자유 대상

범주론과 추상대수학에서 자유 대상(自由對象, )은 망각 함자의 왼쪽 수반 함자의 상이다. 대략, 주어진 범주 속에서 특별한 제약을 가하지 않고 생성되는 가장 일반적인 대상으로 생각할 수 있다.

 정의 
구체적 범주 가 주어졌다고 하고, 망각 함자 의 왼쪽 수반 함자

가 존재한다고 하자. 이 경우, 집합 로부터 생성되는,  속의 자유 대상은 에 대한 상 이다. 이 경우, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수 가 존재하는데, 이를 표준적 단사 함수()라고 한다.

 구성 
대수 구조 다양체의 범주 의 망각 함자는 항상 왼쪽 수반 함자를 가지며, 따라서 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 자유 대수() 또는 항 대수()라고 한다.

구체적으로 이는 다음과 같이 정의된다. 대수 구조 다양체 의 연산들이 이며, 그 항수가 라고 하자. 또한, 에서 성립하는 대수적 관계들이 라고 하자. 또한, 임의의 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 집합들을 정의할 수 있다.


를 로 표기하자. 는 대수 구조 연산을 번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.
그렇다면, 이들의 합집합

를 정의할 수 있다. 이는 대수 구조 연산을 유한번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.

를 정의하는 대수적 관계들은  위의 동치 관계 로 생각할 수 있다. (즉, 대수적 관계에서 등장하는 변수들을 의 임의의 원소들로 치환한다.) 그렇다면, 로부터 생성되는 자유 대수 는 몫집합 이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다.

여기서 은 동치 관계 에 대한 동치류이다.

 예 
대수 구조 다양체에서의 자유 대상은 다음이 있다.
 집합의 범주: 집합  위의 "자유 집합"은  자신이다.
 점을 가진 집합의 범주: 집합  위의 "자유 점을 가진 집합"은 이다.
 모노이드의 범주: 클레이니 스타 
 군의 범주: 자유군
 아벨 군의 범주: 자유 아벨 군 
 가환환  위의 왼쪽 가군의 범주: 집합  위의 자유 가군 
 만약 가 나눗셈환일 경우, 모든 가군이 자유 가군이며, 이를 벡터 공간이라고 한다. 이 경우, 집합  위의 자유 가군은 를 기저로 하는 벡터 공간 이다.
 체  위의 단위 결합 대수의 범주: 집합  위의 자유 단위 결합 대수는 를 기저로 하는 벡터 공간  위의 텐서 대수 이다.
 체  위의 가환 대수의 범주: 다항식환 
 체  위의 리 대수의 범주: 자유 리 대수

대수 구조 다양체가 아닌 구체적 범주의 경우, 다음과 같은 예가 있다.
 위상 공간의 범주 : 이산 공간
 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 : 집합 에 대응하는 자유 콤팩트 하우스도르프 공간은 이산 공간 의 스톤-체흐 콤팩트화이다.

 외부 링크 







 같이 보기 
 모나드

분류:추상대수학
분류:범주론