칸토어-베른슈타인 정리

집합론에서, 칸토어-베른슈타인 정리() 또는 슈뢰더-베른슈타인 정리()는 두 집합 사이에 두 방향으로 모두 단사 함수가 존재한다면, 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다는 정리이다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리를 사용하지 않고 증명할 수 있다. 칸토어-베른슈타인 정리에 따라, 기수의 표준적인 순서는 부분 순서이다. 선택 공리를 추가로 가정하면, 기수의 순서가 전순서임을 보일 수 있다.

 정의 
칸토어-베른슈타인 정리는 다음과 같다.
 두 집합 와  사이에 단사 함수 와 가 존재한다면, 전단사 함수 가 존재한다.
이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

기수는 같은 수의 원소를 포함하는 집합들을 묶은 동치류로 여길 수 있다. 구체적으로, 만약 전단사 함수 가 존재한다면, 라고 정의한다 (는 의 크기를 나타내는 기수). 만약 단사 함수 가 존재한다면, 라고 정의한다. 물론, 기수의 순서 의 정의는 기수를 크기로 하는 집합의 선택과 무관하다. 이 순서는 반사 관계이며 (항등 함수는 단사 함수), 추이적 관계이다 (단사 함수의 합성은 단사 함수). 칸토어-베른슈타인 정리는 다음과 같이 적을 수 있다.
 만약 이며 라면, 이다.
즉, 기수의 순서는 반대칭 관계이며, 따라서 부분 순서이다.

정렬 집합들 사이에서는 항상 크기를 비교할 수 있다. 선택 공리를 가정하면, 모든 집합은 정렬 집합과 크기가 같으므로, 모든 집합들의 크기는 비교 가능하다. 즉, 기수의 순서는 전순서이다.

 증명 
같은 맥락의 여러 증명들이 존재한다.

 표준적인 증명 
다음과 같이 정의하자.

그러면 일련의 의 부분 집합들

을 얻는다. (자명하게 이다. 이므로 이다. 에 에 대한 상을 씌우면 를 얻는다.) 이제, 함수 를 다음과 같이 정의하자.

(는 전단사 함수일 필요가 없으므로 역함수를 가질 필요가 없지만, 공역을 제한하여 부분적인 역함수 를 정의할 수 있다.) 이제 가 단사 함수이자 전사 함수임을 보이면 충분하다.
 는 단사 함수
 는 로 제한되었을 때 이며, 그 여집합 로 제한하면 이다. 와 은 단사 함수이다. 따라서, 의 서로 다른 원소 또는 의 서로 다른 원소의, 에 대한 상은 서로 다르다. 는 의 원소를 의 원소로 보내고, 의 원소를 (스스로로 보내므로) 로 보낸다. 와 는 서로 만나지 않는다. 따라서, 의 원소와 원소의, 에 대한 상은 서로 다르다.
 는 전사 함수
 라고 하자. 이라면, 이다 (). 즉, , 이다. 가 단사 함수이므로, 인 이 존재한다. 이라면, 이다.

 쾨니그의 증명 
편의상 이라고 가정하자 (가정이 참이 아니라면, 두 집합을 크기가 같은 두 서로소 집합 와 로 대체한다). 단사 함수 와 의 부분적 역함수

를 정의하자. 임의의 에 대하여,  위의 열

을 구성할 수 있다. 마찬가지로, 임의의 에 대하여,  위의 열

을 구성할 수 있다. 이러한 열은 와 의 원소가 번갈아 가며 나타나며, 오른쪽으로는 끝없이 이어지고, 왼쪽은 끝이 없거나 (나 가 정의되지 않는) 어떤  또는 의 원소에서 끝이 난다. 임의의 항은 열을 완전하게 결정하므로, 두 열이 어떤 항을 공유한다면, 두 열은 서로 같다. 즉, 위와 같은 꼴의 열들은 을 분할한다. 따라서, 각 열에 등장하는 의 원소와 의 원소 사이의 전단사 함수를 찾으면 충분하다. 임의의 항은 열을 결정하므로, 특히 바로 다음 항을 결정한다. 즉, 임의의 항을 오른쪽의 이웃하는 항으로 대응시키는 함수는 항상 잘 정의된다. 이는 열 속 의 원소에서 열 속 의 원소로 가는 전단사 함수이거나, 반대 방향의 전단사 함수이다.

 타르스키 고정점 정리를 통한 증명 
의 멱집합 격자 는 완비 격자를 이룬다. 함수

는 순서 보존 함수이므로, 타르스키 고정점 정리에 따라 고정점 를 갖는다. 즉,

이다. 따라서, 전단사 함수

가 존재한다.

 참고 문헌 

 외부 링크 




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