멱등원

환론과 모노이드 이론에서, 멱등원(冪等元, )은 거듭제곱하여도 변하지 않는 원소이다.

 정의 
 범주의 멱등 사상 
범주 의 자기 사상 가 를 만족시킨다면, 를 의 멱등 사상()이라고 한다.

만약 이며 가 되는 사상 , 가 존재한다면, 를 분할 멱등 사상()이라고 한다.

의 카루비 껍질() 는 다음과 같은 범주이다.
 의 대상 는 의 대상 과  위의 멱등 사상 의 순서쌍이다.
 의 사상 는 의 사상  가운데, 인 것이다.

  위의 항등 사상은 이다.
카루비 껍질에서, 모든 멱등 사상은 분할 멱등 사상이다.

그렇다면, 충실충만한 함자

가 존재한다. 또한, 준층 범주의 동치

가 존재하며, 이에 따라 충실충만한 함자

가 존재한다.

 모노이드의 멱등원 
모노이드 의 원소 가 을 만족시킨다면, 를 의 멱등원이라고 한다.

모노이드 의 멱등원들만으로 구성된 집합 에서, 만약

가 성립한다면, 가 직교 멱등원 집합()이라고 한다.

모든 원소가 멱등원인 모노이드를 멱등 모노이드()라고 하며, 그 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 개의 원소로 생성되는 자유 멱등 모노이드의 집합의 크기는 다음과 같다. 

 환의 멱등원 
환은 곱셈 모노이드를 이루며, 환의 멱등원이란 곱셈에 대한 멱등원을 뜻한다.

환 의 멱등원 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 원시 멱등원()이라고 한다.
 는 -분해 불가능 오른쪽 가군이다.
 는 -분해 불가능 왼쪽 가군이다.
 환 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
 이자 , 인 멱등원 가 존재하지 않는다.

환 의 멱등원 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 멱등원을 국소 멱등원()이라고 한다.
 오른쪽 가군 자기 사상환 는 국소환이다.
 왼쪽 가군 자기 사상환 는 국소환이다.
 는 국소환이다.

모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.

 예 
 멱등 함수 
집합의 범주 에서의 멱등 사상은 멱등 함수()라고 한다. 즉, 집합  위의 함수 가 다음 조건을 만족시키면,  위의 멱등 함수라고 한다.
 임의의 에 대하여, 
멱등 함수 의 경우, 고정점 집합과 상이 일치한다.

또한, 이는 함자

를 이루며, 이는 충실충만한 매장

의 오른쪽 수반 함자를 이룬다.

멱등 함수의 예로서 다음을 들 수 있다.
 위상 공간 에 대하여, 폐포 는 멱등 함수이다. 그 상이자 고정점 집합은 닫힌집합들이다.
 함수 가 으로 정의되었을 때, 는 멱등 함수이다. 의 상이자 고정점 집합은 산술 평균이 0인 원소들이다. 이는 분산의 정의에서 산술 평균 대신 제곱 평균을 사용하는 한 가지 동기가 된다.

 외부 링크 








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