공종 집합

순서론에서 공종 집합(共終集合, )은 그 하폐포가 전체 집합인, 원순서 집합의 부분 집합이다.

 정의 
원순서 집합 의 공종 집합(共終集合, ) 는

가 성립하는 부분 집합이다. 여기서 는 하폐포를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립한다.

쌍대적으로, 원순서 집합 의 공시작 집합(共始作共終, ) 는

가 성립하는 부분 집합이다. 여기서 는 상폐포를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립한다.

원순서 집합 의 공종 집합 및 공시작 집합들은 각각 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이들을 각각 와 로 나타내자.

집합  및 원순서 집합  사이의 함수 의 치역이 의 공종 집합이라면, 를 공종 함수()라고 한다.

 성질 
 추이성 
원순서 집합 의 두 부분 집합 에 대하여,
 만약 가 의 공종 집합이며 가 의 공종 집합이라면 는 의 공종 집합이다.
 만약 가 의 공시작 집합이며 가 의 공시작 집합이라면 는 의 공시작 집합이다.

 극대 · 극소 공종 집합 
그렇다면, 와 의 최대 원소는 이다. 또한, 공종 집합들의 족의 합집합은 공종 집합이며, 공시작 집합들의 족의 합집합은 공시작 집합이다. 따라서, 원순서 집합 에 대하여 와  둘 다 모든 상한을 갖는다.

그러나 두 공종 집합의 교집합은 공종 집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, 자연수의 전순서 집합 에서, 짝수의 집합 과 홀수의 집합 은 각각 공종 집합이지만, 그 교집합인 공집합은 공종 집합이 아니다.

원순서 집합 이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
 임의의 에 대하여, 와 비교 가능한 극대 원소 가 존재한다.
그렇다면, 의 부분 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 공종 집합이다.
 임의의 극대 원소 에 대하여, 인 가 존재한다. 즉, 이다.
특히, 가 추가로 부분 순서 집합이라면, 의 최소 원소는  (즉, 의 최대 원소들의 집합)이다.

 예 
자연수의 전순서 집합 의 부분 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 공종 집합이다.
 는 무한 집합이다.

전순서 집합 의 부분 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 는 의 공종 집합이다.
 만약 가 최대 원소 를 갖는다면, 이다. 만약 가 최대 원소를 갖지 않는다면, 는 상계를 갖지 않는다.

 외부 링크 




분류:순서론