상집합

순서론에서 상집합(上集合, , , )은 에 속하는 원소보다 더 큰 임의의 원소 역시 에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 이다. 마찬가지로, 하집합(下集合, , , )은 에 속하는 원소보다 더 작은 임의의 원소 역시 에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 이다.

 정의 
원순서 집합 의 부분 집합 의 상폐포(上閉包, )는 다음과 같은 부분 집합이다.

이는 를 포함하는 최소 상집합이다.
원순서 집합 의 부분 집합 의 하폐포(下閉包, )는 다음과 같은 부분 집합이다.

이는 를 포함하는 최소 하집합이다.

원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 상집합(上集合, )이라고 한다.
 임의의  및 에 대하여, 라면 이다.


  및 사슬 에 대하여, 만약 라면, 이다.
 는 하집합이다.

원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 하집합(下集合, )이라고 한다.
 임의의  및 에 대하여, 라면 이다.


  및 사슬 에 대하여, 만약 라면, 이다.
 는 상집합이다.

 성질 
원순서 집합 의 상집합들의 (유한 또는 무한) 족 의 교집합

및 합집합

역시 상집합이다. 마찬가지로, 하집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합과 합집합 역시 하집합이다.

따라서, 원순서 집합 의 상집합들의 족은 (부분 집합 관계에 대하여) 완비 격자를 이룬다. 마찬가지로, 의 하집합들의 족 역시 완비 격자를 이룬다.

 반사슬과의 관계 
부분 순서 집합 의 상집합 의 극소 원소들의 집합 는 의 반사슬을 이룬다. 마찬가지로, 의 하집합 의 극대 원소들의 집합 은 의 반사슬을 이룬다.

반대로, 부분 순서 집합 의 반사슬 가 주어졌을 때, 는 상집합이며

이다. 따라서, 의 반사슬 집합에서 상집합 집합으로 가는 함수

는 단사 함수이며,

는 그 왼쪽 역사상이자 전사 함수이다.

만약 가 내림 사슬 조건을 만족시킨다면 이 두 함수는 전단사 함수이다. 그러나 일반적 부분 순서 집합에 대해서는 전단사 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 실수의 전순서 집합에서 양의 실수의 부분 집합 는 상집합이지만 극소 원소를 갖지 않는다.

 예 
 자명한 상집합·하집합 
임의의 원순서 집합 에 대하여, 는 스스로의 상집합이자 하집합이며, 또 공집합  역시 의 상집합이자 하집합이다.

 주 필터와 주 아이디얼 

임의의 원순서 집합 의 원소 에 대하여,

는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 필터와 아이디얼을 이룬다.

 실직선 
실수의 전순서 집합 의 상집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.
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마찬가지로, 실수의 전순서 집합 의 하집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.
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 정렬 집합 
순서수는 스스로 미만의 다른 순서수들의 집합으로 여길 수 있다.

이 경우, 두 순서수 에 대하여, 만약 라면 는 의 하집합이다.

순서수 의 모든 상집합은 다음과 같은 꼴이다.
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순서수 의 모든 하집합은 다음과 같은 꼴이다.
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 외부 링크 













분류:순서론