불변 부분 공간

선형대수학에서, 선형 변환의 불변 부분 공간(不變部分空間, )은 그 선형 변환에 대하여 닫혀있는 부분 벡터 공간이다.

 정의 
체 에 대한 벡터 공간  위의 선형 변환 가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 -불변 부분 공간이라고 한다.
 임의의 에 대하여, 

보다 일반적으로,  위의 선형 변환의 족 가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 -불변 부분 공간이라고 한다.
 임의의  및 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 는 -불변 부분 공간이다.

 성질 
선형 변환 가 를 만족시킨다면, 와 는 -불변 부분 공간이다.

임의의 에 대하여,

이므로, . 또한, 임의의 에 대하여,

특히, 는 다음과 같은 불변 부분 공간을 갖는다.






선형 변환 를 -불변 부분 공간 에 제한시키면 다음과 같은 선형 변환 를 얻을 수 있다.

또한, 몫 벡터 공간  위에 다음과 같은 선형 변환 를 유도할 수 있다.

의 특성 다항식은 의 특성 다항식을 나누며, 의 최소 다항식은 의 최소 다항식을 나눈다.

 행렬 표현 
다음이 주어졌다고 하자.
 유한 차원 벡터 공간 
 선형 변환 
 -불변 부분 공간 
 의 기저 
 의 기저 
그렇다면, 의 행렬

사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

다음이 주어졌다고 하자.
 유한 차원 벡터 공간 
 선형 변환 
 -불변 부분 공간 . 또한, 
 의 기저 
그렇다면, 의 위에서 정한 기저에 대한 행렬  사이에 다음 관계가 성립한다.

 외부 링크 




분류:선형대수학
분류:연산자 이론
분류:표현론