디니 정리

미적분학에서, 디니 정리()는 콤팩트 공간 위에 정의된 실수 값 연속 함수들의 단조수열이 연속 함수로 점별 수렴한다면, 균등 수렴한다는 정리이다.

 정의 
에서 정의된 실함수열 이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

 는 의 컴팩트 부분집합이다. (즉, 하이네-보렐 정리에 의해 는 유계인 닫힌집합이다.)
 은 단조(즉, 증가거나 감소)인 연속함수열이다. (i.e.,   )
 이 에서 연속인 (극한)함수 로 점별 수렴한다. (i.e,  continuous function  such that  on )

그렇다면, 이 에서 로 균등 수렴한다. 즉,

 on 

이다.

 증명 
일반성을 잃지 않고, 이 증가하는 연속함수열이라 하자. (만약 이 감소하는 연속함수열이라면 함수의 부호를 바꿔서 생각하면 된다.)
함수 을 이라 정의하자. 조건에 의해 와 는 연속함수이므로 도 연속함수이다.

먼저, 집합 을 이라 정의하자. 집합 의 정의에 의해 임을 알 수 있다.
또한 는 에서 열린집합이고 이 연속함수이므로  의 역상 은 에서 열린집합이다.

이제 임을 보이기 위해 라 하자.
조건에 의해 이 에서 연속인 극한함수 로 점별 수렴하므로, 이다.
따라서, 일 때 이 되도록 하는 양의 정수 이 존재한다.
과 의 정의에 의해  임을 알 수 있으므로  이 성립한다.

따라서, 집합족 를 이라 정의하면 는 의 열린덮개가 된다.
는 조건에 의해 콤팩트이므로 의 유한 열린 부분 덮개 이 존재하여 이다. 특히 임의의 양의 정수 에 대해 이므로, 이다. 따라서, 이다.
또한 임을 알 수 있으므로, 양의 정수 에 대하여 이다.

이제, 본격적으로 증명을 마무리하면 다음과 같다.
임의의 에 대하여 이고 라고 하자.
그러면 이므로 이다.
또한 가정에 의해 이 증가하는 연속함수열이므로,  임을 알 수 있다.
따라서 이다. 즉, 이 에서 로 균등 수렴한다.

 각주 

분류:실해석학 정리