군 대상

범주론에서 군 대상(群對象, )은 곱을 갖는 범주에서 정의되는, 군의 역할을 하는 대상이다. 모노이드 대상의 특수한 경우이다.

 정의 
가 끝 대상 및 유한 곱을 갖는 범주라고 하자. (임의의 모노이드 범주에서 정의되는 모노이드 대상과 달리, 군 대상은 데카르트 모노이드 범주에서만 정의된다. 이는 일반적 모노이드 범주에서 대각 사상 이나 쌍대항등원 이 주어지지 않기 때문이다.) 의 군 대상 는 다음 데이터로 이루어진다.
 는 데카르트 모노이드 범주 의 모노이드 대상이다.
 는  속의 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.
이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.
 (역원의 존재) 끝 대상의 정의에 따라 유일한 사상 이 존재한다. 또한, 가 대각 사상이라고 하자. 그렇다면 이다. 즉, 다음 그림이 가환한다.

위와 같은 정의 대신, 군 대상을 다음과 같이 정의할 수 있다. 군 대상 는 임의의 대상 에 대하여 가 군을 이뤄, 가  함자를 이루는 대상이다. 여기서 은 군과 군 준동형의 범주이다.

 예 
대표적인 범주들 속의 군 대상은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.
 범주  군 대상  비고 집합과 함수의 범주  군  위상 공간과 연속 함수의 범주  위상군 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주  리 군 대수다양체와 대수다양체 사상의 범주  대수군  스킴과 스킴 사상의 범주  군 스킴() 군과 군 준동형의 범주   아벨 군  역원 사상 이 준동형을 이루는 군은 아벨 군이기 때문 모노이드와 모노이드 준동형의 범주  아벨 군 아벨 군과 군 준동형의 범주  아벨 군  작은 범주의 범주   교차 가군()   군과 군 준동형의 범주  속의 내적 범주와 같다.

 각주 



 외부 링크 


 같이 보기 
 내적 범주

분류:범주론
분류:군론