후레비치 준동형

대수적 위상수학에서 후레비치 준동형(Hurewicz準同型, )은 어떤 위상 공간의 호모토피 군에서 호몰로지 군으로 가는 군 준동형이다. 특수한 경우, 이 군 준동형은 후레비치 정리()에 따라 군의 동형을 이룬다.

 정의 
점을 가진 공간  및 밑점을 보존하는 연속 함수

가 주어졌을 때, 의 기본류 를 특이 호몰로지에 따라 밀어서 다음 호몰로지류를 얻는다.

이 때 이 호몰로지류와 의 호모토피류 를 대응하는 함수 를 정의할 수 있다.

이 함수를 후레비치 준동형이라고 한다.

 성질 
 준동형성 
일 경우, 후레비치 준동형 은 군 준동형을 이룬다.

일 경우 는 일반적으로 군의 구조를 갖지 않으며, 만약 가 위상군이라도 이는 일반적으로 군 준동형을 이루지 않는다. (예를 들어, 가 이산 유한군일 때, 는 군환으로 가는 단사 함수 에 대응하며, 이는 군 준동형이 아니다.)

 함자성 
일 경우, 후레비치 준동형은 함자

사이의 자연 변환 을 이룬다.

따라서 축소 현수 함자 에 대하여 다음 사각형이 가환한다.

 또는 인 경우에는 호모토피 군이 아벨 군이 아니므로 함자의 공역을  대신 각각  또는 로 놓아야 한다.

 낮은 차수의 후레비치 준동형 
일 경우, 는 의 경로 연결 성분의 집합이며, 는 의 경로 연결 성분들의 집합으로부터 생성되는 자유 아벨 군이다. 따라서, 0차 후레비치 사상은 집합에서 그 집합으로 생성되는 자유 아벨 군으로 가는 표준적인 포함 함수이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 단사 함수이다.

이고 가 경로 연결 공간인 경우, 후레비치 준동형은 아벨화이다. 즉, 는 기본군 의 아벨화이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 전사 함수이다.

일 경우, 후레비치 준동형은 일반적으로 전사 함수도, 단사 함수도 아니다.

 n-연결 공간 위의 후레비치 준동형 
후레비치 정리에 따르면, 임의의 위상 공간  위의 후레비치 준동형

에 대하여, 다음이 성립한다.
 만약 가 경로 연결 공간(즉, 0-연결 공간)이며 이라면, 은 아벨화 준동형이다.
 만약 가 -연결 공간이며 이라면, 은 아벨 군끼리의 동형 사상이다.
 만약 가 -연결 공간이며 라면, 은 아벨 군끼리의 단사 군 준동형이다. 그러므로, 는 의 몫군이다.

 예 
개의 원들의 쐐기합 을 생각하자.
 의 기본군은 자유군 이며, 그 생성원 는 모두 개이며 각 원에 대응한다.
 의 1차 호몰로지 군은 자유 아벨 군 이며, 그 개의 생성원 역시 각 원에 대응한다.

이 경우, 후레비치 준동형 은 아벨화 사상이며, 각 원에 대응하는 자유군의 생성원을 같은 원에 대응하는 자유 아벨 군 생성원에 대등시킨다.

 역사 
1935년 비톨트 후레비치가 후레비치 준동형을 정의하였다.

 각주 

 외부 링크 


분류:호모토피 이론
분류:대수적 위상수학 정리