점류

집합론에서 점류(點類, )는 어떤 구체적 범주(예를 들어, 폴란드 공간들의 범주)의 각 대상에 대하여 그 부분 집합들의 집합족을 대응시키며, 특정 함수 아래의 원상에 대하여 닫혀 있는 구조이다.

 정의 
구체적 범주 가 주어졌다고 하자. 집합과 함수의 범주  위에는 다음과 같은 멱집합 자기 함자가 존재한다.

그렇다면, 는  위의 준층을 이룬다. 의 부분 준층을  위의 점류라고 한다. 즉, 구체적으로 점류 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
 임의의 대상 에 대하여, 집합족 
 또한, 임의의 부분 집합  및 사상 에 대하여, 만약 라면 이다.

구체적 범주  위의 점류 에 대하여, 는 다음과 같은 점류이다.

이를 의 쌍대 점류(雙對點類, )라고 한다. 또한,  위의 점류들의 집합 에 대하여,

역시 점류이다. 특히, 를 의 모호 점류(模糊點類, )라고 한다.

흔히 가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 이거나, 또는 표준 보렐 가측 공간과 보렐 가측 함수의 구체적 범주 를 사용한다.

 성질 
임의의 기수  및 점류 에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, 가  미만 합집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.
 임의의 대상  및 에 대하여, 만약 라면 이다.
임의의 기수  및 점류 에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, 가  미만 교집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.
 임의의 대상  및 에 대하여, 만약 라면 이다.
만약 라면, 가 여집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.

 폴란드 공간의 점류 
가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 인 경우를 생각하자.

 위의 점류 에 대하여, 다음 성질들을 정의하자.
 임의의 폴란드 공간  및 집합렬 에 대하여, 이라면, 가 합리적 점류(合理的點類, )라고 한다. (여기서 은 자연수 집합으로 여긴 가산 무한 이산 공간이다.)
 위의 점류  및 기수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 가 -분리 성질()을 만족시킨다고 한다.
임의의 폴란드 공간  및 임의의 집합족 에 대하여, 만약 이며 이라면, 이자 인 가 존재한다.
 위의 점류  및 기수 가 다음 조건을 만족시킨다면, -축소 성질()을 만족시킨다고 한다.
임의의 폴란드 공간  및 임의의 집합족 에 대하여, 만약 이라면, 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 가 존재한다.




 위의 점류 가 만약 가산 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 축소 성질을 갖는다면, 는 가산 분리 성질을 갖는다.

 균등화 성질 
섬네일|right|집합  (푸른색)의 균등화  (붉은색)
집합 ,  및 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 균등화 집합() 은 다음 조건들을 만족시키는 집합이다.
 임의의 에 대하여, 인 가 유일하게 존재한다.

폴란드 공간 가 주어졌을 때,  위의 점류 가 다음 조건을 만족시킨다면, -균등화 성질(-均等化性質, )을 만족시킨다고 한다.
임의의 폴란드 공간 과 부분 집합 에 대하여, 의 균등화 가 존재한다.
모든 폴란드 공간 에 대하여 -균등화 성질을 만족시키는 점류의 경우, 균등화 성질을 만족시킨다고 한다.

그렇다면,  위의 점류 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 합리적이며, 가산 분리 성질을 갖는다.
 합리적이며, -균등화 성질을 갖는다. (은 가산 무한 이산 공간이다.)

 계급 점류 
구체적 범주  위의 점류 와 폴란드 공간  및 그 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 에 대하여, 만약 다음 세 조건을 모두 만족시키는,  위의 두 이항 관계 , 가 존재한다면, 가  위의 -계급 함수(-階級函數, )라고 한다.


 임의의  및 에 대하여, 이다.

 위의 점류 가 다음 조건을 만족시킨다면, 계급 점류()라고 한다.
임의의 폴란드 공간  및 에 대하여, -계급 함수가 존재한다.

계급 점류 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
 모든 열린닫힌집합들을 포함한다. 즉, 이다.
 가산 교집합과 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
그렇다면, 는 가산 축소 성질과 -균등화 성질과 가산 분리 성질을 만족시킨다.

 눈금 
폴란드 공간 의 부분 집합  위의 계급 함수의 열 이 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금()이라고 한다.
 속의 임의의 점렬 에 대하여, 만약
 는  속에서 로 수렴하며,
 이 되는 와 가 존재한다면,
이자 이다.

 위의 점류  및 폴란드 공간  및 그 부분 집합  및  위의 눈금 에 대하여, 만약 모든 에 대하여 가 -계급 함수라면, 를 -눈금이라고 한다.

 위의 점류 가 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금 점류()라고 한다.
임의의 에 대하여,  위의 -눈금이 존재한다.

눈금 점류는 항상 계급 점류이다.

 위의 눈금 점류 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, 이다.
 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
 (쌍대 사영에 대핟 닫힘) 임의의 에 대하여, 이다.
그렇다면, 는 균등화 성질을 갖는다.

즉, 만약 폴란드 공간의 점류 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, 이다.
 보렐 가측 함수의 원상에 대하여 닫혀 있다.
 가산 합집합과 가산 교집합 및 쌍대 사영에 대하여 닫혀 있다.
 합리적 점류이다.
그렇다면, 다음 함의 관계가 존재한다.
{| style="text-align: center"
| 눈금 점류 || ⇒ || 계급 점류 || ⇒ || 가산 축소 점류 || ⇒ || 가산 분리 점류의 쌍대 점류
|-
| ⇓
| colspan=3 | || ⇳
|-
| 균등화 점류
| colspan=3 | ⇒ || -균등화 점류
|}

 주기성 정리 
 위의 점류 가 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.
 모든 보렐 집합을 포함한다.
 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다.
 사영에 대하여 닫혀 있다.
 임의의 에 대하여, 는 결정 집합이다.
 눈금 점류이다.
그렇다면, 주기성 정리()에 따르면,  역시 눈금 점류이다.

특히, 사영 위계의 집합들은 결정 집합·눈금 점류 성질을 제외한 나머지를 만족시킨다. 은 눈금 점류이므로, 따라서 만약 사영 결정 공리를 가정할 경우, 과 는 눈금 점류가 된다.

 예 
보렐 위계의 단계들 , , 은  위의 점류를 이룬다 (즉, 연속 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).

사영 위계의 단계들 , , 은  위의 점류를 이루며, 또한  위의 점류를 이룬다 (즉, 보렐 가측 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).

 각주 

분류:집합론