정규 함수

집합론에서 정규 함수(正規函數, )는 그 도함수를 취할 수 있는, 정의역과 공역이 순서수의 모임인 연속 증가 함수이다. 이를 사용하여 매우 큰 가산 순서수들을 나타낼 수 있다.

 정의 
집합론적 문제를 피하기 위하여, 비가산 도달 불가능한 기수 를 고르자. (만약 모임 이론을 사용한다면 로 놓을 수 있다. 여기서 는 모든 순서수들의 모임이다.)

자기 함수

가 다음 조건을 만족시킨다면 정규 함수라고 한다.
 순증가 함수이다. 즉, 임의의 두 순서수 에 대하여, 이다.
 순서 위상에 대하여 연속 함수이다. 즉, 극한 순서수 에 대하여, 이다.

 성질 
정규 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.
 임의의 에 대하여, 
증명:
귀류법을 사용하자.

라면 이자 이므로 모순이다.
 임의의 순서수들의 집합 에 대하여, 
증명:
가 증가 함수이므로 이다. 따라서 를 증명하면 족하다. 반대로, 에 대하여,
 만약 이라면, 이며, 따라서 이다.
 만약 이라고 하자. 그렇다면 이다.

 도함수 
베블런 고정점 정리(Veblen固定點定理, )에 따르면, 의 고정점들의 모임의 상한은 이다.
증명:
임의의 순서수 에 대하여,

를 정의하면,

이다.
이에 따라, 정규 함수 의 도함수(導函數, ) 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
는 의 번째 고정점이다.
정규 함수의 도함수 역시 정규 함수이다. 따라서, 이를 반복하여 모든 유한 순서수 에 대하여 도함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 양의 극한 순서수 에 대하여, 그보다 작은 차수의 도함수들의 공통된 고정점들의 집합

은 와 순서 동형이며, 따라서 이를 열거하여 를 위 공통 고정점 집합의 번째 원소로 정의할 수 있다.

이와 같이, 의 초한 도함수들을 모두 정의할 수 있다. 이 초한 함수열을 의 베블런 위계()라고 한다.

특히, 순서수 에 대하여 진 베블런 위계()란 정규 함수 에 대한 베블런 위계를 뜻하며, 정규 함수를 명시하지 않고 "베블런 위계"라고 하면 의 베블런 위계를 뜻한다.

 예 
다음과 같은 함수들은 정규 함수이다.
 임의의 순서수 에 대하여,  (그러나 은 정규 함수가 아니다)
 임의의 순서수 에 대하여, 
 임의의 순서수 에 대하여, 
 알레프 수 
 베트 수 
(마지막 두 예는 도달 불가능한 기수는 알레프 함수와 베트 함수의 고정점이기 때문이다.)

 역사 
정규 함수의 개념과 베블런 고정점 정리는 오즈월드 베블런이 1908년에 도입하였다. 베블런은 정규 함수를 "연속 증가 함수"()라고 불렀다.

 각주 





 외부 링크 


분류:집합론