대칭 모노이드 범주

범주론에서 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, )는 동형 사상 아래 결합 법칙과 교환 법칙이 성립하고, 동형 사상 아래 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. (교환 법칙이 성립하지 못할 수 있는) 모노이드 범주의 개념의 특수한 경우이다.

 정의 
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 모노이드 범주 
 함자 ,  사이의 자연 동형 . 여기서 , 는 곱범주 위의 표준적인 자연 동형이다.
이 데이터에 대하여 다음 조건들을 생각하자.
 (결합자와의 호환) 임의의 대상 에 대하여, . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

 (결합자의 역원과의 호환) 임의의 대상 에 대하여, . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

 (멱등성) 임의의 대상 에 대하여, . 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (결합자의 역원과의 호환) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 꼬임 모노이드 범주()라고 한다. 이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (멱등성) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 이를 대칭 모노이드 범주(對稱monoid範疇, )라고 한다. (결합자와의 호환) 및 (멱등성)이 성립한다면 (결합자의 역원과의 호환) 역시 자동적으로 성립한다. 즉, 모든 대칭 모노이드 범주는 꼬임 모노이드 범주이다.

 대칭 모노이드 함자 
두 꼬임 모노이드 범주

사이의 꼬임 모노이드 함자()는 다음 조건을 만족시키는 모노이드 함자

이다.
 (꼬임과의 호환) 임의의 대상 에 대하여, . 즉, 다음 그림이 가환한다.

두 대칭 모노이드 범주 사이의 대칭 모노이드 함자()는 단순히 둘 사이의 꼬임 모노이드 함자이다.

두 꼬임·대칭 모노이드 범주 사이의 두 꼬임·대칭 모노이드 함자 사이의 꼬임·대칭 모노이드 자연 변환()은 단순히 둘 사이의 모노이드 자연 변환이다.

 성질 
모든 꼬임 모노이드 범주는 다음 조건을 자동적으로 만족시킨다.
 (항등원과의 호환) 임의의 대상 에 대하여, . 즉, 다음 그림이 가환한다.

 대칭 구조가 유일할 조건 
주어진 모노이드 범주 위의 대칭 구조는 존재하지 않을 수 있으며, 유일하지 않을 수 있다.

만약 가 국소적으로 작은 닫힌 모노이드 범주이며, 표현 가능 함자 가 충실한 함자라면,  위의 대칭 구조는 (만약 존재한다면) 유일하다.

 예 
(끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 대칭 모노이드 범주를 데카르트 모노이드 범주()라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 대칭 모노이드 범주를 쌍대 데카르트 모노이드 범주()라고 한다.

 역사 
손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였다.

꼬임 모노이드 범주는 앙드레 주아요(, 1943~)와 로스 하워드 스트리트()가 도입하였다.

 참고 문헌 

 외부 링크 









분류:범주론