샤르코우스키 정리

동역학계 이론에서 샤르코우스키 정리(Шарковський 定理, )는 구간 위의 연속 사상이 가질 수 있는 주기점의 주기들의 집합을 분류하는 정리다. 이에 따르면, 가능한 주기들의 집합은 양의 정수들 위의 어떤 특정한 전순서의 꼬리이다.

 정의 
양의 정수의 집합  위에 다음과 같은 함수를 정의하자.

 위에 사전식 순서를 줄 수 있다. 이 전순서를 를 통해 에 부여할 수 있는데, 이를 샤르코우스키 순서(Шарковський順序, )라고 한다. 즉, 이는 다음과 같다.

구간  위에 정의된 함수

의 주기점()은

인 가 존재하는 점이며, 이러한 최소의 양의 를 주기점의 최소 주기()라고 한다. 예를 들어, 고정점은 최소 주기가 1인 주기점과 같다.

샤르코우스키 정리에 따르면, 만약 가 연속 함수이며, 가 최소 주기가 인 주기점을 갖는다면, 모든 양의 정수 에 대하여 최소 주기가 인 의 주기점이 존재한다. 특히, 만약 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다면, 모든 양의 정수에 대하여 해당 최소 주기를 갖는 주기점이 존재한다.

또한, 샤르코우스키 정리의 역도 성립한다. 즉, 임의의 에 대하여, 이 최소 주기들의 집합인 연속 함수 가 존재한다.

 리-요크 정리 
구간  위의 연속 함수 가 최소 주기 3의 주기점을 갖는다면, 샤르코우스키 정리에 따라 모든 최소 주기의 주기점들이 존재한다. 리-요크 정리([李]-Yorke定理, )에 따르면, 최소 주기 3의 주기점이 존재한다면 다음 네 조건을 만족시키는 부분 집합 가 존재한다.
 는 주기점들을 포함하지 않는다.
 이다.
 임의의 에 대하여 (),

 임의의  및 주기점 에 대하여,

 예 
로지스틱 사상의 경우, 인 경우 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다. 따라서, 이 경우 로지스틱 사상은 모든 가능한 최소 주기의 주기점이 존재한다. 그러나 이들은 (주기 3을 제외하면) 모두 불안정 주기점이며, 따라서 분기도에 나타나지 않는다.

샤르코우스키 정리는 고차원에서 성립하지 않으며, 또 구간이 아닌 다른 위상에서도 성립하지 않는다. 예를 들어, 원  위에서 의 경우 모든 점이 최소 주기 3의 주기점이지만, 다른 최소 주기의 주기점은 존재하지 않는다.

 역사 
샤르코우스키 정리는 올렉산드르 미콜라요비치 샤르코우스키(, )가 1964년에 증명하였다.

샤르코우스키의 업적은 서방 수학에서는 거의 알려지지 않고 있었다. 이후 1975년에 리톈옌(, )과 제임스 요크()는 리-요크 정리를 통해 주기 3의 경우의 샤르코우스키 정리의 특수한 경우를 재증명하였다. 리톈옌과 요크는 샤르코우스키의 논문에 대하여 몰랐으나, 이후 샤르코우스키의 업적이 혼돈 이론의 일부로 재조명되었다. 리톈엔과 요크의 1975년 논문은 또한 "혼돈"()이라는 용어가 전문 용어로 최초로 사용된 문헌이다.

 참고 문헌 






 외부 링크 





 같이 보기 
 혼돈 (수학)
 분기 (동역학계)

분류:동역학계