비트 벡터

가환대수학에서 비트 벡터 환(Witt vector環, )은 주어진 가환환 속의 열들의 집합 위에 줄 수 있는 특별한 가환환 구조이다. p진 정수환의 일반화이다.

 정의 
비트 다항식()들은 다음과 같은 다항식열이다.

가환환 가 주어졌을 때,  속의 열의 집합  위에 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다.

그렇다면, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식들

이 유일하게 존재한다.
  및 를 정의하였을 때, 은 환을 이룬다. 이 환을 이라고 하자.
 는 환 준동형을 이룬다. 여기서 정의역은 위에서 정의한 환 구조이며, 공역 은 가환환 의 가산 무한 개 직접곱이다.
이 가환환을   계수의 비트 벡터 환()이라고 한다.

비트 벡터 환은 가환환의 범주 위의 자기 함자를 이룬다.

 p-비트 벡터 
가환환 와 집합

이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

(즉, 는 약수에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 그렇다면, 비트 벡터 환의 환 준동형

에서, 아이디얼

의 원상

을 생각하자. 이 역시 곱셈에 대하여 가환환을 이루며, 이를  계수의 -비트 벡터 환()이라고 한다. (그러나 이는 의 항등원을 포함하지 않으므로, 의 부분환이 아니다.) 그 위에는 마찬가지로 환 준동형

이 존재한다. 이들 역시 다음과 같은 자기 함자를 정의한다.

특히, 소수 에 대하여, 일 경우를  계수의 -비트 벡터 환()이라고 한다. 또한, 소수  및 양의 정수 에 대하여, 일 경우를  계수의 길이 의 -비트 벡터 환()이라고 한다.

구체적으로, p-비트 벡터의 연산은 다음과 같다.

 성질 
-비트 벡터 환 위의 표준적 환 준동형

및 유일한 환 준동형

을 생각하자.
 만약 이라면 (즉, 의 모든 원소들이 에서 가역원이라면), 는 전단사 함수이다.
 만약 가 모두 영인자가 아니라면, 는 단사 함수이다.

가환환  위의 비트 벡터 는 표준적으로 람다 환의 구조를 갖는다.

 예 
만약 일 경우, 이다.

 p진 정수 
소수 에 대하여, 유한체  위의 -비트 벡터 환은
진 정수환 과 동형이다.

구체적으로,
진 정수환 의 타이히뮐러 대표원의 집합은 0 및  속의 1의 제곱근 가운데 1이 아닌 것들로 구성된다.

(이들은 헨젤 보조정리에 의하여 항상 존재한다.) 몫환 사영 사상

아래

는 전단사 함수를 이루며, 따라서 타이히뮐러 대표원들의 집합은 유한체 로 여길 수 있다. 타이히뮐러 대표원들을 사용하여, 모든 진 정수는 다음과 같은 형식적 멱급수로 나타낼 수 있다.

그렇다면, 진 정수의 합과 곱은 비트 벡터의 합과 곱으로 주어진다.

 역사 
에른스트 비트가 1936년에 아르틴-슈라이어-비트 이론(표수 의 체 위의 차 순환 확대의 이론)을 전개하기 위하여 도입하였다.

 각주 

 외부 링크 
















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