보편 완비 가측 공간

측도론에서, 가측 공간 위의 보편 완비 가측 공간(普遍完備可測空間, )은 모든 시그마 유한 완비화에 대하여 가측 집합이 되는 부분 집합들만을 가측 집합으로 삼는 가측 공간이다.

 정의 
측도 공간 이 다음 조건을 만족시킨다면, 시그마 유한 측도 공간()이라고 한다.
 인 가산 집합 가 존재한다.

가측 공간  위의 시그마 유한 측도들의 집합을 라고 표기하고,  위의 확률 측도들의 집합을 라고 표기하자. 그렇다면, 집합족 를 다음과 같이 정의하자.

이다. 여기서 는 측도 에 대한 의 완비화이다.
두 항의 일치의 증명:
시그마 유한 완비 측도 공간 에 대하여, 같은 가측 집합들과 영집합들을 갖는 확률 공간 구조 를 구성하면 족하다.

시그마 유한 조건의 정의에 따라

라고 하자. 그렇다면,

를 정의하고, 또한  위에 다음과 같은 두 측도를 정의하자.

그렇다면, 는 확률 공간을 이룬다. 또한,

인 것은 쉽게 확인할 수 있다.
의 원소를 -보편 가측 집합(-普遍可測集合, )이라고 한다.  역시  위의 가측 공간 구조를 이루며, 를 의 보편 완비화(普遍完備化, )라고 한다. 만약 라면, 를 보편 완비 가측 공간이라고 한다.

 성질 
만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC + ‘실수선의 보렐 가측 공간은  개의 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 무모순적이다.

만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC + ‘실수선의 보렐 가측 공간은 준열린집합이 아닌 보편 가측 집합들을 갖는다’도 역시 무모순적이다.

 예 
유클리드 공간의 보렐 가측 공간 위의 르베그 측도는 시그마 유한 완비 측도이다. 따라서, 모든 보편 가측 집합은 르베그 가측 집합이나, 그 역은 성립하지 않는다.

폴란드 공간의 보렐 가측 공간 위의 모든 해석적 집합은 보편 가측 집합이다. 사영 결정 공리를 가정한다면, 폴란드 공간의 보렐 가측 공간 위의 모든 사영 집합은 보편 가측 집합이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 


분류:측도론