연관 소 아이디얼

환론에서, 가군의 연관 소 아이디얼(聯關素ideal, )은 특정 부분 가군의 소멸자로 표현될 수 있는 소 아이디얼이다. 가환환 위의 가군의 연관 소 아이디얼은 대수기하학적으로 준연접층으로서의 지지 집합과 관련되며, 또 부분 가군의 으뜸 분해에 사용된다.

 정의 
환 의 왼쪽 가군 이 다음 조건을 만족시킨다면, 을 소가군()이라고 한다.
 임의의 부분 가군 에 대하여, 이거나 이다.
(여기서 은 소멸자를 뜻한다.) 소가군의 소멸자는 항상 소 아이디얼이다.
증명:만약 양쪽 아이디얼 가 을 만족시키며 이라면, 이므로 이다.
의 왼쪽 가군 의 연관 소 아이디얼()은 그 부분 가군인 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 소 아이디얼이다. 의 연관 소 아이디얼의 집합을 로 표기한다.

만약 가 가환환일 때,  의 원소 가운데 (포함 관계에 대하여) 극소 원소인 것을 고립 연관 소 아이디얼(), 아닌 것을 매장 연관 소 아이디얼()이라고 한다.

 성질 
환  위의 왼쪽 가군 의 부분 가군 에 대하여, 이다. 만약 이 본질적 부분 가군이라면 이다.

 유한성·비자명성 
만약 가 양쪽 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건을 만족시킨다면,  위의 모든 유한 생성 왼쪽 가군은 적어도 하나 이상의 연관 소 아이디얼을 갖는다. 임의의 환 위의 뇌터 왼쪽 가군은 유한 개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

 뇌터 가환환의 경우 
가환환  위의 가군 은  위의 준연접층을 정의한다. 그 지지 집합

을 생각하자. 만약 가 뇌터 가환환이라면, 다음이 성립한다.

 의 극소 원소들의 집합은 의 극소 원소들의 집합과 같다.

뇌터 가환환  위의 왼쪽 가군 의 연관 소 아이디얼들의 합집합은 의 영인자들의 집합과 같다.

뇌터 가환환  위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
 가군의 길이가 유한하다.
 유한 생성 가군이며, 모든 연관 소 아이디얼이 극대 아이디얼이다.

 예 
임의의 환 위의 영가군은 연관 소 아이디얼을 갖지 않는다.

 참고 문헌 

분류:가군론
분류:아이디얼