대합 대수

환론에서 대합 대수(對合代數, , )는 호환되는 대합이 주어진 결합 대수이다.

 정의 
가환환  위의 대합 대수(, ) 은 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.
 는  위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
 는 -가군 준동형이자 환 준동형이며, 대합이다. (여기서 는 반대환을 뜻한다.) 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
 임의의  및 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 

정수환  위의 결합 대수는 환과 같은 개념이므로, 정수환  위의 대합 대수를 대합환이라고 한다.

보다 일반적으로, 가환 대합환  위의 대합 대수 는 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.
 는  위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
 는 다음을 만족시킨다.
 임의의  및 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 
 임의의 에 대하여, 
예를 들어, 보통 ‘복소수 대합 대수’라는 것은 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체의 가환 대합환 위의 대합 대수를 일컫는다.

 특별한 원소 
가환 대합환 가 주어졌으며, 그 부분환 을 생각하자. 그렇다면, -대합 대수 의 원소에 대하여, 다음과 같은 특별한 것들을 정의할 수 있다.
 용어  정의  비고 자기 수반 원소()    자기 수반 원소들은  아래 -요르단 대수를 이룸 반자기 수반 원소()    반자기 수반 원소들은 리 괄호  아래 -리 대수를 이룸 등거리원(等距離元, )    유니터리 원소(unitary元素, )  정규원이자 등거리원 (즉, 가역원이며 )  유니터리 변환의 개념의 일반화 정규원(正規元, )    정규 작용소의 개념의 일반화 사영원(射影元, )  멱등원이자 자기 수반 원소 (즉, )  부분 등거리원(部分等距離元, )  가 사영원  음이 아닌 원소(陰-元素, )   

 예 
 자명한 대합환 
가환환  위의 임의의 결합 대수  위에 항등 함수 대합

을 주면, 이는 -대합 대수를 이룬다.

 등급환 
가환환 와  사이의 환 준동형 이 주어졌다고 하자.  위의 대합을 항등 함수로 정의한다면 는 (자명한) -대합 대수를 이룬다. 보다 일반적으로, 에 추가로 -등급 -단위 결합 대수의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

이 역시 -대합 대수를 이룬다.

 체의 확대 
복소수체 는 -대합 대수를 이루며, 대합 연산은 복소켤레이다. 보다 일반적으로, 체  및  에 대하여, 2차 확대  위에 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

이는 -대합 대수를 이룬다.

 다항식환 
가환환  위의 다항식환  위에 다음과 같은 대합을 줄 수 있다.

그렇다면 이는 -대합 대수를 이룬다.

 행렬환 
가환환  위의 행렬환 에서, 대합을 전치행렬로 놓는다면 이는 -대합 대수를 이룬다.

 사원수환 
사원수환 는 (사원수 켤레에 대하여) -대합 대수를 이루지만, -대합 대수를 이루지 않는다.

 C* 대수 

모든 C* 대수나 폰 노이만 대수는 정의에 따라 복소수 대합 대수를 이룬다. 특히, 복소수 힐베르트 공간  위의 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 는 에르미트 수반을 대합으로 삼아 복소수 대합 대수를 이룬다.

 같이 보기 
 C* 대수
 케일리-딕슨 구성
 폰 노이만 대수

 외부 링크 




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분류:환론