포괄적 필터

순서론에서 포괄적 필터(包括的filter, )는 모든 공시작 집합과 겹치는 필터이다. 이 개념은 강제법에 응용된다.

 정의 
원순서 집합 가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터 를 의 포괄적 필터()라 부른다.
  모든 공시작 집합 에 대하여, 
집합론에서는 공시작 집합을 ‘조밀 집합()’이라고 부르기도 한다.

위 정의를 일반화해서  속의 집합족 가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터 를 -포괄적 필터()라고 부른다.
 모든 에 대하여, 

마찬가지로, 원순서 집합 에 대해서 다음 조건을 만족시키는 순서 아이디얼 를 포괄적 순서 아이디얼()이라 부른다.
 모든 공종 집합 에 대하여, 
마찬가지로 -포괄적 순서 아이디얼을 정의할 수 있다.

 성질 
 라시오바-시코르스키 보조정리 

ZFC를 가정하면 다음이 성립한다:

라시오바-시코르스키 보조정리의 증명:
라고 하자. 그렇다면, 원소열 을 다음과 같이 정의하자.

 가 주어졌을 때, 이 공시작 집합이므로, 인 를 선택 공리를 사용하여 고른다.
그렇다면

는 -일반 필터이다. (여기서 는 상폐포를 뜻한다.)

 응용 
흔히, 강제법에서는 집합론의 표준 추이적 모형 을 다루는데, 이 경우 강제법 원순서 집합  속의, 의 원소인 공시작 집합들의 집합

에 대한 -포괄적 필터 또는 순서 아이디얼을 사용한다.

 역사 
라시오바-시코르스키 보조정리는 1950년에 와 가 증명하였다. 그들은 이를 이용해 괴델의 완전성 정리를 집합론적인 접근법으로 증명했다.

 각주 

분류:강제법
분류:순서론