닫힌 원순서 집합

순서론에서 닫힌 원순서 집합(-原順序集合, )이란 모든 사슬이 상계를 갖는 원순서 집합이다.

 정의 
원순서 집합 의 정렬 사슬은 정렬 전순서 집합을 이루는 사슬이다. 의 정렬 사슬들의 집합을 로 표기하자.

원순서 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, 닫힌 원순서 집합()이라고 한다.
임의의 사슬 에 대하여, 만약 가 정렬 전순서 집합이라면, 는 상계 를 갖는다.
사실, 모든 전순서 집합은 공종 정렬 전순서 집합을 가지므로, 위 정의에서 "정렬 사슬"을 모든 사슬에 대하여 강화시킬 수 있다.

보다 일반적으로, 순서수 에 대하여, 원순서 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, -닫힌 원순서 집합()이라고 한다.
임의의 사슬 에 대하여, 만약 가 정렬 전순서 집합이며 그 순서형이  미만이라면, 는 상계 를 갖는다.
만약 라면, 가 -닫힌 원순서 집합인 것은 닫힌 원순서 집합인 것과 동치이다.

 성질 
 초른 보조정리 

초른 보조정리에 따르면, 닫힌 원순서 집합 에 대하여, 이다. 여기서 는 하폐포이며, 는 의 극대 원소들의 집합이다.

 부르바키-비트 정리 
원순서 집합 가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. 또한, 자기 함수 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

부르바키-비트 정리(Bourbaki-Witt定理, )에 따르면, 임의의 에 대하여, 는 에 속한, 하나 이상의 고정점을 갖는다.

초른의 보조 정리를 통한 증명:
임의의 에 대하여, 초른의 보조 정리를 사용하여 을 고를 수 있다. 그렇다면 극대 원소의 정의에 의하여 이다.
직접적인 증명:
가 주어졌다고 하자. 함수

가,  속의 정렬 사슬을 그 상계에 대응시킨다고 하자 ().

귀류법을 사용하여, 가 닫힌 원순서 집합이며, 임의의 에 대하여 라고 하자. 그렇다면, 임의의 순서수 에 대하여 다음과 같은 점렬을 재귀적으로 정의하자.

귀류법 가정 아래 는 정렬 전순서 집합이다. 따라서, 이는 순서 보존 함수 를 정의한다. 그런데 모든 순서수의 고유 모임 은 집합이 될 수 없으므로, 인 가 존재한다. 이는 귀류법 가정과 모순이다.

 강제법 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 ZFC의 표준 추이적 모형 
 두 집합 
 . 여기서 는 에서 기수가 되는 순서수들의 집합이다.
 원순서 집합 
 의 부분 집합 
또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

 는 -닫힌 원순서 집합이다
 는 의 포괄적 순서 아이디얼이다
그렇다면,  함수들은 과  강제법 모형  사이에서 절대적이다. 즉,  속의 임의의 함수 는 이미 의 원소이다.

특히, 이와 같은 경우  속의,  이하의 공종도 및  이하의 기수들이 보존된다.

 역사 
부르바키-비트 정리는 1950년대 말에 니콜라 부르바키와 에른스트 비트가 증명하였다.

 각주 

분류:순서론