일반항 판정법

일반항 판정법(一般項判定法, ) 또는 n항 판정법()은 다음과 같은 서로 대우인 두 명제 중 하나로 서술되는 무한급수의 수렴판정법이다.

 이 수렴하면, 이다.

 이 0이 아니거나 존재하지 않으면, 은 발산한다.

 증명 
급수가 (로) 수렴한다고 가정하자. 급수의 처음 항의 합을 이라 할 때,

또, 일반항 판정법은 코시 수렴 판정법의 특별한 경우이며, 많은 곳에서 코시 판정법에 의해 증명된다. 에 대해, 이어서 에 대해

여기서 특별히 인 경우 이다. 따라서 

 예 
일반항 판정법에 의하면, 0이 아닌 값으로 수렴하는 일반항에 의한 급수는 발산한다. 은 상수열 이 로 수렴함에 따라 발산한다. 일반항이 극한을 갖지 않아도, 급수는 발산한다. 은 의 극한이 존재하지 않음에 따라 발산한다.

 역 
은 급수 의 수렴을 보장하지 않는다. 즉 일반항 판정법의 역은 성립치 않는다. 다음 급수들은 항이 0으로 수렴하나, 각기 다른 수렴성이 있다.

 은 수렴한다.
 (조화급수)은 무한대로 발산한다.
 은 부분합이 유계인 채로 발산한다.

 유사한 결론 
이상적분, 무한곱, 균등수렴에 대해 급수의 일반항 판정법과 비슷한 결론이 있다.

 단조함수 의 이상적분 가 수렴한다면, 는 0으로 수렴한다(). 가 단조함수가 아닌 경우는 일반적으로 틀린 결론이다.
 0이 아닌 수로 수렴하는 무한곱 의 항 은 1로 수렴한다.
 균등수렴하는 함수열 의 항 는 영함수로 균등수렴한다().

분류:수렴판정법
분류:극한