가지 가운데 하나이다.
 ㈎  (가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드)
 ㈏ 크기 10의 모노이드. 이는 로 생성되는 합동 관계에 대한 의 몫 모노이드이다.
 ㈐ 크기 10의 모노이드. 이는 로 생성되는 합동 관계에 대한 의 몫 모노이드이다.
 ㈑ 크기 8의 모노이드. 이는 로 생성되는 합동 관계에 대한 의 몫 모노이드이다.
 ㈒ 크기 6의 모노이드. 이는 로 생성되는 합동 관계에 대한 의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 모든 열린집합이 열린닫힌집합이지만 이산 공간이 아닌 것이다.
 ㈓ 크기 2의 모노이드 (2차 순환군). 이는 로 생성되는 합동 관계에 대한 의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 필요 충분 조건은 공집합이 아닌 이산 공간인 것이다.
 ㈔ 크기 1의 모노이드 (자명군). 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가지는 위상 공간은 공집합 밖에 없다.

 ㈎ ㈏ ㈐ ㈑ ㈒ ㈓ ㈔                                                                           

 성질 
 조밀 집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합 
의 원소 에 대하여, 이 되는 특별한 부분 집합 을 생각할 수 있다. 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 6개가 있으며, 다음과 같다.

 문자열   인 부분 집합  문자열   인 부분 집합   공집합  공집합의 여집합    조밀한 곳이 없는 집합  조밀한 곳이 없는 집합의 여집합    조밀 집합의 여집합  조밀 집합    
즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립함을 알 수 있다.
조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 공집합
조밀 집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 공집합의 여집합

 열린집합·닫힌집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합 
마찬가지로, 의 원소 에 대하여, 가 되는 특별한 부분 집합 을 생각할 수 있다. 가 를 짝수 개 포함한다고 가정하면, 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 5개가 있으며, 다음과 같다.
 문자열   인 부분 집합  문자열   인 부분 집합    (임의의 부분 집합)   열린집합   닫힌집합  정칙 열린집합  정칙 닫힌집합  
즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center"
| || ⇗ || 정칙 열린집합 ⇒ 열린집합 || ⇘
|-
| 열린닫힌집합
|colspan=3| || 부분 집합
|-
| || ⇘ || 정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합 || ⇗
|}
만약 가 를 홀수 개 포함한다면, 인 것은 인 경우 밖에는 불가능하다.
증명:
이라고 가정하자. 다음과 같은 7개 경우가 있다.
 (0) 
당연히 불가능하다.
 (1) 
이 경우, 이다. 따라서 이어야 한다. 그런데 이므로 이는 불가능하다.
 (1′) 
이 경우, 는 정칙 닫힌집합이므로 인데, 이는 경우 (1)이다.
 (1″) 
이 경우, 는 정칙 닫힌집합이므로 인데, 이는 경우 (1)이다.
 (2) 
당연히 불가능하다.
 (2′) 
이 경우 는 정칙 열린집합이므로, 인데, 이는 경우 (2)이다.
 (2″) 
이 경우 는 정칙 열린집합이므로, 인데, 이는 경우 (2)이다.

 예 
실수선의 쿠라토프스키 모노이드는 이다. 구체적으로, 실수선의 다음과 같은 부분 집합을 생각하자.

그렇다면, 는  위에 서로 다르게 작용한다.

 역사 
쿠라토프스키 14개 집합 정리는 카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다.

 참고 문헌 

 외부 링크 



분류:일반위상수학
분류:반군론