균등 수렴 위상

해석학에서 균등 수렴 위상(均等收斂位相, )은 일반위상수학적인 극한이 균등 수렴과 일치하게 하는, 함수 공간 위의 위상이다. 이 경우, 공역에 위상 벡터 공간 또는 (보다 일반적으로) 균등 공간 구조가 필요하다. 만약 공역에 거리 공간이나 노름 공간과 같은 구조가 주어지면, 이 위상 및 균등 공간 구조와 호환되는 균등 거리 함수() 및 균등 노름()을 정의할 수 있다.

 정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 집합 
 균등 공간 
그렇다면, 함수 집합  위에 다음과 같은 기본계를 통해 균등 공간 구조를 부여할 수 있다.

이를  위의 균등 수렴 균등 구조라고 하며, 이로부터 유도되는 위상을 균등 수렴 위상이라고 한다.

보다 일반적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 집합 
 의 덮개 
 균등 공간 
그렇다면, 함수 집합  위에 다음 조건을 만족시키는 가장 엉성한 균등 공간 구조를 부여할 수 있다.
 임의의 에 대하여, 제약 사상 는 (에 균등 수렴 균등 구조를 부여할 때) 균등 연속 함수이다.
이를  위의 -균등 수렴 균등 구조라고 하며, 이로부터 유도되는 위상을 -균등 수렴 위상이라고 한다.

만약 가 한원소 덮개라면 -균등 수렴 균등 구조는 균등 수렴 균등 구조와 같다. 만약 가 의 유한 부분 집합들로 구성된 덮개라면, -균등 수렴 균등 구조는 곱 균등 구조이다. 만약 가 위상 공간이며, 가 콤팩트 집합들로 구성된 덮개라면, -균등 수렴 균등 구조는 모든 콤팩트 집합 위에서 균등 수렴을 수렴 조건으로 하는 균등 구조이다.

 균등 거리 함수 
확장 거리 함수()는 거리 함수와 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수 이다. 확장 거리 함수 에 대하여 는 거리 함수를 이루며, 와 은 같은 위상을 정의한다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 집합 
 거리 공간 
그렇다면,  위에 다음과 같은 확장 거리 함수를 부여할 수 있다.

이를  위의 균등 수렴 확장 거리 함수() 또는 단순히 균등 거리 함수()이라고 한다. 균등 수렴 확장 거리 함수가 유도하는 균등 구조는 균등 수렴 균등 구조와 일치한다.

 균등 노름 
벡터 공간  위의 확장 노름()은 노름과 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수 이다. (이때 으로 놓는다.)

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 집합 
 노름 공간 

그렇다면, 함수 집합  위에 다음과 같은 확장 노름을 부여할 수 있다.

만약 이를 유계 함수의 집합

으로 국한한다면, 이는 참된 노름을 정의한다. 이를 균등 노름() 또는 상한 노름()이라고 한다. 균등 노름이 유도하는 거리 함수는 (확장 노름에 대응하는 확장 거리 함수에 대한) 균등 수렴 확장 거리 함수와 일치한다.

 성질 
만약 가 완비 균등 공간이라면,  위의 균등 수렴 균등 구조 역시 완비 균등 공간이다.

 참고 문헌 

 외부 링크 




분류:일반위상수학
분류:함수해석학
분류:위상 벡터 공간