거듭제곱근

수학에서, 거듭제곱근은 거듭제곱의 역연산이다. 승근(乘根), 누승근(累乘根) 또는 멱근(冪根)이라고도 한다. 구체적으로, 만약 이라면, 가 의 제곱근이라고 한다. (의 제곱, 의 세제곱, 의 네제곱, 의 다섯제곱, ..., 의 제곱, ...)을 통틀어 의 거듭제곱이라고 하는 것처럼, 의 제곱근, 의 세제곱근, 의 네제곱근, 의 다섯제곱근, ... 의 제곱근, ...을 통틀어 의 거듭제곱근이라고 한다.

 정의 
양의 정수 이 주어졌다고 하자. 실수 또는 복소수 의 제곱근()은

인 실수 또는 복소수 를 일컫는다. 여기서

은 의 제곱이다.

 실수의 거듭제곱근 
임의의 실수 또는 복소수의 제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 개가 있으며, 인 경우 이들은 서로 다르다. 실수 의 경우, 그 가운데 하나

를 다음과 같이 고를 수 있다. 만약 인 경우, 0의 제곱근은 0으로 유일하다.

만약 이며, 이 홀수라면, 의 제곱근 가운데 실수인 하나 가 유일하게 존재한다. 구체적으로, 실수의 완비성을 사용하여, 특정 부분 집합의 상한 또는 하한으로 정의할 수 있다.

만약 이며, 이 짝수라면, 의 제곱근 가운데 실수인 것은 둘이 존재하며, 서로 덧셈 역원이다. 이 가운데 양의 실수인 하나를 로 정의하자. 그렇다면 나머지 하나는 이다. 의 구체적인 표현은 다음과 같다.

만약 이며, 이 짝수라면, 의 개의 제곱근은 모두 실수가 아니다. 는 실수이므로, 복소수이다. 따라서, 복소수의 특별한 제곱근을 고르는 방법을 사용한다.

 복소수의 거듭제곱근 
복소수 의 제곱근은 (중복도를 감안할 때) 복소수 범위에서 총 개가 있으며, 인 경우 이들은 서로 다르다. 이 가운데 하나가

라면, 개의 거듭제곱근들은 다음과 같다.

특별한 거듭제곱근 를 고르는 방법은 유일하지 않다. 0이 아닌 복소수 를 그 절댓값 과 편각 를 사용하여

로 나타내자. 절댓값 은 음이 아닌 실수이므로, 그 표준적인 실수 거듭제곱근 를 고를 수 있다. 이 경우, 의 모든 제곱근은 다음과 같다.

또한, 의 표준적인 거듭제곱근을 다음과 같이 고를 수 있다.

얼핏 를 고르는 방법을 유일하게 결정한 것처럼 보이지만, 편각의 선택은 유일하지 않으므로 를 고르는 방법은 유일하지 않다. 예를 들어, 편각

에 대한 거듭제곱근과

에 대한 거듭제곱근은 일반적으로 다르다.

 용어와 표기법 
작은 에 대한 거듭제곱근은 다음과 같다.
 만약 인 경우, 의 제곱근을 의 제곱근이라고 하며,  대신 라고 쓴다.
 만약 인 경우, 의 제곱근을 의 세제곱근 이라고 한다.
 만약 인 경우, 의 제곱근을 의 네제곱근() 이라고 한다.
 만약 인 경우, 의 제곱근을 의 다섯제곱근() 이라고 한다.

거듭제곱근 은 거듭제곱을 사용하여

이라고 쓸 수 있다.

 성질 
음이 아닌 실수의 거듭제곱근의 경우, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

그러나, 이는 음의 실수나 복소수의 거듭제곱근에서 성립하지 않는다. 예를 들어,

이지만,

이다.

 갈루아 군 
체 가 주어졌다고 하자. 양의 홀수 이 주어졌고, 이며, 이 1의 원시 제곱근이라고 하자. 또한, 체의 원소 가 주어졌으며, 임의의 소수 에 대하여 가 의 제곱근을 포함하지 않는다고 하자. 그렇다면, 의 제곱근들을 근으로 하는 다항식 의 분해체 의 갈루아 군은 다음과 같다.

구체적으로,  및 의 순서쌍에 대응하는 자기 동형 사상은 다음과 같다.

 예 
이다. 따라서,

이다. 이는 8의 유일한 실수 세제곱근이다. 8의 세제곱근은 3개가 있으며, 이는 다음과 같다.

이다. 따라서,

이다. 81의 실수 네제곱근은 3과 −3 둘이다. 81의 네제곱근은 4개가 있으며, 다음과 같다.

 참고 문헌 

 외부 링크 


분류:초등대수학